幾何最值問題講義及答案

1、幾何最值問題（講義）Ø 課前預(yù)習(xí)1. 解決幾何最值問題的理論依據(jù)： （已知兩個定點） （已知一個定點、一條定直線） （已知兩邊長固定或其和、差固定）2. 幾何最值問題基本結(jié)構(gòu)分析（請根據(jù)所求目標(biāo)，畫圖找出符合要求的點的位置）利用幾何變換進行轉(zhuǎn)化Pl（求 PA+PB 的最小值）MNl（求 AM+BN 的最小值）A PlB（求 PA - PB 的最大值）利用圖形性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化M AOBN（求點 D 到 O 的最大距離）Ø 知識點睛解決幾何最值問題的通常思路：1. 分析定點、動點，尋找不變特征2. 若屬于常見模型、結(jié)構(gòu)，調(diào)用模型、結(jié)構(gòu)解決問題；若不屬于常見模型，結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不

2、變特征轉(zhuǎn)化，借助基本定理解決問題轉(zhuǎn)化原則：盡量減少變量，向定點、定線段、定圖形靠攏Ø 精講精練1. 如圖，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 為 BC 邊上一動點，PEAB 于點 E，PFAC 于點 F若 M 為 EF 的中點， 則 AM 長度的最小值為 CAEFEMDBPCBA第 1 題圖第 2 題圖2. 如圖，在 RtABC 中，B=90°，AB=3，BC=4，點 D 在 BC 邊上，則以 AC 為對角線的所有ADCE 中，DE 長度的最小值為 3. 若點 D 與點 A(8，0)，B(0，6)，C(a， -a )是一平行四邊形的四個頂點，則 CD 長度的最

3、小值為 4. 如圖，已知 AB=2，C 是線段 AB 上任一點，分別以 AC，BC 為斜邊，在 AB 的同側(cè)作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE，則 DE 長度的最小值為 PEACBACB第 4 題圖第 5 題圖5. 如圖，已知 AB=10，C 是線段 AB 上任一點，分別以 AC，BC 為邊，在 AB 的同側(cè)作等邊三角形 ACP 和等邊三角形 BCQ， 則 PQ 長度的最小值為 6. 動手操作：在矩形紙片 ABCD 中，AB=3，AD=5如圖所示， 折疊紙片，使點 A 落在 BC 邊上的 A處，折痕為 PQ，當(dāng)點 A 在 BC 邊上移動時，折痕的端點 P，Q 也隨之移動若限定點

4、P，Q 分別在 AB，AD 邊上移動，則點 A在 BC 邊上可移動的最大距離為 BA'CBCPAQDAD7. 如圖，在直角梯形紙片 ABCD 中，ADAB，AB=8，AD=CD=4， 點 E，F(xiàn) 分別在線段 AB，AD 上，將AEF 沿 EF 翻折，點 A 的對應(yīng)點記為 P（1）當(dāng)點 P 落在線段 CD 上時，PD 的取值范圍是 （2）當(dāng)點 P 落在直角梯形 ABCD 內(nèi)部時，PD 長度的最小值為DPCDC PFFAEBAEBDCDCABAB8.如圖，在 RtABC 中，ACB=90°，A=30°，AC= 4，BC的中點為 D將ABC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角

5、度得到FEC，EF 的中點為 G，連接BEDG，則在旋轉(zhuǎn)過程中，DG 長度的最大值為 DCA9. 如圖，已知ABC 是邊長為 2 的等邊三角形，頂點 A 的坐標(biāo)為(0，6)，BC 的中點 D 在點 A 下方的 y 軸上，E 是邊長為 2 且中心在坐標(biāo)原點的正六邊形的一個頂點，把這個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中 DE 長度的最小值為 10. 探究：如圖 1，在等邊三角形 ABC 中，AB=6，AHBC 于點H，則 AH= ，ABC 的面積 S ABC = 發(fā)現(xiàn)：如圖 2，在等邊三角形 ABC 中，AB=6，點 D 在 AC 邊上（可與點 A，C 重合），分別過點 A，C 作直線 BD 的垂線，垂足分別為點 E，F(xiàn)，設(shè) BD=x，AE=m，CF=nAABHC圖 1圖 2（1）用含 x，m，n 的代數(shù)式表示S ABD 及 SCBD ；（2）求( m + n )與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出( m + n )的最大值和最小值應(yīng)用：如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 1，P 是 BC 邊上的任一點（可DC與點