中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合練習(xí)題及答案

1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合練習(xí)題及答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.圖1是一種折疊式晾衣架.晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10分米， 展開角ZCOD=60,晾衣臂OA=OB=10分米， 晾衣臂支架HG=FE=6分米， 且HO=FO=4分米.當ZAOC=90時，點A離地面的距離AM為分米；當OB從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到OB（在CO延長線上）時，點E繞點F隨之旋轉(zhuǎn)至OB上的點E處，則BE2BE為分米.【答案】55,34【解析】【分析】如圖，作OP,CD于P,OQAM于Q,FK,OB于K,FJLOC于J,解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分別求出BE,B即可

2、.【詳解】解：如圖，作OPXCDTP,OQAM于Q,FKOB于K,FJLOC于J. .AMXCD,/QMP=/MPO=ZOQM=90,四邊形OQMP是矩形，.QM=OP, .OC=OD=10,/COD=60,.COD是等邊三角形， .OPXCD,1/COP=-/COD=30,.QM=OP=OC?COS30=573（分米）, /AOC=/QOP=90,/AOQ=ZCOP=30;-1一 .AQ=-OA=5（分米），*月2 .AM=AQ+MQ=5+5石. .OB/CD,/BOD=/ODC=60在RtOFK中，KO=OF?cos60=2（分米）,FK=OF?sin60=2百（分米），在RpKE中，EK

3、=EK=JEF2FK2=2=2 娓（分米）， .BE=10-2-26 6Q=Q=（8-276）（分米），在RtOFJ中，OJ=OF?cos60=2（分米）,FJ=2J3（分米），在RtAFJE中,EJ=后（2后2=26， .B=E10-（25y6-2）=12-2娓, .BE=4E故答案為：5+5J3,4.rM MC圄2D水平地面【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.2.下圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的滑梯平面圖.已知BC=4m,AB=6m,中間平臺寬度DE=1m,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N,M,B,

4、ZEAB=31,DFBC于點F,ZCDFN5：求DM和BC的水平距離BM的長度.（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin31逐,cos31.86,tan31.60）0【解析】試題分析：設(shè)DF=x,在RtDFC中，可得CF=DF=X則BF=4-x,根據(jù)線段的和差可得AN=5-x,EN=DM=BF=4-*,在RtANE中，/EAB=，利用/EAB的正切值解得x的值.試題解析：解：設(shè)DFR,在RtDFC中，/CDF=5.CF=tan45：DF=*,又CB=4,BF=4-豈，.AB=6,DE=1,BM=DF=X,.AN=5工，EN=DM=BF=4M,在RtANE中，/EAB弓，EN=4-x,AN=5-x

5、,EXEX4-x4-xtan31：=0.60,5-工解得X=2.5,答：DM和BC的水平距離BM為2.5米.考點：解直角三角形.3.如圖，等腰4ABC中，AB=AC,/BAC=36,BC=1,點D在邊AC上且BD平分/ABC,設(shè)CD=x.(1)求證：ABJBCD;(2)求x的值；(3)求cos36-cos72的值.【答案】（1）證明見解析；（2）1二;（3）拽_8.216【解析】試題分析：（1）由等腰三角形ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出/DBC的度數(shù)，得到/DBC=ZA,再由/C為公共角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）

6、結(jié)論得到AD=BD=BC根據(jù)AD+DC表示出AC,由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；（3）過B作BE垂直于AC,交AC于點E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36。與cos72。的值，代入原式計算即可得到結(jié)果.試題解析：（1）二.等腰4ABC中，AB=AC,ZBAC=36,/ABC=ZC=72；BD平分/ABC,/ABD=ZCBD=36；/CBD=ZA=36；/C=ZC,.ABCABCD;（2）/A=/ABD=36,.AD=BD,BD=BC,，AD=BD=CD=1,設(shè)CD=x,貝U有AB=AC=x+1,.ABCABCD,則x=2（3）過B作B已AC

7、,交AC于點E,r1.5.E為CD中點，即DE=CE=10,4,cAE在RtAABE中，cosA=cos36=AB在RtBCE中，cosC=cos72=ECBC貝Ucos36-cos72=-5-11444.問題探究：（一）新知學(xué)習(xí)：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）.（二）問題解決：已知。的半徑為2,AB,CD是。的直徑.P是標上任意一點，過點P分別作AB,CD的垂線，垂足分別D DB BBD=CD,【考點】1.相似三角形的判定與性質(zhì);形.2.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割

8、；4.解直角三角ABBD解得:BC目口x1一，即CD1x2+x-1=0,x=J_1,x2=21一5（負值，舍去），2.514152154151為N,M.(1)若直徑ABCD,對于前上任意一點P(不與B、C重合)(如圖一)，證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；(2)若直徑ABCD,在點P(不與B、C重合)從B運動到C的過程匯總，證明MN的長為定值，并求其定值；(3)若直徑AB與CD相交成120角.當點P運動到前的中點Pi時(如圖二)，求MN的長；當點P(不與B、C重合)從B運動到C的過程中(如圖三)，證明MN的長為定值.(4)試問當直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫

9、出其最大值.【答案】(1)證明見解析，直徑OP=2;(2)證明見解析，MN的長為定值，該定值為2；(3)MN=;證明見解析；(4) MN取得最大值2.【解析】試題分析：(1)如圖一，易證/PMO+/PNO=180,從而可得四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2；(2)如圖一，易證四邊形PMON是矩形，則有MN=OP=2,問題得以解決；(3)如圖二，根據(jù)等弧所對的圓心角相等可得ZCOR=ZBOPi=60,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得/MP1N=60.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得P1M=P1N,從而得到P1MN是等邊三角形，則有MN=P1M.然后在RtAP1MO運用三角函數(shù)就可解決問題；設(shè)四邊形PMON

10、的外接圓為00;連接NO并延長，交。0于點Q,連接QM,如圖三，根據(jù)圓周角定理可得/QMN=90,ZMQN=ZMPN=60,在RtAQMN中運用三角函數(shù)可得：MN=QN?sin/MQN,從而可得MN=OP?sin/MQN,由此即可解決問題；(4)由(3)中已得結(jié)論MN=OP?sin/MQN可知，當/MQN=90時，MN最大，問題得以解決.試題解析：(1)如圖一，.PMXOC,PNOB,ZPMO=ZPNO=90,./PMO+/PNO=180四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2;圜一(2)如圖一，.ABXOC,即/BOC=90,/BOC=ZPMO=ZPNO=90四邊形PMON是矩形,.MN=OP=

11、2,MN的長為定值，該定值為2；(3)如圖二，Pi是前的中點，ZBOC=12O,ZCOP=ZBOPi=60,ZMPiN=60,/PiMOC,PiNXOB,PiM=PiN,.RMN是等邊三角形，MN=PiM.PiM=OPi?sin/MOPi=2Xsin60=用,MN=7j；設(shè)四邊形PMON的外接圓為00;連接NO并延長,交。O于點Q,連接QM,如圖三，則有/QMN=90,/MQN=ZMPN=60,MV在RtQMN中，sinZMQN=,.MN=QN?sin/MQN,QN，MN=OP?sin/MQN=2Xsin60=2(4)由(3)得MN=OP?sinZMQN=2sinZMQN.當直徑AB與CD相交

12、成90角時，/MQN=i80-90=90,MN取得最大值2.考點：圓的綜合題.圖二P圖二.MN是定值.5.如圖，拋物線y=-x2+3x+4與x軸交于A A、B兩點，與y軸交于C點，點D在拋物線上且橫坐標為3.(1)求tan/DBC的值；(2)點P為拋物線上一點，且/DBP=45,求點P的坐標.【解析】試題分析：(1)連接CD,過點D作DE，BC于點E.利用拋物線解析式可以求得點A、B、C、D的坐標，則可得CD/AB,OB=OC,所以/BCO=ZBCD=ZABC=45,由直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得BC=4/2,BE=BC-DE22,由此可知2DEDE3tan/DBC=-

13、=:；RERE5(2)過點P作PHx軸于點F.由/DBP=45及/ABC=45可得/PBF=ZDBC,利用(1)中，/3、一，。的結(jié)果得到：tan/PBF.設(shè)P(x,-x2+3x+4),則利用銳角三角函數(shù)定義推知3x+43、了 Lq/n-r 心r-、r*66= =,通過斛方程求得點P的坐標為(-,.4-x55 525試題解析：(1)令y=0,貝U-x2+3x+4=-(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4.A(T,0),B(4,0).當x=3時，y=-32+3x3+4=4.D(3,4).如圖，連接CD,過點D作DEBC于點E. C(0,4), .CD/AB,/BCD=ZABC=45在

14、直角OBC中，-，OC=OB=4,BC=4日.在直角CDE中，CD=3., ,_E_E3 3 .tan/DBC=;EEEE5(2)過點P作PHx軸于點F. /CBF土DBP=45；/PBF=ZDBC,一3 .tanZPBF7.設(shè)P(x,-x2+3x+4),貝U1=g4-x-x$ $解得Xl=-,X2=4(舍去)，266266,PX，云)考點：1、二次函數(shù)；2、勾股定理；3、三角函數(shù)6.某條道路上通行車輛限速60千米/時， 道路的AB段為監(jiān)測區(qū)， 監(jiān)測點P到AB的距離PH為50米 （如圖） .已知點P在點A的北偏東45方向上， 且在點B的北偏西60方向上， 點B在點A的北偏東75方向上，那么車輛

15、通過AB段的時間在多少秒以內(nèi)，可認定為超速？（參考數(shù)據(jù)：J3=1.7拒=1.4.CE=ED-WBE=BC-DE=-【答案】車輛通過AB段的時間在8.1秒以內(nèi)，可認定為超速【解析】分析：根據(jù)點到直線的距離的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知/CAB=75,/CAP=45,/PBD=60,/PAH=/CAB-/CAP=30,50/PHA=ZPHB=90；PH=50,AH=近=5043=5043，tanPAH31.AC/BD,/ABD=180CAB=105/PBH=ZABD/PBD=45,貝UPH=BH=50,.AB=AH+BH=5073+50,

16、5050、350_.一60千米/時=米/秒，時間t=50=3+3出=8.1(秒)，33即車輛通過AB段的時間在8.1秒以內(nèi)，可認定為超速.點睛：該題考查學(xué)生通過構(gòu)建直角三角形，利用某個度數(shù)的三角函數(shù)值求出具體邊長，即實際路程，并進行判斷相關(guān)的量。7.在RtABC中，/ACB=90,AB=J7,AC=2,過點B作直線m/AC,將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到C(點A,B的對應(yīng)點分別為A,B,)射線CA,CB分別交直線m于點P,Q.(1)如圖1,當P與A重合時，求/ACA的度數(shù)；(2)如圖2,設(shè)A國BC的交點為M,當M為A的中點時，求線段PQ的長；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當點P,Q分別在CA,CB的延長線

17、上時，i3t探究四邊形PAB的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形PAB的最小面積；若不存在，請說明理由.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得:AC=AC=2./ACB=90:AB,AC=2,BC73.BC./ACB=90；m/AC,./ABC=90；.cos/ACBAC近，ACB=30。,2，/ACA=60(2),M為AB的中點，ZACM=ZMAC,由旋轉(zhuǎn)可得：，/A=/ACM,tanZPCB=tan/A,.PBBCZBQC=ZBCP=ZA,tanZBQC=tanZA,.BQ=BC/MAC=ZA,2,.1.PQ=PB+BQ(3) .S四邊形PABQ=S1PCQSAA,CB=SAPCQJ3,S四邊形PA

18、BQ最/、，即SAPCQJ1小,SAPCQIpQ汨C2取PQ的中點G.&Q,2(4) /PCQ=90；.CG-PQ,即PQ=2CG當CG最小時，PQ最小，.CG,PQ,即CG與2【答案】(1)60;(2)PQ=;(3)存在，S四邊形PABQ=3J32【解析】【分析】AC=AC=2,進而得到BCJ3,依據(jù)/ABC=90。，可得3,即可得到ZACB=30,/ACA=60;2(2)根據(jù)M為AB的中點，即可得出ZA=ZACM,進而得到PBYSBCtan/Q=tan/A/即可得到此眈美2進而得出PQ=PB+BQi(3)依據(jù)S四邊形PABQ=SzPCQ-SAC=SAPCQJ3,即可得到S四邊形PA

19、BQ最小，即SkPCQ最PQ,利用幾何法即可得到SAPCQ的最小值=3,即可得到結(jié)2論.(1)由旋轉(zhuǎn)可得:BCcos/ACBAC小，而SAPCQpQXBC2CB重合時，CG最小，CGninJ3,PQmin=2j3,，9PCQ的最小值=3,S四邊形PABQ=3J3;【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運用，解題時注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.8 .現(xiàn)有一個Z型的工件（工件厚度忽略不計），如圖所示，其中60cm,ZABC=90,/BCA60,求該工件如圖擺放時的高

20、度（即【解析】【分析】過點A作APLCD于點P,交BC于點Q,由/CQP=/AQB、/CPQ=/B=90知/A=/C=60,在4ABQ中求得分別求得AQ、BQ的長，結(jié)合BC知CQ的長，在4CPQ中可得PQ,根據(jù)AP=AQ+PQ得出答案.【詳解】解：如圖，過點A作APLCD于點P,交BC于點Q,/CQP=/AQB,/CPQ=/B=90;/A=/C=60,AB為20cm,BC為A到CD的距【答案】工件如圖擺放時的高度約為61.9cm.ABAB20,.A.-j-=4/、在ABQ中，.AQ=L：OSJ11(cm),2BQ=ABtanA=20tan60=20(cm),.CQ=BC-BQ=60-20R(c

21、m),在ACPQ中，.PQ=CQsinC=(6020*3)sin60=30”2-2-1 1) )cm,.AP=AQ+PQ=40+30(*?-1)=61.9cm),答：工件如圖擺放時的高度約為61.9cm.【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義求得相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵.一.一3.9 .如圖，在ZXABC中，ACBC10,cosC,點P是BC邊上一動點（不與點A,C5重合），以PA長為半徑的eP與邊AB的另一個交點為D,過點D作DECB于點E.2聯(lián)結(jié)BP交DE于點F,設(shè)AP的長為x,PF的長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并直接寫出x的取值范圍；3在2的條件下， 當以P

22、E長為直徑的eQ與eP相交于AC邊上的點G時， 求相交所得的公共弦的長.【答案】（1）竺；（2）y5x&28x800 x10；（3）102新93x20【解析】【分析】3一（1）設(shè)。P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,連接HP,則HPBC,cosC=,則5sinC=4,sinC=HP=-R=4,即可求角軍；5CP10R52PD/BE,則里=也，即：45xPDPFx（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，貝Jx28x80y,即可求解;y1當eP與邊BC相切時，求eP的半徑;UAG=GP=BD即：AB=DB+AD=AG+AD=4/5,即可求解.【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點為H,圓

23、的半徑為R,3一3連接HP,貝UHPBC,cosC=-,貝UsinC=-,55sinC=HP=3=4,解得：R”；CP10R593(2)在ABC中，AC=BC=10cosC=,5設(shè)AP=PD=x,/A=/ABC書，過點B作BH,AC,g g貝UBH=ACsinC=8同理可得：CH=6,HA=4,AB=4而，貝U:tanZCAB=2BP=82x42=7X28x80，DA=R5x,則BD=4V5-25x,55如下圖所示，兩個圓交于點G,則PG=PQ即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D,所得的公共弦，點Q時弧GD的中點， DGXEP,.AG是圓P的直徑，/GDA=90； .EP/BD,由(2)

24、知，PD/BC,四邊形PDBE為平行四邊形, .AG=EP=BDAB=DB+AD=AG+AD=4.5,PA=PDPA=PD/PAD之CAB=/CBA=3,tan3=2則cos3-j=,-j=,sin3,EB=BDcos3=(4S/5-2-5-x).PD/BE,PDPF&8x80y,整理得:、,_5x,x28x80y=：3x200 x10；GD為相交(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示,設(shè)圓的半徑為r,在4ADG中,202r=-、514r.則:DG=-y=r=l0-275,相交所得的公共弦的長為10-2J5.【點睛】本題考查的是圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中（3

25、）,要關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.10.如圖，在自動向西的公路l上有一檢查站A,在觀測點B的南偏西53方向，檢查站一工作人員家住在與觀測點B的距離為7km,位于點B南偏西76方向的點C處，求工作32人員家到檢查站的距離AC.（參考數(shù)據(jù)：sin76絲，cos766-,6-,tan76,42525sin53tan534 4）53AC的長約為9km.2一，、“一一一27分析：過點B作BHIl交l于點H,解RtABCHI,得出CH=BC?sinZCBH一，4BH=BC?cosZCBH=27.再解RtBAH中，求出AH=BH?tan/ABH=9,那么根據(jù)AC=C

26、H-AH164在RtABCH中,/BHC=90；/CBH=76,BC=72km,324r,AG=2r,2r,5+2r=4石,解得:AD=2rcosDG=【答案】 工作人員家到檢查站的距離計算即可.詳解：如圖，過點B作BHIl交l于點H,22522，CH=BC?sinZCBH3224225627BH=BC?cosZCBH一.32216一一,一，一一27在RtABAH中，/BHA=90/ABH=53,BH=一，162749.AH=BH?tanZABH1634-279.AC=CH-AH=一44答：工作人員家到檢查站的距離AC的長約為-km.2點睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題意

27、作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.11.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A(0,1),點C(1,0),正方形AOCD的兩條對角線的交點為B,延長BD至點G,使DG=BD,延長BC至點E,使CE=BC以BG,BE為鄰邊作正方形BEFG.一AB(I)如圖，求OD的長及的值；BG(n)如圖，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得正方形BEF；冠旋轉(zhuǎn)角為a(0/V360),連接AG.在旋轉(zhuǎn)過程中，當/BAG=90寸，求a的大??；在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF的長取最大彳1時，點F的坐標及此時a的大小(直接寫出結(jié)果即可).1【答案】(I)(n)a=30或150時，/BAG=90劭

28、a=315時，A、B、F在一條2直線上時，AF的長最大，最大值為+2,此時a=315,F(+J2，- -22.22.) )【解析】(km)【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題，(2)因為/BAG=90,AB1BG=2AB,可知sin/AG濟一,推出/AG京30,推出旋轉(zhuǎn)角BG2/ABG=60時,/BAGKO池滿足條件，此時旋轉(zhuǎn)角a=150直線上時AF的長最大./BAG=90BG=2陽.sin/AG，爵得，./AGB=0ZABGZ=6。丁./DBG=30，旋轉(zhuǎn)角a=3Q行30；據(jù)對稱性可知，當當至315時,A、B、F在一條.OA=1,.四邊形OADC是正方形,ZOAD=90；A

29、D=OA=1,OD=AcdF+2=7,AB=BC=BD=BO-.BD=DG,【詳解】(I)如圖1中，根據(jù)對稱性可知，當/ABG=60時，/BAG=90,也滿足條件，此時旋轉(zhuǎn)角綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a=30或150時，/BAG=90：如圖3中，連接OF,圖3 四邊形BE陛3T形的邊長為百.BF=2 當a=31時；A、B、F在一條直線上時，AF的長最大，最大值為+2,此時315；F，(與口卷-血)【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握正方形的四條邊相等、四個角相等，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(3,0),點B(0,3，3),點。為原點.動點C、D分別在直線AB、OB上，將B