考向3直線與橢圓的綜合問題

1、考向3直線與橢圓的綜合問題(高頻考點)命題視角直線與橢圓的綜合問題，是近年來高考命題的熱點，主要命題角度有：(1)由已知條件求橢圓的方程或離心率；(2)由已知條件求直線的方程；(3)中點弦或弦的中點問題；(4)弦長問題；(5)與向量結(jié)合求參變量的取值【典例3】(2014·南京市、鹽城市高三第一次模擬考試)在平面直角坐標系xOy中，已知過點的橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，過焦點F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點B關(guān)于坐標原點的對稱點為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準線l于M，N兩點(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點B的坐標為，試求直線P

2、A的方程；(3)記M，N兩點的縱坐標分別為yM，yN，試問yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由思路點撥(1)根據(jù)橢圓定義求出a的值，再由c1求出b的值，就可得到橢圓的標準方程，(2)根據(jù)條件分別解出A，P點坐標，就可寫出直線PA的方程，(3)先根據(jù)直線AB垂直x軸的特殊情況下探求yM，yN的值，再利用點共線及點在橢圓上條件，逐步消元，直到定值本題難點在如何利用條件消去參數(shù)點共線可得到坐標關(guān)系，而利用點差法得到斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵解(1)由題意，得2a 4，即a2，又c1，b23，橢圓C的標準方程為1.(2)B，P，又F(1，0)，kAB， 直線AB：y(x

3、1)，聯(lián)立方程組解得A(0，)，直線PA：yx，即x4y40.(3)當kAB不存在時，易得yMyN9，當kAB存在時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P(x2，y2)，1，1，兩式相減，得，kPA·kAB，令kABk，則kPA，直線PA方程：yy2(xx2)，yM(x24)y2，yMy2，直線PB方程：y·x，yN，yMyN3×，又1，4y123x，yMyN3×9，所以yMyN為定值9.,【通關(guān)錦囊】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2

4、)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形(3)弦長問題利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解(4)中點弦或弦的中點一般利用點差法求解，注意判直線與方程是否相交(5)與向量結(jié)合的問題，通常利用向量的坐標運算即可【變式訓練3】(2013·天津高考)設橢圓1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點若··8，求k的值解(1)設F(c,0)，由，知ac.過點F且與x軸垂直的直線為xc，代入

5、橢圓方程有1，解得y±，于是，解得b，則b22又因為a2c2b2，從而a23，c21，所以所求橢圓的方程為1.(2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)，由方程組消去y，得(23k2)x26k2x3k260.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2，x1x2.因為A(，0)，B(，0)，所以··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26. 由已知得68，解得k±.掌握1條規(guī)律

6、橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)之間的關(guān)系給出橢圓方程1時，橢圓的焦點在x軸上m>n>0；橢圓的焦點在y軸上0<m<n.熟記2種方法求橢圓標準方程的方法1定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程2.待定系數(shù)法：設出橢圓的標準方程，運用方程思想求出a2，b2.掌握3種技巧與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧1求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e(0e1)2.待定系數(shù)法求橢圓方程，應首先判定是否為標準方程，判斷的依據(jù)是：(1)中心是否在原點；(2)對稱軸是否為坐標軸若題目涉及直線與橢圓相交，注意整體代入、設

7、而不求的思想方法運用3.橢圓上任意一點M到焦點F的最大距離為ac，最小距離為ac. 規(guī)范解答之11直線與橢圓的綜合問題 (14分)(2014·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.(1)若點C的坐標為，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值解：設橢圓的焦距為2c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(1)因為B(0，b)，所以BF2a. 又BF2，故a.(2分)因為點C在橢圓上， 所以1，解得b2

8、1.(4分) 故所求橢圓的方程為y21.(6分)(2)因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上， 所以直線AB的方程為1.解方程組得所以點A的坐標為.又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標為.(8分)因為直線F1C的斜率為，直線AB的斜率為，且F1CAB，所以·1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.(14分),【智慧心語】易錯提示：(1)忽略a，b，c三者的關(guān)系，造成運算量大而出現(xiàn)錯誤；(2)不知把直線BF2的方程寫成截距式1，導致無法得出關(guān)于a，b，c的等式；(3)方程整理錯誤；(4)方程求解錯誤防范措施：(1)注意題已知條件關(guān)系的挖掘；(2)寫直線方

9、程時，要注意分析已知條件，選取恰當?shù)男问剑?3)要強化化簡及運算能力【類題通關(guān)】(2014·蘇州市高三調(diào)研測試)如圖，已知橢圓1(a>b>0)的右頂點為A(2,0)，點P在橢圓上(e為橢圓的離心率) (1)求橢圓的方程；(2)若點B，C(C在第一象限)都在橢圓上，滿足，且·0，求實數(shù)的值解(1)由條件，a2，e，代入橢圓方程，得1.b2c24，b21，c23.所以橢圓的方程為y21.(2)設直線OC的斜率為k，則直線OC方程為ykx，代入橢圓方程y21即x24y24，得(14k2)x24，x. 則C.又直線AB方程為yk(x2)，代入橢圓方程x24y24，得(1

10、4k2)x216k2x16k240.xA2，xB. 則B.·0，··0.k2.C在第一象限，k>0，k.，由，得. k，.課堂練習：一、填空題1(2014·安徽高考)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_解析設點B的坐標為(x0，y0)x21， F1(，0)，F(xiàn)2(，0)AF2x軸，A(，b2)|AF1|3|F1B|，3， (2，b2)3(x0，y0)x0，y0.點B的坐標為. 將B代入x21，得b2.橢圓E的方程為x2y21

11、. 答案x2y212(2013·課標全國卷)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為_解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則得. .x1x22，y1y22，kAB. 而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3， E的方程為1. 答案1二、解答題3(2014·課標全國卷)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|

12、MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點， 故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則即代入C的方程，得1.將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.4以定點A(2,8)和動點B為焦點的橢圓經(jīng)過點P（4,0）、Q(2,0)(1)求動點B的軌跡方程；(2)是否存在實數(shù)k，使直線y=kx+2與上述B點軌跡的交點，恰好關(guān)于

13、直線l：y=2x對稱？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由解：設B(x,y)，依題設及橢圓定義有：|PA|+|PB|=|QA|+|QB| |QB|PB|=|PA|QA|B的軌跡是以P，Q為焦點的雙曲線的左支，由2a2，2c6，得b2=c2a2=32128故所求的軌跡方程為(x+1)2=1(x2) 若存在，設交點為C(x1，y1)，D(x2，y2)C、D關(guān)于l:y=2x對稱，CD中點在l上，y1+y22(x1+x2)又C、D在直線y=kx+2上，y1+y2=k(x1+x2)+4，由、得x1+x2=由得(8k2)x2+4(2k)x40x1+x2=由、得 解得k= 但kCD·k1，

14、故直線CD與l垂直這樣的實數(shù)k不存在。 5過橢圓C：上一點P引圓O：的兩條切線PA、PB，切點為A、B，直線AB與x軸、y軸分別相交于M、N兩點（1）設，且，求直線AB的方程；（2）若橢圓C的短軸長為8，且，求此橢圓的方程；（3）試問橢圓C上是否存在滿足·=0的點P，說明理由解：（1）直線AB的方程： （2）橢圓C的方程：（3）假設存在點滿足·=0，連結(jié)OA、OB，由|PA|=|PB|，知四邊形PAOB為正方形， |OP|=|OA| 又P在橢圓上 由得， 當即時，橢圓C上存在點P滿足題設條件；當即時，橢圓C上不存在滿足題設的點P.考向3直線與橢圓的綜合問題(高頻考點)命題視

15、角直線與橢圓的綜合問題，是近年來高考命題的熱點，主要命題角度有：(1)由已知條件求橢圓的方程或離心率；(2)由已知條件求直線的方程；(3)中點弦或弦的中點問題；(4)弦長問題；(5)與向量結(jié)合求參變量的取值【典例3】(2014·南京市、鹽城市高三第一次模擬考試)在平面直角坐標系xOy中，已知過點的橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，過焦點F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點B關(guān)于坐標原點的對稱點為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準線l于M，N兩點(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點B的坐標為，試求直線PA的方程；(3)記M，N兩點的縱坐標分別為y

16、M，yN，試問yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由思路點撥(1)根據(jù)橢圓定義求出a的值，再由c1求出b的值，就可得到橢圓的標準方程，(2)根據(jù)條件分別解出A，P點坐標，就可寫出直線PA的方程，(3)先根據(jù)直線AB垂直x軸的特殊情況下探求yM，yN的值，再利用點共線及點在橢圓上條件，逐步消元，直到定值本題難點在如何利用條件消去參數(shù)點共線可得到坐標關(guān)系，而利用點差法得到斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵【通關(guān)錦囊】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助求根公式，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方

17、程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形(3)弦長問題利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解(4)中點弦或弦的中點一般利用點差法求解，注意判直線與方程是否相交(5)與向量結(jié)合的問題，通常利用向量的坐標運算即可【變式訓練3】(2013·天津高考)設橢圓1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點若··8，求k的值掌握1條規(guī)律橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)之間的關(guān)系給出橢圓方程1時，橢圓的焦點在x軸上

18、m>n>0；橢圓的焦點在y軸上0<m<n.熟記2種方法求橢圓標準方程的方法1定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程2.待定系數(shù)法：設出橢圓的標準方程，運用方程思想求出a2，b2.掌握3種技巧與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧1求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e(0e1)2.待定系數(shù)法求橢圓方程，應首先判定是否為標準方程，判斷的依據(jù)是：(1)中心是否在原點；(2)對稱軸是否為坐標軸若題目涉及直線與橢圓相交，注意整體代入、設而不求的思想方法運用3.橢圓上任意一點M到焦點F的最大距離為ac，最小距離

19、為ac. 直線與橢圓的綜合問題 (14分)(2014·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.(1)若點C的坐標為，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值【智慧心語】易錯提示：(1)忽略a，b，c三者的關(guān)系，造成運算量大而出現(xiàn)錯誤；(2)不知把直線BF2的方程寫成截距式1，導致無法得出關(guān)于a，b，c的等式；(3)方程整理錯誤； (4)方程求解錯誤防范措施：(1)注意題已知條件關(guān)系的挖掘；(2)寫直線方程時，要注意分析已知條件，選取恰當?shù)男问剑?3)要強化化簡及運算能力【類題通關(guān)】(2014·蘇州市高三調(diào)研測試)如圖，已知橢圓1(a>b>0)的右頂點為