2015高中數(shù)學(xué)2.3數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計新選修2-2

1、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標(biāo)】（1 1）知識與技能：1理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；2會用數(shù)學(xué)歸納法證明某些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題；3能通過“歸納、猜想”的過程得出結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。（2 2）過程與方法：努力創(chuàng)設(shè)愉悅的課堂氣氛，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程，體會歸納遞推的數(shù)學(xué)思想。（3 3）情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)歸納法的思想，由生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，提 高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，解決問題的數(shù)學(xué) 能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】借

2、助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，能熟練運(yùn)用它證明一些簡單的與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推關(guān)系的應(yīng)用?！据o助教學(xué)】多媒體技術(shù)輔助課堂教學(xué)?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維（說明引入數(shù)學(xué)歸納法的必要性）（情景一）問題 1 1：大球中有5個小球，如何證明它們都是綠色的？問題 2 2：如果是一個等差數(shù)列，怎樣得到an= n-1 d? ?（情境二）數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例。【設(shè)計意圖：】以上兩個情境分別是完全歸納法和不完全歸納法的體現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)論正確性不同，而 這里實(shí)際上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的歸納思想。歸納法分為“不完全歸納法（只驗證幾

3、個個體成立，得到一 般性結(jié)論，但結(jié)論不一定正確）”和“完全歸納法（驗證每個個體都成立，得到一般性結(jié)論，其結(jié)論 一定正確）”。（情景三）問題：如何解決不完全歸納法存在的問題呢？如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？二、搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生興趣2展示多米諾骨牌的動畫，探究多米諾骨牌如何才能全部倒下？（由多米諾骨牌游戲的原理啟發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)方法，解決情境三的問題。） 第一塊骨牌必須要倒下任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊倒下，則后一塊也倒下相當(dāng)于能推倒第一塊骨牌相當(dāng)于第k塊骨牌能推倒第k 1塊骨牌三、師生合作，形成概念。一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可以按照以下步驟進(jìn)行：（1 1）（歸納奠

4、基）證明當(dāng)n取第一個值n0n0N*時命題成立；*（2 2） （歸納遞推）假設(shè)n=k k_n）, k N時命題成立，證明當(dāng)n= k1命題也成立. . 完成這兩個步驟后，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。上述這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。四、講練結(jié)合，鞏固概念類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例 1 1:用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223imn(n 1)(2n 1)621（1+1）x（2+1）證明：（1 1 ）當(dāng)n =1時，左邊：12=1,右邊：1，左邊= =右邊，等式成立。（2 2）假設(shè)當(dāng)n二k（kN*）時等式成立,則當(dāng)n =k 1 N時,_(k 1)(k 2)(2k 3)=右邊即當(dāng)n -k 1時

5、，等式也成立。*n由（1 1），（2 2）得：對-n N，等式1【方法技巧】證明中的幾個注意問題:（1 1 ）在第一步中的初始值不一定從1取起, ,證明應(yīng)根據(jù)具體情況而定. .（找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)）即122232. k2k(k 1)(2k 1)(k N )左邊=122232川k22+ (k+1 )k k 1 2k 12232山n2n(n 1)(2n1)成立3, ,必須用到n二k命題成立這一歸納假設(shè)，否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系，造成推理無效. .（用上假設(shè)，遞推才真）（3 3）明確變形目標(biāo)（寫明結(jié)論，才算完整）（2 2）在第二步中，證明 n n = =k k，1 1 命題成立時4

6、.丄丄4 77 10+111+13k -2 3k 113 k 1 -2 3 k 11變式訓(xùn)練:1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 2 2 3 3 4|n(n 1)= n(n 1)(n 2)3證明：1（1 1）當(dāng)n=1時，左邊=1 2=2，右邊1 2 3 =2，左邊= =右邊，等式成立;3（2）假設(shè)當(dāng)n =k時，等式成立，1即1 2 2 3 3 4 |（ kk1 k k 1 k 2，3則當(dāng)n =k 1時1 2 2 3 3 4川kk1 k 1 k 21k k 1 k 2 k 1 k 231k 1 k 1 k 231=3k 1並k 1 1郎1 2所以n -k 1，公式成立，由（1 1） （2 2）可知，當(dāng)n N

7、*時，1公式“2+2過3+3如+川+n（n+1）= 3n（n+1）（n+2）成立. .類型二歸納一一猜想一一證明1 1 1 1例2：已知數(shù)列門，廠，口，23n-2 3n 1川$為該數(shù)列的前n項和，計算S1,S2,S3,S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明S2=84 728（2）假設(shè)當(dāng)n = k k N時猜想成立，即Sk=九池川3k-213k 1=指那么，當(dāng)n =k 1時，解:17 102137010S4二S3-3-40-10 131010 1313013根據(jù)上述結(jié)果，猜想Snn3n 1證明：（1 1 ）當(dāng)n = 1時，左邊=S11 1 1；，右邊二亍V4，猜想成立，5k

8、1_ k 3k 41 3k24k 13k 1 3k 1 3k 4一3k 1 3k 4一3k 1 3k 4k 1 3k 1 k 1 k 13k 1 3k 4 3k 43 k 11所以，n =k 1時，猜想成立，*n由(1 1) (2 2)可知，對于n.二N，猜想成立，即，- n三N ,Sn:3n +1【方法技巧】“歸納一猜想一證明”的一般環(huán)節(jié)學(xué)生總結(jié)課件展示框圖呈現(xiàn)ax變式訓(xùn)練：設(shè)a 0, f (x)，令q = 1, an勺=f (an), n N ”，a +x(1)(1) 寫出a1,a2,a3，并猜想出數(shù)列 曲 的通項公式；(2)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論 . .五、課堂小結(jié)1 1歸納法：

9、完全歸納法和不完全歸納法；2.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：找準(zhǔn)基礎(chǔ)，奠基要穩(wěn)。用上假設(shè)，遞推才真。寫明結(jié)論，才算完整3 3歸納一一猜想一一證明六、當(dāng)堂檢測1.1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1 2 2H 2n2n 2-1(n N*)的過程中，在驗證n = 1時，左端計算 所得的項為( (C C ) )A.A.1B.B.1+2C.C.1 + 2 + 22D.D.1 + 2+22十232.2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n 1)(n 2)川(n n)=2 1 3川(2n -1)( n N)，“從k到k 1”左端增乘的代數(shù)式為2( 2k 1)設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，鍛煉實(shí)際應(yīng)用能力 拓展訓(xùn)練(延伸提高，課下思考)3 3 已知數(shù)列：an的前n項和Sn二n2an(n 2)，而印=1，通過計算a2,0