第6章 試驗數(shù)據(jù)的

1、第6章 試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 （一）誤差、真值及其分類 1誤差、真值與相對誤差 所謂真值，實際上就是一個物理量的固有的量度。比如說一個物體，它有一定的長度、有一定的重量。那么這個長度和重量是它固有的，是不隨著人們的測量而改變的。用來表示這個真值。測量量就是用儀器對一個物理量測量得到的量度，一般用X來表示。 測量量隨著所用儀器的不同和人的不同，對同一個物理量進(jìn)行測量，得出這個值都不會相同。因為測量的時候有誤差。 誤差用什么來衡量呢？就是用測量量和真值之差，把這個就叫做誤差，一般用來表示。就是等于測量值和真值之差。這個誤差是絕對誤差。但是有的時候用絕對誤差不能表示你測量的精確程度。 比如說，對一米的

2、一個物體進(jìn)行測量，誤差假如是一個毫米。對一百米的一個物體進(jìn)行測量，假如誤差也是一個毫米。雖然絕對誤差都是一毫米，但實際上測量的精密度卻差很多。大家都知道，對一百米測量誤差是一毫米，實際上就很精密了，可是對一米測量誤差是一毫米，那相對來講就粗糙一些。因此只用絕對誤差還不能夠明確表示誤差的大小。 所以，引入一個相對誤差的概念。所謂相對誤差，就是用它的測量值去除這個絕對誤差，那么得到就是相對誤差值。這個相對誤差值能夠比較好的表示對測量的精密程度。 2誤差的分類 引起測量誤差的原因是很多的。因此，對于誤差要進(jìn)行一些分類，一般的主要分成這么兩類，一類叫做系統(tǒng)誤差，一類叫做偶然誤差。 （1）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)

3、誤差就是有規(guī)律的和重復(fù)的誤差。那么這種誤差，就是說你可以找到引起誤差的原因。而且它能夠重復(fù)，你只要把外界條件改變成完全一樣，它的誤差還會出現(xiàn)，而且這個誤差總是偏向一個方向，假如說測量值比真值大，那么它就總是偏大。 引起系統(tǒng)誤差的原因有這么幾個方面：一個是測量方法不完善；第二個是儀器儀表有缺陷；第三就是氣象條件變化；四就是儀器儀表未校準(zhǔn)；第五就是測量人員生理特性及習(xí)慣等等。 一般就這么五類條件。比如說氣象條件變化，你測量的時候溫度發(fā)生變化或者濕度發(fā)生變化，那么，這個儀器讀出的讀數(shù)就會有變化。測量方法不完備，這個用不著太多解釋，就是說你的測量方法有缺陷，當(dāng)然肯定就會有誤差了。那么你要改進(jìn)，當(dāng)然就是

4、你要改進(jìn)測量方法，要改進(jìn)儀器。測量人員的生理特點(diǎn)，是這樣，尤其是指針類的儀表，在讀數(shù)的時候前頭有刻度，最后一位總是要有估計值，這個估計值有的人估計總是偏小，有的人估計總是偏大，這樣也會造成誤差。這一類誤差，因為它可能找到產(chǎn)生誤差的原因，因此要消除這個誤差，你就要針對它引起的原因去解決。在誤差分析里從數(shù)學(xué)講是無法處理這類誤差的。 （2）隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差是由于偶然因素引起來的，這種引起誤差的因素人們是找不著的，它是隨機(jī)的發(fā)生，不能重復(fù)。誤差分析里，主要是通過數(shù)學(xué)方法來處理這類誤差。 （二）隨機(jī)誤差的分布及其性質(zhì) 隨機(jī)誤差它是不可避免的，而且人們找不到產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因。那當(dāng)然就要對誤差是如何分布

5、的和它有什么性質(zhì)來進(jìn)行分析，以便通過數(shù)學(xué)的方法來把它消除。經(jīng)過大量的試驗以后，人們發(fā)生隨機(jī)誤差有這么幾條規(guī)律。 1絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率是相同的。 2絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。 3絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率近于零。 這是偶然誤差的一個不變的規(guī)律。從第一個特性就可以推出什么呢?就是當(dāng)N趨于無窮大的時候，那么，所有誤差之和應(yīng)該等于零。因為它有正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)概率相同，所以當(dāng)然正負(fù)就互相抵消了，所以它們之和等于零。 經(jīng)過很多年的研究，人們普遍認(rèn)為隨機(jī)誤差遵循正態(tài)分布規(guī)律。 分布函數(shù)用F(X)來表示，這是什么意思呢？就是說，隨機(jī)出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)，它小于等于某

6、一個值的概率，就把這個叫做分布函數(shù)。那么正態(tài)分布的分布函數(shù)像公式表示這樣，它是一個定積分，就是從負(fù)無窮到X的某一個值的積分，這就是這個隨機(jī)數(shù)的分布范圍。 它的分布值，主要是受兩個參數(shù)影響；其中一個是用來表示的，在數(shù)學(xué)上叫做數(shù)學(xué)期望。另外一個是用來表示，數(shù)學(xué)上叫它均方差。那么一個正態(tài)分布，當(dāng)然就受這兩個數(shù)來控制，這兩個值要是定了，實際就可以按照正態(tài)分布表去查出來分布函數(shù)值。也就是隨機(jī)數(shù)小于等于X的出現(xiàn)概率。把這個積分號里面一項單獨(dú)拿出來，用p（）來表示，把它叫做分布密度函數(shù)，這個函數(shù)寫起來當(dāng)然是比較復(fù)雜，但是它的規(guī)律是很簡單的。 分布密度函數(shù)有這么一個特性，是一個對稱的函數(shù)，那么，它以什么為對稱

7、呢?以它的數(shù)學(xué)期望值為對稱軸，左右對稱。那么它的分布，剛好和誤差分布是一樣的。誤差分布也是，靠近平均值的出現(xiàn)的次數(shù)特別多，所以它的分布密度特別高，而且是正誤差和負(fù)誤差是相等的。那么出現(xiàn)大誤差的概率越來越小，要是很大的概率基本上就接近于零了。這說明，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。所以，我們測量的絕大多數(shù)測量值，都服從正態(tài)分布,而它的數(shù)學(xué)期望，在我們測量當(dāng)中，實際上就是真值。測量值和真值之差，當(dāng)然就是誤差了。 由于測量誤差服從于正態(tài)分布，正態(tài)分布的規(guī)律就完全適應(yīng)于測量誤差了。正態(tài)分布的規(guī)律取決于兩個數(shù)，一個是數(shù)學(xué)期望，一個是均方差。均方差的特點(diǎn)是，均方差越小，分布密度函數(shù)越集中，它的峰值越高，函數(shù)越窄，越

8、靠近區(qū)域值。就是說，均方差越小，隨機(jī)數(shù)就更靠近數(shù)學(xué)期望值。那么對于測量誤差來講，假如你測量的誤差越小，那么它就越靠近平均值。 （三）測量數(shù)據(jù)的參數(shù)估計 這里頭，先說兩個名詞，一個叫母體，一個叫樣本。所謂母體，就是測量值的可能取值的總體，這個母體當(dāng)然是很多了，就是無窮多個。 一個物理量，我們對它可能進(jìn)行多少次測量，就有多少個測量值。實際上你可以測量無窮多次，當(dāng)然它的母體是很多個，實際是很多個測量值的組合。有些物理量，你測量不了這么多。所以，母體是一個無窮大的一個數(shù)列。 那么樣本，實際上是我們進(jìn)行試驗的時候，對它進(jìn)行幾次測量得到的測量值。因為你測量總是有限次的，所以這個樣本就是母體當(dāng)中的幾個。 測

9、量值的估計值。我們測量的目的，是為了求得真值。但實際上真值是你測量不到的，你只有測量無窮多次才能得到真值。我們當(dāng)然不能測量無窮多次，只能測量有限次。因此，我們得到的值只能是真值的估計值。那么用什么做估計值最好呢，當(dāng)然通過數(shù)學(xué)上證明就是用它的平均值。 也就是說估計值用什么表示呢？用上面加一個號來表示。真值的估計值用什么表示呢？用X上面加一個橫杠，表示對測量值的平均值，那么假如說做N次測量，那當(dāng)然就是N次的平均值，也就是把N個測量值加起來被N來除，這就是真值的估計值。見公式（6-1）。 大樣本、小樣本： 比如說，大家在學(xué)建筑材料的時候，對混凝土的標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度取值，那么它的取值，它要保證率要95%，那么

10、取值它是平均值減去1.45，那么，那時候它就把平均值，因為統(tǒng)計混凝土的強(qiáng)度平均值，那是統(tǒng)計很多了，那基本是幾千次上萬次的，所以它是個大樣本，就把它的平均值當(dāng)作真值了。所以，就完全按照正態(tài)分布的函數(shù)值來確定它的可靠程度。但是，小樣本實際確定可靠程度就不能完全按照正態(tài)分布來做。 下面一個就是標(biāo)準(zhǔn)誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤差在數(shù)學(xué)上實際上就是均方差的估計值,它的公式見式（6-2）。 我們也就把這個當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)誤差。這個標(biāo)準(zhǔn)誤差也是絕對數(shù)值的大小。因此，它還引入一個叫變異系數(shù)，用個來表示，它是標(biāo)準(zhǔn)誤差平均值和X平均值之比，實際上這個變異系數(shù)就相當(dāng)于前面說的相對誤差了。因為，它不是絕對值大小，而是相對于平均值的這么一個相

11、對值。 如果標(biāo)準(zhǔn)誤差要小，那么它實際上就說明你的平均值就更接近于真值，所以對于有限次測量來講，那就是說你這個真值的估計值得到以后，也就是說算術(shù)平均值得到以后，那么這個標(biāo)準(zhǔn)差的作用，就是衡量你的測量的可靠程度的。你這個標(biāo)準(zhǔn)誤差要小，可靠程度就高，標(biāo)準(zhǔn)誤差要大，可靠程度就低。 上面介紹的是誤差分析。通過誤差分析就可以得到真值的估計值，比如說，我們通過測量就可以得到一個算術(shù)平均值，用來估計真值的。同時用標(biāo)準(zhǔn)誤差來估計測量的可靠程度。 （四）回歸分析 結(jié)構(gòu)科學(xué)研究試驗數(shù)據(jù)處理的最終目的，就是求得研究對象中各有關(guān)變量的變化規(guī)律，確定各變量間的依存關(guān)系。一般要組成兩組無量綱的參數(shù)組合，做出圖表及曲線，再求

12、出經(jīng)驗公式。 1回歸直線的求法 建立經(jīng)驗公式，最簡單的當(dāng)然就是直線，我們把這個方法叫做回歸直線。假定我們有兩個觀測參數(shù)，一個是X，一個是Y，這個前面已經(jīng)說了，這兩個參數(shù)不一定是簡單參數(shù)，可能是一些變量的組合最后算出來的。那么Y也可能是某幾個變量組合算出來的。那么X和Y是互相對應(yīng)的，比如說X是3.1，Y是2.0等等。像這個表上列的都是一個X對應(yīng)一個Y，一個X對應(yīng)一個Y。如果把這個數(shù)據(jù)做在圖上，見圖61。xy3.15.25.56.07.58.08.19.510.512.013.015.016.017.52.01.82.03.02.43.03.63.44.84.85.05.45.06.0 那么Yi計算值和Yi測量值之間這段距離，我們叫它“離差”。 最小二乘法 它的方法是這樣的：先設(shè)計條直線，就是Y=A+BX，那么這個A和B當(dāng)然就是待定的參數(shù)了。就是說，我們只要求出A、B，那么這條直線就求出來了。 用Q表示“離差”平方和。這個“離差”平方和，就是N個Yi測量值減去Yi