高階微分方程

1、第五章高階微分方程1幾個(gè)例子一、【內(nèi)容簡介】本節(jié)結(jié)合幾個(gè)具體的實(shí)例，介紹了與高階微分方程有關(guān)的定解條件、定解問題和高階微分方程的降階技巧。二、【關(guān)鍵詞】自治微分方程三、【目的與要求】掌握高階微分方程的降階技巧，能熟練地運(yùn)用降階法解二階方程，會(huì)用已有知識(shí)建立高階微分方程及其相應(yīng)的條件解決簡單的幾何、物理問題。四、【教學(xué)過程】§2n維線性空間中的微分方程一、【內(nèi)容簡介】在這一節(jié)里，主要介紹如何把n階微分方程式化為標(biāo)準(zhǔn)微分方程組并采用向量的記號(hào)，將標(biāo)準(zhǔn)微分方程組寫成向量的形式，從而可以從理論上把n維向量形式的微分方程的研究與一階微分非常的研究統(tǒng)一起來。二、【關(guān)鍵詞】模；線性微分方程組三、【

2、目的與要求】掌握將高階微分方程化成等價(jià)的n階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的方法；會(huì)敘述n維向量形式的微分方程和n階線性微分方程組相應(yīng)的畢卡存在和唯一性定理；掌握n階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。四、【教學(xué)過程】§3解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性一、【內(nèi)容簡介】在這一節(jié)里，主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性，由于解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性問題可歸結(jié)為解對參數(shù)的同一問題。因此我們只討論方程的解對參數(shù)的連續(xù)依賴性。二、【關(guān)鍵詞】參數(shù)；連續(xù)依賴性三、【目的與要求】解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理揭示了微分方程的解的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【教學(xué)過程】§4解

3、對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性一、【內(nèi)容簡介】本節(jié)主要討論解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性。如上一節(jié)一樣，只考慮方程的解對參數(shù)的連續(xù)可微性。二、【關(guān)鍵詞】連續(xù)可微性；變分方程三、【目的與要求】與上一節(jié)一樣，解對初值和參數(shù)的連續(xù)可微性揭示了微分方程的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【教學(xué)過程】教學(xué)過程前面我們主要討論的是關(guān)于一階方程的幾個(gè)初等解法，在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)微分方程是高階的。二階以及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。對于高階微分方程沒有較為普遍的解法，下面我們通過例題介紹幾種高階微分方程的解法。這些解法的基本思想就是把高階微分方程通過某些變換降為低階的微分方程。

4、7;1幾個(gè)例子若方程不明顯包含字變量，即：F（y,y'）這類方程叫作自治（或駐定）微分方程。若方程明顯包含字變量，即：F （X, y,(n)y)=0(2)這類方程叫作非自治（或非駐定）微分方程。對于（1）可考慮降階。令Z ¥,則.32d y _ dz _ dz dy_ dx2 dx dy dxz乎dyd y_1_3z2dx (zdy) =2dy (dz)料畤2dzd?)dxn(z,dy，dy7代入(1),則得一個(gè)n-1階的微分方程廠z“dzd"zxnF1(y,Z,dy,薩。乎(x)dt2這是一個(gè)二階的自治方程。令V =dt,則d ,x _ dv dt2 dtdv d

5、x _ V dx V 石-dx代入(3)則得一階方程9分離變量積分得IV=Jf(x)dx-2c 廠 F(X)Tei(4)其中Ci是常數(shù)，F(xiàn) (x)是f (X)的一個(gè)原函數(shù)。對于固定的Cl, (4)是一個(gè)一階微分方程W=± J2F(x) -Ci分離變量，積分得G (x, q)t 十 C2,v2=2F(X)-qdx其中C2是第二個(gè)常數(shù)，而G(X,Ci)工+c稱(5)為微分方程(3)的通積分。例1、單擺方程取一根長度為I的細(xì)線0M,把端點(diǎn)0固定在一頂板上，而另一端點(diǎn)M掛上一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將小球拉離平衡位置，然后松開，讓它在一垂直平面內(nèi)自由擺動(dòng)，這樣就構(gòu)成一個(gè)單擺。(設(shè)單擺除重力外不受其

6、他力的作用)。設(shè)直線0M與垂線0P的有向夾角為X,并設(shè)逆時(shí)針方向?yàn)檎?，貝U單擺的振動(dòng)可以用弧度X=x(t)來描述，單擺振動(dòng)時(shí)，M端只能在圓周上運(yùn)動(dòng)，且它的角速度為dx,切線速度為駕切向加速度為-dlx。dt比1dt2現(xiàn)將重力mg分解到切線T及向徑N上，在T上的分力為T =mfSinX其中負(fù)號(hào)的力學(xué)意義：T與A的方向總是相反的（X兀），即T與sinx異號(hào)。由牛頓第二定律，即可得單擺的運(yùn)動(dòng)方程為:mNd2X二一musin或?qū)懗蒬lx+a?sindt2(6)其中常數(shù)a方程（6）為自治方程,可以用上述方法降階,dxd"x_Vdvdtdx'則得dt，V乎甲2sinX=dx一個(gè)V為函頷寫

7、成ldv2a2sinxdx數(shù)A為自變量的一階微分方程，積分得普產(chǎn)2cosx-(7)iC，上式可改寫為器J2a2cosX分離變量積分得J2dX=t+C2士i2acosX-ci上式出現(xiàn)了橢圓積分，為了克服這一困難，我們可以利用Sin的泰勒級(jí)數(shù)sinX二X-3?+IX5-古X，+線性化。即當(dāng)I很小時(shí)，sinx止X,可用線性方程5!7!a2x8）來代替方程（6）。對于方程（8）,以對它可以直接積分,dx37乘以方程dtdxd2x2dx/a)YT/x?2dt2于是有齊土后衛(wèi))+aX=分離變量積分得通積分1-arcsiaxn(Ci由此求得通解X=Asin(at+D)其中A='DOD=ac2是兩個(gè)任

8、意常數(shù)。A由通解（9）可見，當(dāng)A二。時(shí)，得到單擺的靜止?fàn)顟B(tài)：X=0主=0v=dt當(dāng)A>0時(shí)，單擺將以A為振幅，a為頻率作簡諧振動(dòng)。由（9）可知，單擺將作周期振動(dòng)，而且周期T二二2兀匚aVg由此說明，單擺的振動(dòng)周期只與單擺的長度I和重力加速度g有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。這就是所謂單擺振動(dòng)的等時(shí)性。例2懸鏈線方程設(shè)一理想的柔軟而不能伸縮的細(xì)線,的作用，自然彎曲，試求懸鏈線的形狀老煉的端攫融就是利用瓜這種苗等則fc為oy=y（x）。這個(gè)問題是歷史上的名題，最初1690年由詹姆斯貝努里提出來，伽里略曾猜想這條曲線是拋物線，但是后來發(fā)現(xiàn)不對，最后由約翰貝努里解決了，萊布尼茲把它命名為懸鏈線。下面就來

9、解決這一問題。設(shè)在xy平面上，懸鏈線的最低點(diǎn)為M,過M作垂直線為y軸，在上取一點(diǎn)0,0M的長度后面再確定，過0點(diǎn)，取與y軸垂直的直線為X軸（如圖）對于曲線AB是任意一點(diǎn)P,在MP弧段上T,H為張力，W為重力。由于MP處于平衡狀態(tài)，則有Teos日二H,Tsin日=W=P。為單位長度的重量，S為MP弧長。_as則有尋二dxd2 y dss為了消去，將上式求導(dǎo)得八二T代入得1應(yīng)(10)此方程是一個(gè)二階的自治系統(tǒng)，令z=y，則方程(10)降為一階方程d-ajl+z%分離變量積分,得In|z+J1+Z2|=ax+0,dx因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，z=y=0,代入得Cj=0(11)從而得InIz+JI+z°

10、;1=ax即Z+Z2(2)由此又可得Z-Jl+Z2=-ex1Zax_ax(11)+(12)得z=2(e-e)即二1儂7工)dx2/ax_ax,積分，得y(e+ep%22a2C2= 01若把x軸取在合適的位置，使當(dāng)X=0時(shí)y二一代入得11于是所求懸鏈線方程為y=2a(eax+eVMchax例3二體問題天體運(yùn)動(dòng)中的二體問題是歷史上一個(gè)著名的問題，時(shí)，就牛頓早在發(fā)明微積分的同研究了二體問題。假設(shè)太陽是靜止的，它的質(zhì)量為His,地球的質(zhì)量為EE,由于太陽系中除太陽外所有行星的總質(zhì)量遠(yuǎn)小于ms，因此我們可以忽略別的行星的作用?，F(xiàn)把坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在太陽S上，這就構(gòu)成了一慣性坐標(biāo)系，地球E的坐標(biāo)向量為r(t

11、)=(x(t),y(t),z(t),則E的速度和加速度分別為由牛頓第二定律F=ma則地球的慣性力為rniEp)=mE(X(t),y(t),Z(t)(t)(13)(14)-GmEmsr再根據(jù)萬有引力定律，可建立地球的運(yùn)動(dòng)方程為一而F而n,、=GmsMt)即r(t)1r(t)|將(13)寫成分量形式，即得如下的非線性方程組Gmsx(Jx2+y2+z2)3Gmv(Jx2+y2+z2)3G*_i這是一個(gè)自治的微分方程組。求解這種高階非線性方程組常用首次積分，由(14)可以得到.2.2dydzc0口zy=0即dt2dt2其中Ci是任意常數(shù)，同理dz'y蟲)=0由此可得一個(gè)首次積分zyyz=Ci(

12、15)可得：XZ-ZX=C2(16)yx-xy=C3(17)這里C2,C3都是任意常數(shù)。用x乘以(15),y乘以(16),Z乘以(17),然后相加得，Gx+C2y+C3Z=0這就是地球運(yùn)行軌道所在平面的方程，這就證明了地球運(yùn)行的軌道永遠(yuǎn)在一平面上。即二體問題是一個(gè)平面問題。下面設(shè)這個(gè)平面為X,y,坐標(biāo)平面。即地球的軌道永遠(yuǎn)在平面z=0上，那么描述地球位置的坐標(biāo)只要兩個(gè)，即x和y,而運(yùn)動(dòng)的方程為一個(gè)4階方程:ux(X2+y2)ouy(18)3(X2+y2)U其中Gms用y乘以(18)的第一式，用x乘以(18)的第二式，相減得：d(yx-xy)=0dt由此可得一個(gè)首次積分yx-xy=C4(19)(22)用ZX乘以(18)的第一式，用zy乘以(18)的第二式，相加得:ziHxx+yy；zxx中zyy=-nn_L力一丁_，y-2222rh"徂不II一小音而壬口八YaV911(V為討論方便，引進(jìn)極坐標(biāo)x=rcoS,y=rsin日，那么(21)rsin£)空代入(19)得-1即有一r(24)注意在dt時(shí)間內(nèi)向量F掃過的扇形面積為1巴。，故向量F在單位時(shí)間掃過的面積為一ro這樣就得到了開普勒第二定律：從太陽到行星的向量在單2dt位時(shí)間內(nèi)掃過的面積是常數(shù)。將(21)代入(20),得:dr(-