（精心整理）一元二次方程經(jīng)典測(cè)試題(含答案解析)

1、一元二次方程測(cè)試題考試范圍： 一元二次方程；考試時(shí)間：120分鐘；命題人：瀚博教育題號(hào)一二三總分得分第卷（選擇題） 評(píng)卷人 得 分 一選擇題（共12小題，每題3分，共36分）1方程x（x2）=3x的解為（）Ax=5Bx1=0，x2=5Cx1=2，x2=0Dx1=0，x2=52下列方程是一元二次方程的是（）Aax2+bx+c=0B3x22x=3（x22）Cx32x4=0D（x1）2+1=03關(guān)于x的一元二次方程x2+a21=0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A1B1C1或1D34某旅游景點(diǎn)的游客人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2015年約為12萬人次，若2017年約為17萬人次，設(shè)游客人數(shù)年平均增長率

2、為x，則下列方程中正確的是（）A12（1+x）=17B17（1x）=12C12（1+x）2=17D12+12（1+x）+12（1+x）2=175如圖，在ABC中，ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)下列時(shí)間瞬間中，能使PBQ的面積為15cm2的是（）A2秒鐘B3秒鐘C4秒鐘D5秒鐘6某幼兒園要準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為210平方米的矩形活動(dòng)場(chǎng)地，它的長比寬多12米，設(shè)場(chǎng)地的長為x米，可列方程為（） Ax（x+12）=210 Bx（x12）=210 C2x+2（x

3、+12）=210 D2x+2（x12）=2107一元二次方程x2+bx2=0中，若b0，則這個(gè)方程根的情況是（）A有兩個(gè)正根 B有一正根一負(fù)根且正根的絕對(duì)值大C有兩個(gè)負(fù)根 D有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大8x1，x2是方程x2+x+k=0的兩個(gè)實(shí)根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值為（）A1B或1CD或19一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個(gè)方程根的情況是（）A有兩個(gè)正根 B有兩個(gè)負(fù)根C有一正根一負(fù)根且正根絕對(duì)值大 D有一正根一負(fù)根且負(fù)根絕對(duì)值大10有兩個(gè)一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，以下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)

4、誤的是（）A如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=111已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x22tx+t22t+4=0的兩實(shí)數(shù)根，則（m+2）（n+2）的最小值是（）A7B11C12D1612設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x11x2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD第卷（非選擇題） 評(píng)卷人 得 分 二填空題（共8小題，每題3分，共24分）13若x1，x2是關(guān)于x的方程

5、x22x5=0的兩根，則代數(shù)式x123x1x26的值是 14已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax2b=0的兩實(shí)數(shù)根，且x1+x2=2，x1x2=1，則ba的值是 15已知2x|m|2+3=9是關(guān)于x的一元二次方程，則m= 16已知x2+6x=1可以配成（x+p）2=q的形式，則q= 17已知關(guān)于x的一元二次方程（m1）x23x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于x的不等式組的解集是x1，則所有符合條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是 18關(guān)于x的方程（m2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則偶數(shù)m的最大值為 19如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們面積之和為6

6、0米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，則人行道的寬度為 米20如圖是一次函數(shù)y=kx+b的圖象的大致位置，試判斷關(guān)于x的一元二次方程x22x+kb+1=0的根的判別式 0（填：“”或“=”或“”） 評(píng)卷人 得 分 三解答題（共8小題）21（6分）解下列方程（1）x214x=8（配方法） （2）x27x18=0（公式法）（3）（2x+3）2=4（2x+3）（因式分解法） 22（6分）關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2x2=0（1）若x=1是方程的一個(gè)根，求m的值及另一個(gè)根（2）當(dāng)m為何值時(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根23（6分）關(guān)于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有實(shí)根（1）求a的最

7、大整數(shù)值；（2）當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí)，求出該方程的根；求2x2的值24（6分）關(guān)于x的方程x2（2k3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）若x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值25（8分）某茶葉專賣店經(jīng)銷一種日照綠茶，每千克成本80元，據(jù)銷售人員調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間存在如圖所示的變化規(guī)律（1）求每月銷售量y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）若某月該茶葉點(diǎn)銷售這種綠茶獲得利潤1350元，試求該月茶葉的銷售單價(jià)x為多少元26（8分）如圖，為美化環(huán)境，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長方形空地上修建一個(gè)面積為1500平方米的長方形草

8、坪，并將草坪四周余下的空地修建成同樣寬的通道，已知長方形空地的長為60米，寬為40米（1）求通道的寬度；（2）晨光園藝公司承攬了該小區(qū)草坪的種植工程，計(jì)劃種植“四季青”和“黑麥草”兩種綠草，該公司種植“四季青”的單價(jià)是30元/平方米，超過50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的種植單價(jià)可降低1元，但單價(jià)不低于20元/平方米，已知小區(qū)種植“四季青”的面積超過了50平方米，支付晨光園藝公司種植“四季青”的費(fèi)用為2000元，求種植“四季青”的面積27（10分）某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，現(xiàn)有如下信息：信息1：甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是3元；信息2：甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多1元，乙商品零售單

9、價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的2倍少1元；信息3：按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求甲、乙兩種商品的零售單價(jià)；（2）該商店平均每天賣出甲乙兩種商品各500件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價(jià)每降0.1元，甲種商品每天可多銷售100件，商店決定把甲種商品的零售單價(jià)下降m（m0）元在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m為多少時(shí)，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為1000元？28（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（m+6）x+3m+9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2（1）求證：該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若n=4（x1+x2）x1x2，判斷動(dòng)點(diǎn)P（m，n）

10、所形成的函數(shù)圖象是否經(jīng)過點(diǎn)A（1，16），并說明理由一元二次方程測(cè)試題參考答案與試題解析一選擇題（共12小題）1方程x（x2）=3x的解為（）Ax=5Bx1=0，x2=5Cx1=2，x2=0Dx1=0，x2=5【解答】解：x（x2）=3x，x（x2）3x=0，x（x23）=0，x=0，x23=0，x1=0，x2=5，故選B2下列方程是一元二次方程的是（）Aax2+bx+c=0B3x22x=3（x22）Cx32x4=0D（x1）2+1=0【解答】解：A、當(dāng)a=0時(shí)，該方程不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由原方程得到2x6=0，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、未知數(shù)最

11、高次數(shù)是3，該方程不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)正確；故選D3關(guān)于x的一元二次方程x2+a21=0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A1B1C1或1D3【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程x2+a21=0的一個(gè)根是0，02+a21=0，解得，a=±1，故選C4某旅游景點(diǎn)的游客人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2015年約為12萬人次，若2017年約為17萬人次，設(shè)游客人數(shù)年平均增長率為x，則下列方程中正確的是（）A12（1+x）=17B17（1x）=12C12（1+x）2=17D12+12（1+x）+12（1+x）2=17【解答】解：設(shè)游客人數(shù)的年平均增長率為

12、x，則2016的游客人數(shù)為：12×（1+x），2017的游客人數(shù)為：12×（1+x）2那么可得方程：12（1+x）2=17故選：C5如圖，在ABC中，ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)下列時(shí)間瞬間中，能使PBQ的面積為15cm2的是（）A2秒鐘B3秒鐘C4秒鐘D5秒鐘【解答】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，能使PBQ的面積為15cm2，則BP為（8t）cm，BQ為2tcm，由三角形的面積計(jì)算公式列方程得，×（8t）×

13、2t=15，解得t1=3，t2=5（當(dāng)t=5時(shí)，BQ=10，不合題意，舍去）答：動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使PBQ的面積為15cm26某幼兒園要準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為210平方米的矩形活動(dòng)場(chǎng)地，它的長比寬多12米，設(shè)場(chǎng)地的長為x米，可列方程為（）Ax（x+12）=210Bx（x12）=210C2x+2（x+12）=210D2x+2（x12）=210【解答】解：設(shè)場(chǎng)地的長為x米，則寬為（x12）米，根據(jù)題意得：x（x12）=210，故選：B7一元二次方程x2+bx2=0中，若b0，則這個(gè)方程根的情況是（）A有兩個(gè)正根B有一正根一負(fù)根且正根的絕對(duì)值大C有兩個(gè)負(fù)根D有一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大【解答】解

14、：x2+bx2=0，=b24×1×（2）=b2+8，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程x2+bx2=0的兩個(gè)根為c、d，則c+d=b，cd=2，由cd=2得出方程的兩個(gè)根一正一負(fù)，由c+d=b和b0得出方程的兩個(gè)根中，正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，故選B8x1，x2是方程x2+x+k=0的兩個(gè)實(shí)根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值為（）A1B或1CD或1【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=1，x1x2=k又x12+x1x2+x22=2k2，則（x1+x2）2x1x2=2k2，即1k=2k2，解得k=1或當(dāng)k=時(shí)，=120，方程沒有實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去取k

15、=1故本題選A9一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個(gè)方程根的情況是（）A有兩個(gè)正根B有兩個(gè)負(fù)根C有一正根一負(fù)根且正根絕對(duì)值大D有一正根一負(fù)根且負(fù)根絕對(duì)值大【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根異號(hào)，正根的絕對(duì)值較大故選：C10有兩個(gè)一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，以下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)

16、的一個(gè)根D如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1【解答】解：A、在方程ax2+bx+c=0中=b24ac，在方程cx2+bx+a=0中=b24ac，如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確；B、“和符號(hào)相同，和符號(hào)也相同，如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，正確；C、5是方程M的一個(gè)根，25a+5b+c=0，a+b+c=0，是方程N(yùn)的一個(gè)根，正確；D、MN得：（ac）x2+ca=0，即（ac）x2=ac，ac1，x2=1，解得：x=±1，錯(cuò)誤故選D11已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x22tx+t22t+4=0的兩實(shí)數(shù)根

17、，則（m+2）（n+2）的最小值是（）A7B11C12D16【解答】解：m，n是關(guān)于x的一元二次方程x22tx+t22t+4=0的兩實(shí)數(shù)根，m+n=2t，mn=t22t+4，（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，=（2t）24（t22t+4）=8t160，t2，（t+1）2+7（2+1）2+7=16故選D12設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x11x2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【解答】解：方法1、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a0且0，由（a+2）24a×9a=35a2+4

18、a+40，解得a，x1+x2=，x1x2=9，又x11x2，x110，x210，那么（x11）（x21）0，x1x2（x1+x2）+10，即9+10，解得a0，最后a的取值范圍為：a0故選D方法2、由題意知，a0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的兩根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別在1兩側(cè)，當(dāng)a0時(shí)，x=1時(shí)，y0，a+（a+2）+9a0，a（不符合題意，舍去），當(dāng)a0時(shí)，x=1時(shí)，y0，a+（a+2）+9a0，a，a0，故選D二填空題（共8小題）13若x1，x2是關(guān)于x的方程x22x5=0的兩根，則代數(shù)式x123x1x26的值是3【解答】解：x1，x2是關(guān)于x的方程

19、x22x5=0的兩根，x122x1=5，x1+x2=2，x123x1x26=（x122x1）（x1+x2）6=526=3故答案為：314已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax2b=0的兩實(shí)數(shù)根，且x1+x2=2，x1x2=1，則ba的值是【解答】解：x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax2b=0的兩實(shí)數(shù)根，x1+x2=a=2，x1x2=2b=1，解得a=2，b=，ba=（）2=故答案為：15已知2x|m|2+3=9是關(guān)于x的一元二次方程，則m=±4【解答】解：由題意可得|m|2=2，解得，m=±4故答案為：±416已知x2+6x=1可以配成（x+p）2=q的形式，則q

20、=8【解答】解：x2+6x+9=8，（x+3）2=8所以q=8故答案為817已知關(guān)于x的一元二次方程（m1）x23x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于x的不等式組的解集是x1，則所有符合條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是4【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程（m1）x23x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，m10且=（3）24（m1）0，解得m且m1，解不等式組得，而此不等式組的解集是x1，m1，1m且m1，符合條件的整數(shù)m為1、0、2、3故答案為418關(guān)于x的方程（m2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則偶數(shù)m的最大值為2【解答】解：由已知得：=b24ac=224（m2）0，即124m0，解得：m3，偶數(shù)m的最大值

21、為2故答案為：219如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們面積之和為60米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，則人行道的寬度為1米【解答】解：設(shè)人行道的寬度為x米（0x3），根據(jù)題意得：（183x）（62x）=60，整理得，（x1）（x8）=0解得：x1=1，x2=8（不合題意，舍去）即：人行通道的寬度是1米故答案是：120如圖是一次函數(shù)y=kx+b的圖象的大致位置，試判斷關(guān)于x的一元二次方程x22x+kb+1=0的根的判別式0（填：“”或“=”或“”）【解答】解：次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，k0，b0，=（2）24

22、（kb+1）=4kb0故答案為三解答題（共8小題）21解下列方程（1）x214x=8（配方法）（2）x27x18=0（公式法）（3）（2x+3）2=4（2x+3）（因式分解法）（4）2（x3）2=x29【解答】解：（1）x214x+49=57，（x7）2=57，x7=±，所以x1=7+，x2=7；（2）=（7）24×1×（18）=121，x=，所以x1=9，x2=2；（3）（2x+3）24（2x+3）=0，（2x+3）（2x+34）=0，2x+3=0或2x+34=0，所以x1=，x2=；（4）2（x3）2（x+3）（x3）=0，（x3）（2x6x3）=0，x3=0

23、或2x6x3=0，所以x1=3，x2=922關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2x2=0（1）若x=1是方程的一個(gè)根，求m的值及另一個(gè)根（2）當(dāng)m為何值時(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根【解答】解：（1）將x=1代入原方程得m1+12=0，解得：m=2當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x2x2=0，即（x+1）（x2）=0，x1=1，x2=2，方程的另一個(gè)根為2（2）方程（m1）x2x2=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，解得：m且m1，當(dāng)m且m1時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根23關(guān)于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有實(shí)根（1）求a的最大整數(shù)值；（2）當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí)，求出該方程的根；求2x2的值【解答】解：（1）根據(jù)題意=6

24、44×（a6）×90且a60，解得a且a6，所以a的最大整數(shù)值為7；（2）當(dāng)a=7時(shí)，原方程變形為x28x+9=0，=644×9=28，x=，x1=4+，x2=4；x28x+9=0，x28x=9，所以原式=2x2=2x216x+=2（x28x）+=2×（9）+=24關(guān)于x的方程x2（2k3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）若x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值【解答】解：（1）原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，=（2k3）24（k2+1）=4k212k+94k24=12k+50，解得：k；（2）k，x1+x2=2

25、k30，又x1x2=k2+10，x10，x20，|x1|+|x2|=x1x2=（x1+x2）=2k+3，x1x2+|x1|+|x2|=7，k2+12k+3=7，即k22k3=0，k1=1，k2=2，又k，k=125某茶葉專賣店經(jīng)銷一種日照綠茶，每千克成本80元，據(jù)銷售人員調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間存在如圖所示的變化規(guī)律（1）求每月銷售量y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）若某月該茶葉點(diǎn)銷售這種綠茶獲得利潤1350元，試求該月茶葉的銷售單價(jià)x為多少元【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，把（90，100），（100，80）代入y=kx+b得，解得，y

26、與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+280（2）根據(jù)題意得：w=（x80）（2x+280）=2x2+440x22400=1350；解得（x110）2=225，解得x1=95，x2=125答：銷售單價(jià)為95元或125元26如圖，為美化環(huán)境，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長方形空地上修建一個(gè)面積為1500平方米的長方形草坪，并將草坪四周余下的空地修建成同樣寬的通道，已知長方形空地的長為60米，寬為40米（1）求通道的寬度；（2）晨光園藝公司承攬了該小區(qū)草坪的種植工程，計(jì)劃種植“四季青”和“黑麥草”兩種綠草，該公司種植“四季青”的單價(jià)是30元/平方米，超過50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的種植單價(jià)

27、可降低1元，但單價(jià)不低于20元/平方米，已知小區(qū)種植“四季青”的面積超過了50平方米，支付晨光園藝公司種植“四季青”的費(fèi)用為2000元，求種植“四季青”的面積【解答】解：（1）設(shè)通道的寬度為x米由題意（602x）（402x）=1500，解得x=5或45（舍棄），答：通道的寬度為5米（2）設(shè)種植“四季青”的面積為y平方米由題意：y（30）=2000，解得y=100，答：種植“四季青”的面積為100平方米27某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，現(xiàn)有如下信息：信息1：甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)之和是3元；信息2：甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多1元，乙商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的2倍少1元；信息3：按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求甲、乙兩種商品的零售單價(jià)；（2）該商店平均每天賣出甲乙兩種商