含參不等式恒成立問題的解法

1、一、基礎(chǔ)知識點：一、基礎(chǔ)知識點：、f(x)=ax+b,x ,，則：則： f(x)0恒成立恒成立 f(x)0f( )0f( )0f( )0在在R上恒成立的充要條件是上恒成立的充要條件是： _。a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 ax2+bx+c0在在R上恒成立的充要條件是：上恒成立的充要條件是： _。a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 . ( (* *) ) （1）當(dāng)）當(dāng)| x | 2，( (* *) )式恒成立，求實數(shù)式恒成立，求實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍 ；（2）當(dāng)）當(dāng)| m | 2，( (* *) )式恒成立，求實數(shù)式恒成立，求實數(shù)x x的取值范圍的取值范圍 . 當(dāng)當(dāng)1-m1,

2、 ( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2時恒成立的時恒成立的充充 要條件為：要條件為：解：解：(1)當(dāng)當(dāng)1-m=0即即m=1時，時， ( (* *) )式恒成立，式恒成立， 故故m=1適合適合( (* *) ) ； (1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+ 3 0 當(dāng)當(dāng)1-m0時，即時，即m1 ,( (* *) )式在式在x x -2,2-2,2時恒成立的時恒成立的充充 要條件為：要條件為： =(m-1)2-12(I-m)0 ， 解得解得: -11m1；解得解得: 1m23綜上可知綜上可知: 適合條件的適合條件的m的范圍是的范圍是: -11m 0恒成立恒成立g(-2)=3x2-3

3、x+30g(2)=-x2+x+30解解(2) : 設(shè)設(shè)g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）即即x R21312131 x 0 . ( (* *) ) （1）當(dāng)）當(dāng)| x | 2，( (* *) )式恒成立，求實數(shù)式恒成立，求實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍 ；（2）當(dāng)）當(dāng)| m | 2，( (* *) )式恒成立，求實數(shù)式恒成立，求實數(shù)x x的取值范圍的取值范圍 .練習(xí)練習(xí)1: 對于一切對于一切 |p| 2，pR，不等式，不等式x2+px+12x+p恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是：的取值范圍是： 。x3小結(jié)：小結(jié)：1、一次函數(shù)型問題，利用一次函數(shù)的圖像特征求

4、解。、一次函數(shù)型問題，利用一次函數(shù)的圖像特征求解。2、二次函數(shù)型問題，結(jié)合拋物線圖像，轉(zhuǎn)化成最值問、二次函數(shù)型問題，結(jié)合拋物線圖像，轉(zhuǎn)化成最值問 題，分類討論。題，分類討論。例例2、若不等式若不等式x x2 2 0,-kx+20,對對x x -3,3 -3,3恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍是 。2110 xy21y=x2y=log log x x16141 在同一坐標(biāo)系下作它們在同一坐標(biāo)系下作它們的圖象如右圖的圖象如右圖:解：解：設(shè)設(shè) y1= x x2 2 (x (x (0, )(0, ) ) y2= logloga ax x21由圖易得由圖易得: a 1161 a1

5、161y=x2+22-2-211y=kxy=2 x2y= - 2 x2解：原不等式可化為：解：原不等式可化為：x x2 2+2+2kxkx例例2、若不等式若不等式x x2 2 log0,-kx+20,對對x x -3,3 -3,3恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)k k的的取值范圍是取值范圍是 。21設(shè)設(shè) y1= x x2 2+2 (x +2 (x -3,3-3,3) ) y2= kxkx 在同一坐標(biāo)系下作它們的圖在同一坐標(biāo)系下作它們的圖象如右圖象如右圖:由圖易得由圖易得: -2 k222 -2 k 0）txy解解: 分離參數(shù)得分離參數(shù)得: a yxxy2x又又 令令1+2t=m（m 1），則，則

6、f(m)=2)21m(1m2)m5m(4 a f (x) max= 即即a 215215(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)m= 時等號成立時等號成立)521525245m22mm4xy1xy21恒成立恒成立2t1t 21, 則則 a （t t 0） 恒成立恒成立小結(jié)：小結(jié)： 4、 通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為f(x)（或（或f(x)）恒）恒成立，再運用不等式知識或求成立，再運用不等式知識或求 函數(shù)最值的方法，使函數(shù)最值的方法，使 問題獲解。問題獲解。例、已知例、已知a0，函數(shù)，函數(shù)f (x)=ax-bx2，（1）當(dāng)）當(dāng)b1，證明對任意的，證明對任意的x 0,1，|f(x)|1充要條件是

7、充要條件是: b-1a2 ；（2）當(dāng)）當(dāng)01 bx+ 2 (x= 時取等號時取等號 )bb1x1bx - a +bxx1x1解解:(1) b1時時,對對x (0,1,|f(x)|1 -1ax-bx21bx2-1 ax 1+bx2 故故 x (0,1時原式恒成立的充要條件為時原式恒成立的充要條件為: b-1a2b ( bx- )max=b-1 (x=1時取得時取得 )x1 又又 bx - 在在(0,1上遞增上遞增 x1又又 x=0時，時，|f(x)|1恒成立恒成立 x 0,1時原式恒成立的充要條件為時原式恒成立的充要條件為: b-1a2b故故 ( bx+ )min =b+1 (x=1時取得時取得

8、) x1(2) 00三、課時小結(jié)：三、課時小結(jié)：2、二次函數(shù)型二次函數(shù)型問題，結(jié)合拋物線圖像，轉(zhuǎn)化成最值問問題，結(jié)合拋物線圖像，轉(zhuǎn)化成最值問 題，題，分類討論分類討論。3、對于、對于f(x)f(x)g(x)g(x)型型問題，利用問題，利用數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖 象的關(guān)系再處理。象的關(guān)系再處理。 4、通過、通過分離參數(shù)分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，將問題轉(zhuǎn)化為f(x)（或（或f(x)）恒恒 成立，再運用不等式知識或求函數(shù)最值的方法，使成立，再運用不等式知識或求函數(shù)最值的方法，使 問題獲解。問題獲解。1、一次函數(shù)型一次函數(shù)型問題，利用一次函數(shù)的圖像特征求解。問題，利用一次函數(shù)的圖像特征求解。4 、已知已知f(x)= (x R) 在區(qū)間在區(qū)間 -1，1上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。（1）求實數(shù)）求實數(shù) a 的值所組成的集合的值所組成的集合A；（2）設(shè)關(guān)于）設(shè)關(guān)于x 的方程的方程f(x)= 的兩根為的兩根為x1、x2，試問：是否存試問：是否存在實數(shù)在實數(shù)m，使得不等式，使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 對任意對任意a A及及t -1，1 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，的取值范圍；若不存在，請說明理由。請說明理由。1、