線性代數(shù)考試題庫及答案(四)

1、線性代數(shù)考試題庫及答案一、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）1、設(shè)n階方陣A與8等價(jià)，則必有（A）當(dāng)同=（00）時(shí)，回=.（B）當(dāng)同=mwo）時(shí)， 怛|=a2、設(shè)A,3為同階可逆矩陣,3向量組1：；可由向量組II：4,A，&線性表示，則（向量組1必線性相關(guān)4、已知4和4是非奇次線性方程組4=人的兩個(gè)不同的解，4,%是對應(yīng)導(dǎo)出（C）當(dāng)同工0時(shí)，忸|=0(D)當(dāng)同=00寸，網(wǎng)=0（A）矩陣4與8等價(jià)(B)矩陣A與8相似（C）矩陣A與8合同(D)矩陣A與8可交換(A)向量組1I必線性相關(guān)(B)當(dāng)時(shí),向量組I必線性相關(guān)(O當(dāng)rs時(shí),向量組I必線性相關(guān)組的基礎(chǔ)解系，勺次2為任意常數(shù),

2、則方程組=的通解.（一般解）為（(A)ka+攵2(+%)+(B)q4+無2(4+(D)kypcx+匕(仇一+15、若方陣C=100、1,則C的特征值為b(A) 1,0,1(B) 1,1,2(C) T,1,2(D)T,1,1二、填空題（共10小題，每題2分，共計(jì)20分）1、已知囚，%為2維列向量,矩陣A=(2%-)，8=(q,4),若行列式同=-6,則網(wǎng)=(500)2、設(shè)3階方陣從=o1-2、則A的逆矩陣A-o矩陣3滿足A8A*=284+E，其中A為A的伴隨矩陣，E00b為三階單位矩陣，則8的行列式網(wǎng)二o(101)4、設(shè)A是3x5階矩陣，A的秩r(A)=2,而八020-則，(附)=。103,5、

3、已知四階行列式中第二列元素依次為1,2,3,4,其對應(yīng)的余子式依次為4,3,2,1,則該行列式的值為o2-2,、6、設(shè)三階矩陣從=212,三維列向量a=1，已知Ac與。線性相關(guān)，則、304；L7、 設(shè)四階矩陣A相似于B,A的特征值為2,3,4,5,為四階單位矩陣， 則行列式怛-4=O8、如果10階方陣A的各行元素之和均為0,且A)=9,則線性方程組Ax=O的通解為o9、若方陣A與對角陣相似，且A，=0,(m為自然數(shù))，則A=。10、若二次型/(小%,七)=2片+4+父+2中2+火13正定，則/的所屬區(qū)間為o三、計(jì)算題（一） （共4小題,每題8分，共計(jì)32分）1-11x-11、解方程1-1X+1

4、-1=01x-11-1X+1-11-12、求向量組名,%,4，%，%的一個(gè)極大無關(guān)組，并用該極大無關(guān)組表示其余的向量。其中q=(1,4,0,2)%=(-2,-7,1,-4)%=。,4,一1,31%=(-4,-4,3,1)T,a5=(2,5,1,0)z。1-113、設(shè)4=35-15322、2,求A的秩。6）249、4、求矩陣X,使X4=2X8+C。其中A=657、一53-2；1B=214、32。L21、5)T、1、已知向量夕=-13，因=2-3a=4-512、 。 3-36，Jba四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共30分）判斷向量/能否內(nèi)向量組名,見,%線性表示，若能，寫出它的一般表示方

5、式；若不能，請說明理由。（1）計(jì)算二次型X/X,寫出該二次型所對應(yīng)的矩陣;（2）將二次型XZX化為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所用的可逆線性變換及變換矩陣。1-2-4、（53、設(shè)A=-2x-2,8=r-2、（1）的值（2）相應(yīng)的正交矩陣P,使PTAP=8五、證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）1、設(shè)A為n階方陣，七為n階單位矩陣，且A?-2A4石=0。試證：A3石可逆，并求（A-3E）L2、若向量組4,%,%,%線性無關(guān)，向量組4+%。2+。3。3+%，%+%是否線性相關(guān)？說明其理由。線性代數(shù)課程試卷（A）一、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）31x1 .行列式4x0的展開式中，X?的系數(shù)為（）T

6、2、設(shè)從=4J，如果A8相似,求-4/2.設(shè)A,8為n階非零矩陣，且A8=0,則()(A)r(A)+r(B)n(B)r(A)=0(C)r(A)+r(B)n3 .向量組囚,。2,，巴線性無關(guān)的充要條件是()(A)向量組,4.不含零向量向量組%,中任意兩個(gè)線性無關(guān)(0向量不能由向量組&2,4,05線性表出(D)任一組不全為零的數(shù)占,2,，幻，都使kxax+k2a2H&q工04 .已知四階方陣A有特征值0,1,2,3,則方程組AX=0的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)45.n階對稱陣A為正定矩陣的充分必要條件是()(A)網(wǎng)0(B)A等價(jià)于單位矩陣E(C)A的

7、特征值都大于0(D)存在n階矩陣C,使4=。七二、填空題(共10小題，每題2分，共計(jì)20分)1.三階行列式47的展開式中，41a23前面的符號應(yīng)是。(A)-1(B)2(C)3(D)4（1232設(shè)A=221，4為4中元的代數(shù)余子式，則、343,A+4+433 .設(shè)n階矩陣A的秩A）v-1,則A的伴隨矩陣A*的元素之和nnzz&=。/=1;=14 .三階初等矩陣七（1,2）的伴隨矩陣為。5 .若非齊次線性方程組AX=B有唯一解，則其導(dǎo)出組AX=。解的情況是O/142/6 .若向量組a=A線性相關(guān)，則向量組必=，河=1；b一也叩u373，的線性關(guān)系是o7 .設(shè)矩陣4的特征多項(xiàng)式為根一川=（；

8、1-1）2（4+2）,則行列式2A-1+A*-3E|=o8.如果n階方陣A的各行元素之和均為2,則矩陣4必有特征值o9 .設(shè)人=瓦 b2b.為正交矩陣，則其逆矩陣力7=。IGC2C310 .二次型/（演,心）=2x；+4+2w&的正慣性指數(shù)為三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）1000111000011-00000100001111,且滿足AY-2X=3,求X。，4.化二次型/（項(xiàng),工2，巧）=工：+2年+2占七一2工2工3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出可逆的線性變換。四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共30分）1.當(dāng)。為何值時(shí)，方程組1.計(jì)算n階行列式：Dn=o2.設(shè)A=00陣

9、之積。200、100022012)用初等變換法求A；（2）將A-表示為初等矩33.設(shè)A=1、 一0,8=03JU3X1+2X2+x3+x4-3X5=0 x2+2X3+2X4+6/=3玉+X3+x4+x5=15X+4M+3X4-x5=a有無窮多組解？在有無窮多組解時(shí)，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解。2 .判 別 向 量 組4=(1,2,5,2)T,4=(3,0,7,14)7能 否 由 向 量組%=(1,-1,0,4)1%=(2,1,5,6)丁，%=(1,1,一2,0)7線性表出，并求向量組P1的一個(gè)極大無關(guān)組。422、3 .設(shè)4=242求正交矩陣尸，使PT/IP為對角矩陣，并寫出相應(yīng)224,的對角

10、陣。五、證明題(共2小題，每題4分，共計(jì)8分)1 .設(shè)n階方陣A有不同的特征值4,相應(yīng)的特征向量分別是囚， ”證明： 當(dāng)仁，區(qū)全不為零時(shí)，線性組合占/+0%不是A的特征向量。2.設(shè)n維列向量組%,%,4.線性相關(guān)，A為n階方陣，證明：向量組Aa1,Aa2，一,線性相關(guān)。(A12001000、0100010 00022001 000120002分附：線性代數(shù)（A卷）答案要點(diǎn)及評分標(biāo)準(zhǔn)一.選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）1.B；2.A；3.D；4.A；5.C.二.填空題（共10小題，每題2分，共計(jì)20分）0-101.負(fù)號；2.1；3.0；4.-100，或-31,2）；5.唯一解（或只有零解

11、）；6.線性相關(guān)；7.-27；8.2；9.2b2c2；10.3.I%與c3）1、解：按照第一行展開得到1000110.01100011.0D“=+(-1嚴(yán)=1+(-1嚴(yán)00.100001100.11000.1：2,為奇數(shù)：0，為偶數(shù)2、解:三、計(jì)算題（一）（共4小題,每題8分，共計(jì)32分）E)=(2)A-1=E(L2(-2)E(3,4(-1)E(43(-1)(3(1)8分23、解：方法一：LhAX-2X=B,得到（A2E）X=8,2分(A-2E,E)=1.-10-1100、10010-11001,7001-0101I。010110-111;22、所以，A-2E可逆，X=(A-2E)-B=-2-

12、18分方法二：由AX-2X=3,得至lJ(A-2E)X=8,用初等行變換求X0缶一2瓦8)=11所以210000100001110000/0001002-112J0001-210001010000010000001-1-i121一200、0100A-=001-100125分0100TOO7010100122)-2-111;6分22、所以，A-2E可逆，X=(A-2E)-1B=-2-12=W-七即可逆線性變換為.)3=超%=.+2-3X?=%-.%3=%一%8分四、計(jì)算題(二)(共3小題，每題10分，共計(jì)30分)1、解：由3211-30、012263“Ab)=.111111、54331a.111

13、12263000a-20000T10100、00方程組有無窮多組解，所以r(A)=r(A,Z?)=2,故a=24分il10-1-1-5-2原方程組等價(jià)于方程組(000 x=-2+X3+X4+5X5x2=3-2X3-2X4-6X5取均=匕=兌=0，得到特解=（一2,3,0,0,0尸4=（1,一2,0,0）7,多=（1，-2,0,1,0尸,=（5,-6,0。1尸方程組的全部解為X=+k4+稚3其中K,攵2,七為任意常數(shù)10分2、解：初等行變換矩陣外）到行最簡梯矩陣為可得到,凡能由%，%，%線性表示，且B=一/+&，2=221+%-%向量組。1,%,%,夕1，/?2的一個(gè)極大無關(guān)組為21,%

14、,%10分3、解:r(AZ?)t分別代入等價(jià)方程組的齊次線性方程組中求得基礎(chǔ)解系（%,%,笈，尸2）=1-10、42111-125-256023、I10。一170014)1000-1201110-1000；6分為-2-2=(2-8)(2-2)22-4得到矩陣A的全部特征值為4=4=2,4=8當(dāng)4=4=2H寸，由（2石-A）x=O得一個(gè)基礎(chǔ)解系。=（-1,1,01&=（一1,0,1）,正交化， 單位化自= （-3,3.。 尸，仇= （一坐， 坐,W） T7 分v2yJ2063當(dāng)4=8時(shí)，由（8EA）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解4=。，1，1尸將其單位化得夕3=（3，；尸9分J373則正交陣戶=（A，A.A）=國6.叵6V632相應(yīng)的對角陣為A=000、08,10分五、證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）1、證明：A（3i+&a