概率論和數(shù)理統(tǒng)計練習題與答案解析

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習題集及答案一、選擇題：1.某人射擊三次,以 A 表示事件“第i次擊中目標,那么事件“三次中至多擊中目標一次的正確表示為()(A)A+Az+A(B)A&+NA+AA(C)AA2A+AA2A+A1A2A3(D)AA2A2.擲兩顆均勻的骰子,它們出現(xiàn)的點數(shù)之和等于 8 的概率為()(A)-5(B)(C)(D)363636363 .設隨機事件A與B互不相容,且P(A)Q,P(B)0,那么()(A)P(A)=1-P(B)(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)P(A+B)=1(D)P(AB)=14.隨機變量X的概率密度為f(x)=產(chǎn)X,那么EX=()2xQ,P(B)0,那么(

2、D)P(A)(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)P(A|B)=P(D)P(A|B)-04.隨機變量X的概率密度為f(x)=12XX：,a),那么EX=(A)0其他J(A)I(B)1(C)3(D)葭A_X+,C5.隨機變量X的分布函數(shù)F(x)=A(1X)ex0,那么A=(B)0 x2那么常數(shù)a=,P1X3=.5 設隨機變量 X 的概率分布為X-101P0.30.50.2貝 UE(3X23)=.46 如果隨機變量 X 服從a,b上的均勻分布,且E(X)=3,D(X)=-,3(A)8(B)1(D)：貝 Ua=,b=.7 .設隨機變量 X,Y 相互獨立,且都服從參數(shù)為 0.6 的 0-1 分布,那

3、么PX=Y=.8 .設X,Y 是兩個隨機變量,E(X)=2,E(X2)=20,E(Y)=3,E(Y2)=34,PXY=0.5,那么D(XY)=.答案：c1-1,13L1.0.3,0.62.3.4.,5.4.534446. 1,57. 0.528.211.設 A,B 是兩個隨機事件,P(A)=0.3,P(AB)=P(AB),那么P(B)=.2 .甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某一個密碼,破譯成功的概率依次為 0.8,0.7,0.6,那么密碼能譯出的 1 率為.k3 .設隨機變重 X 的概率分布為 PX=k=,k=1,2,3,4,5,那么15311,P-X=.230,x04.設隨機變量 X 的分

4、布函數(shù)為F(x)=Jsinx,0 xL2PX-=.65 .設隨機變量 X 服從1,3上的均勻分布,那么的數(shù)學期望X為.6 設隨機變量Xi,X2相互獨立,其概率分布分別為貝(JPX1-X2=.7 .設 X,Y 是兩個隨機變量,XN(0,32),YN(1,42),X 與 Y 相互獨立,那么XY.8 .設隨機變量X1,X2相互獨立,且都服從0,1上的均勻分布,那么D(3X1-X2)=.9 .設隨機變量 X和 Y的相關系數(shù)為 0.5,E(X)=E(Y)=0,E(X2)=E(Y2)=2,那么E(X+Y)2=.答案：1.0.72.0.9763.14.0.53551ln32Xi12PX212P1233二、有

5、三個箱子,第一個箱子中有 3 個黑球 1 個白球,第二個箱子中有 3 個黑球3個白球,第三個箱子中有3個黑球5個白球.現(xiàn)隨機地選取一個箱子,再從這個箱子中任取 1 個球.1求取到的是白球的概率；2假設取出的球是白球,求它屬于第二個箱子的概率.解：設事件A表示該球取自第 i 個箱子i=1,2,3,事件 B 表示取到白球.P(AJP(B|A)_4P(B)4411三、某廠現(xiàn)有三部機器在獨立地工作,假設每部機器在一天內發(fā)生故障的概率都是 0.2.在一天中,假設三部機器均無故障,那么該廠可獲取利潤 2 萬元；假設只有一部機器發(fā)生故障,那么該廠仍可獲取利潤 1 萬元;假設有兩部或三部機器發(fā)生故障,那么該廠

6、就要虧損 0.5 萬元.求該廠一天可獲取的平均利潤.設隨機變量 X 表示該廠一天所獲的利潤萬元,那么 X 可能取2,1,-0.5,且PX=2=0.83=0.512,6.7.N(1,52)8.569.6叫藝叫 A 耍 Ay 丁1124P(A2|B);P(A2B)P(B)Y=2X+1 的密度函數(shù).解法一：Y 的分布函數(shù)為_.一,y-1_y-1PX=1=C3M0.2M0.82=0.384,PX=-0.5=1-0.512-0.384=0.104.所以E(X)=2X0.512+1X0.384+(-0.5)父0.104=1.356(萬元)四、設隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為 f(x,y)Zxy,0 x1,

7、0y10,其它(1)求PXY;(2)求X,Y的邊緣密度,并判斷 X 與 Y 的獨立性.解:PX二Y=f(x,y)dxdy=x:y11120dxx4xydy=2x(1-x)dx=0.5;04xydy=2x,fX(x)=f(x,y)dy=0,0Mx=1其它04xydx=2y,fY(y)=J(x,y)dx=0,0y51其它由fX(x)fy(y)=f(x,y)知隨機變量X,Y相互獨立.五、設隨機變量 X 的密度函數(shù)為fX(x)=l2:i,求隨機變量FY(y)=PY7=P2X17=PX三=FX(彳)解法二：由于y=2x+1是0ExW1上單調連續(xù)函數(shù),所以dh(y)3(史)2父二=3(匚)2,0Eh(y)

8、=11P1y3fY(y)=fx(h(y)|=?222、22ydy、0其它注：x=h(y)=y為y=2x+1的反函數(shù).二、設甲、乙、丙三人生產(chǎn)同種型號的零件,他們生產(chǎn)的零件數(shù)之比為 2:3:5.甲、乙、丙三人生產(chǎn)的零件的次品率分別為3%,4%,2%.現(xiàn)從三人生產(chǎn)的零件中任取一個.求該零件是次品的概率；(2)假設該零件為次品,求它是由甲生產(chǎn)的概率.解：設事件A,A2,A3分別表示取到的零件由甲、乙、丙生產(chǎn),事件B 表示取到的零件是次品.兩邊對 y 求導,得.1.fy(y)-fx(y-13zy-123/八22(丁=8(小0,0匕 11 即 1y32其它3P(B)=SP(A)P(B|A)=i12353

9、%4%1010102%=0.028;P(A)P(B|A)0.23%3P(B)-0.028-14三、設一袋中有 6 個球,分別編號 1,2,3,4,5,6.現(xiàn)從中任取 2個球,用 X 表示取到的兩個球的最大編號.求隨機變量 X 的概率分布；2求 EX.解：X 可能取2,3,4,5,6,且k-1k-1PX=k=d15,k=2,3,4,5,6所以 X 的概率分布表為X23456P1/152/151/54/151/36且 EX 八.kk=2一一,一,、.x.0WxW1.0wvw2四、設隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為 f(x,y)=,二 y、0,其它求PX+YW1;(2)求X,Y的邊緣密度,并判斷 X

10、與 Y 的獨立性.解：一.一1x121(1)PX+Y1=f(x,y)dxdy=jdxjxdy=jxdx=-;000ox：Oyi13P(A|B)=P(AB)P(B)k-1141531,1xdx=20其它fx(x)=-He-to-2xdy=2x,f(x,y)dy=0y0,0 x1其它由fx(x)fy(y)=f(x,y)知隨機變量X,Y相互獨立.五、設隨機變量 X 服從區(qū)間0,3上的均勻分布,求隨機變量 Y=3X-1的密度函數(shù).解法一：由題意知fx(x)=1/3,0Mx3.Y 的分布函數(shù)為0,其它,、,、,y1y1Fy(y)=PYy=P3X-1y=PXy-=Fx(2),33兩邊對 y 求導,得r1r

11、fY(y)=小(3戶 90,y1023iP-1y83其它解法二：由于y=3x-1是0WxW3上單調連續(xù)函數(shù),所以111-A=|=339,0y10h(y)=-3,即-1y83其它注：x=h(y)=y為y=3x-1的反函數(shù).3fY(y)=：if(x,y)dx=0y2*hefY(y)=Co%y)dx=Jy_yedx00y0y三0ye-yy00y0f(x,y);fx(x)fy(y)X與Y不獨立一批產(chǎn)品中有 90%是合格品,檢查產(chǎn)品質量時,一個合格品被誤判為次品的概率為 0.05,一個次品被誤判為合格品的概率是0.04.求：(1)任意抽查一個產(chǎn)品,它被判為合格品的概率；(2)一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品確

12、實是合格品的概率.解：設Ai=確實為合格品,A2=確實為次品,B=判為合格品(1)P(B)=P(A)P(B|Ai)P(A2)P(B|A2)=0.90.950.10.04=0.859P(Ai|B)3A加=0.9953P(B)四、設二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=(1)邊緣密度函數(shù)fx(x)和fy(y)；(2)判斷X與Y是否相互獨立,并說明理由;(3)PX+Y0 x0斛：(1)fx(x)=f(x,y)dy=,x=s0 x0.0 x0,0y1米.其他(1)邊緣密度函數(shù)fx(x)和fY(y)；(2)判斷X與Y是否相互獨立,并說明理由;(3)PX00 x00 x0r-(30：/產(chǎn)一

13、j22ye*dxfY(y)=U(x,y)dx=Ly0y1_2y其他=00:y：1其他(2);f(x,y)=fX(x)fY(y)二X與Y獨立11(3)PX二Y=2ye,dxdy=4e-10 x一、單項選擇題1,對任何二事件 A 和 B,有P(A-B)=(C).A.P(A)-P(B)B,P(A)-P(B)P(AB)C.P(A)-P(AB)D.P(A)P(B)-P(AB)2.設 A、B 是兩個隨機事件,假設當 B 發(fā)生時 A 必發(fā)生,那么一定有(B).A.P(AB)=P(A)B.P(A-B)=P(A)1214(3)PX+Y1=Le,dxdy=12e0+e四、設二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的概率密度為

14、D.P(A/B)=P(A)3 .甲、乙兩人向同一目標獨立地各射擊一次,命中率分別為0.5,0.8,那么目標被擊中的概率為C甲乙至少有一個擊中A.0.7B.0.8C.0.9D.0.854 .設隨機變量X的概率分布為X1234P1/6a1/4b那么a,b可以是D歸一性A1卜11k51k2A.a=一,b=B.a=,b=C.a=,b=D.641212121511a=一,b=一435.設函數(shù)f(x)=P5,a；xfb是某連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度,00,其它那么區(qū)間a,b可以是(B)(歸一性).C.P(B/A)=1A.0,1B.0,2C.0,.2D.1,2200.30.10.100.1那么PXY=0

15、=(D).7 .設隨機變量 X 服從二項分布B(n,p),那么有(D)(期望和方差的性質).A.E(2X-1)=2npB.E(2X-1)=4np-1C.D(2X-1)=4np(1-p)-1D.D(2X-1)=4np(1-p)8 .隨機變量X1B(n,p),且區(qū)劃DC91=,那么n,p的值為(A)A.n=8,p=0.6B.n=6,p=0.8C.n=16,p=0.3D.n=12,p=0.49 .設隨機變量XUN(1,4),那么下式中不成立的是(B)A.EX=1B.DX=2C.PX=1=0D.PX1=0.510 .設 X 為隨機變量,EX=-2,DX=1,那么E(X2)的值為(A)(方差的計算公式)

16、.A.5B.-1C.1D.311.設隨機變量 X 的密度函數(shù)為f(x)=ax：b,0：xj1,且 EX=0,0,其它那么(A)(歸一性和數(shù)學期望的定義).A.a=-6,b=4B.a=-1,b=1C.a=6,b=1D.a=1,b=512 .設隨機變量 X 服從參數(shù)為 0.2 的指數(shù)分布,那么以下各項中正確的是AA.0.1B.0.3C.0.5D.0.71.P(A)=0.6,P(A-B)=0.3,且 A 與 B 獨立,那么 P(B)=0.52 .設A,B是兩個事件,P(A)=0.5,P(A=B)=0.8,當 A,B 互不相容時,P(B)=一 0.3_;當 A,B 相互獨立時,P(B)=|.3 .設在

17、試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p,現(xiàn)進行 n 次重復獨立試驗,那么事件 A 至少發(fā)生一-次的概率為1-(1-p)n.4 .一批產(chǎn)品共有 8 個正品和 2 個次品,不放回地抽取 2 次,那么第 2次才抽得次品的概率P=-.455 .隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是事件 P(X0),那么 X 的密度函數(shù)為.7 .設隨機變量 X 服從參數(shù)日=2的指數(shù)分布,那么 X 的密度函數(shù)f(x)=;分布函數(shù) F(x)=.8 .隨機變量X只能取-1,0,1,三個值,其相應的概率依次為,2SdUc=2(歸一性).2c3c6cA.E(X)=0.2,D(X)=0.04B.E(X)=5,D(X)=25C.E(X)=0.2,

18、D(X)=413.設(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量件是(D).A.X 與 Y 相互獨立E(XY)=E(X)E(Y)C.E(XY)=E(X)E(Y)二、填空題D.E(X)=2,D(X)=0.25那么X與Y不相關的充分必要條BD.(X,Y)LN(,kJ,.)9 .設隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為f(x)=OX10：x1,那么九=3、0,其它(歸一性).10 .設隨機變量 XN(2,Q2),且P2X3=0.3,那么PX1=0.2P(2: 二X: 二3=P22: 二X二2=6(1)9)=0.3,又(0)=05.0()=0.8,craX-21-211PX：二1=P:二=：.：,()=1一中(一)=0.22=0.3753.P|X|2=1-P|X|2=1-P-2X2=1-(0.5)-：J(-1.5)=1-(0.6915-0.0668)=0.375312 .設隨機變量 XN(RI,%2),Y5 乜,.2),且 X 與 Y 相互獨立,貝 UX+YN(為+匕,叫2+口；)分布.13 .設隨機變量 X 的數(shù)學期望EX和方差DX0都存在,令Y=上口DX貝UEY=0；DY=1.14 .假設 X 服從區(qū)間0,2上的均勻分布,那么E(X2)=4/3.15 .假設 XB(4,0.5),貝UD(2-3X)=9.:二學CT17 .設隨機變量 X 的概率密度f(x)=合x10,E(X)=,D(X)=18