2005年初級(jí)經(jīng)濟(jì)師人力資源管理專業(yè)知識(shí)與實(shí)務(wù)真題(2)

1、第十一章 無窮級(jí)數(shù) 1113第十一章 無窮級(jí)數(shù)（數(shù)二不要求）§11.1考試內(nèi)容與要求考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)與 級(jí)數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷（Dirichlet）定理函數(shù)在上的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)在上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)考試要求1理解（了解

2、）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握（了解）級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.2掌握幾何級(jí)數(shù)與 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.3掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法.4掌握（了解）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.5. 了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系.6了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.7理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握(會(huì)求)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.8了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.9了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分

3、必要條件.10掌握的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù).11了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式.考試重點(diǎn):1. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義、性質(zhì)及斂散性判別法2. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域3. 級(jí)數(shù)求和4. 函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)5. 傅立葉級(jí)數(shù)展開和狄里克雷定理注：對(duì)畫線部分?jǐn)?shù)三不要求。§11. 2基本概念與內(nèi)容一. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的定義如果給定一個(gè)數(shù)列，則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 叫做常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。其中第項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)的

4、通項(xiàng)或一般項(xiàng)。2.級(jí)數(shù)的部分和的定義 稱為級(jí)數(shù)的部分和.3.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱無窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限叫做這個(gè)級(jí)數(shù)的和；否則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.（二） 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1. 級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)有相同的收斂性，且若，則.2.若級(jí)數(shù)與都收斂，則也收斂，且若，則. 注：級(jí)數(shù)和都發(fā)散時(shí)，不一定發(fā)散.如和都發(fā)散，但收斂.若級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則必發(fā)散.3.改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性.當(dāng)改變收斂級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)時(shí)，一般其和會(huì)改變.收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)收斂.注：收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所得級(jí)數(shù)不一定收斂.如級(jí)數(shù)收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)不一定發(fā)散.發(fā)散級(jí)數(shù)去括號(hào)后所得級(jí)數(shù)必發(fā)散

5、.5.級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則必有.注：由不能得到級(jí)數(shù)收斂.如對(duì)于級(jí)數(shù)，雖然，但發(fā)散.故不能用必要條件來判斷級(jí)數(shù)收斂.必要條件的作用：可用來判斷級(jí)數(shù)的發(fā)散.若，則級(jí)數(shù)必發(fā)散.（三）正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及收斂的充要條件 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義：對(duì)于級(jí)數(shù)，若，則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件：有界正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.2. 比較判別法及其極限形式（1）比較判別法：設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且 若收斂，則收斂。 若發(fā)散，則發(fā)散。（2）比較判別法的極限形式設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且.若,則與有相同的斂散性；若，則當(dāng)收斂時(shí)必有收斂；若，則當(dāng)發(fā)散時(shí)必有發(fā)散.注：關(guān)鍵是的構(gòu)造。常見：等比級(jí)數(shù)，

6、調(diào)和級(jí)數(shù)，P-級(jí)數(shù)。3.比值判別法：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 若，則4.根值判別法：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)若，則注：比較判別法、比值判別法和根值判別法只能用來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.不能用其判定其他級(jí)數(shù)的斂散性. 這三種方法都只是充分條件，反過來不一定成立.如正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，但. 比值判別法和根值判別法“當(dāng)時(shí)不確定”的含義是此時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，因此使用它們失效，得改用其他方法判別。（四）交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)（或）中，若，則稱此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù). 2.萊布尼茨判別法 條件： 結(jié)論：交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值 注：萊布尼茨判別法的條件只是一個(gè)充分條件（并不必要），如交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，但其并不滿足.（五

7、）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱它為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。1. 絕對(duì)收斂與條件收斂 絕對(duì)收斂的定義：若級(jí)數(shù)收斂，則必收斂，此時(shí)稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 條件收斂的定義：若級(jí)數(shù)發(fā)散，收斂，此時(shí)稱級(jí)數(shù)條件收斂.二冪級(jí)數(shù)（一）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義：設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)列，則由這個(gè)函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式，稱為定義在區(qū)間上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。稱為通項(xiàng)，稱為部分和函數(shù)。2.收斂（發(fā)散）點(diǎn)，收斂（發(fā)散）域的定義：對(duì)于每一個(gè)確定的,若收斂（發(fā)散），則稱為此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂（發(fā)散）點(diǎn)，收斂（發(fā)散）點(diǎn)的集合稱為此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂（發(fā)散）域.3.和函數(shù)：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?則任給，存在唯一的實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，使得

8、，稱為在上的和函數(shù).（二）冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的定義形如 （1）或 （2）的級(jí)數(shù)叫做冪級(jí)數(shù).2.阿爾貝定理若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則它在滿足的一切處絕對(duì)收斂.若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足的一切處發(fā)散.3.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間（1）收斂半徑的定義由阿貝爾定理可知：如果冪級(jí)數(shù)不是僅在處收斂，也不是在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上收斂，則必定存在一個(gè)正數(shù)，它具有下述性質(zhì)：(1) 當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂(2) 當(dāng)時(shí)，發(fā)散。如果冪級(jí)數(shù)僅在處收斂，定義,如果冪級(jí)數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上收斂,定義。稱上述為收斂半徑。稱開區(qū)間為的收斂區(qū)間。（2）收斂半徑的求法（1）當(dāng)冪級(jí)數(shù)不缺項(xiàng)時(shí)比值法： 根值法：（2）當(dāng)冪級(jí)數(shù)缺項(xiàng)時(shí)，解不等式求.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 加減

9、法：，當(dāng)?shù)仁阶筮厓蓚€(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不相等時(shí)，右邊的和（差）級(jí)數(shù)在原來兩個(gè)收斂域中較小的那個(gè)上面收斂；當(dāng)兩個(gè)冪數(shù)的收斂半徑相等時(shí)，和（差）級(jí)數(shù)的收斂半徑有可能擴(kuò)大. 乘法：，其乘積級(jí)數(shù)在兩個(gè)乘積因式級(jí)數(shù)收斂區(qū)間較小的那個(gè)上面收斂. 除法：，可由，再根據(jù)冪級(jí)數(shù)的乘法將右邊展開后比較兩邊同次冪的系數(shù)求.級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間可能比等式左邊兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小的多.5.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(1) 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù).(2) 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積，并有逐項(xiàng)積分公式： (3) 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式： ，右邊冪級(jí)數(shù)的初始項(xiàng)為1是因?yàn)樽筮吋?jí)數(shù)第一項(xiàng)是常數(shù)求導(dǎo)后為0.逐項(xiàng)

10、求導(dǎo)后所得冪級(jí)數(shù)與原來冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑，而在其收斂區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性有可能發(fā)生變化.6.函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)（1）函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在冪級(jí)數(shù)，使得則稱在區(qū)間上能展開成的冪級(jí)數(shù)。（2）展開式的唯一性若在區(qū)間上能展開成的冪級(jí)數(shù)，則其展開式是唯一的，且（3）泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)如果在的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，稱為麥克勞林級(jí)數(shù)。（4）函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法直接展開法：用公式求出系數(shù)代入冪級(jí)數(shù)（2）中并驗(yàn)證：間接展開法：利用四則運(yùn)算，代入法、逐項(xiàng)求導(dǎo)法、逐項(xiàng)積分，變量替換和常見初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式將函數(shù)展開. 三傅里葉級(jí)數(shù)（一）周

11、期為的傅立葉級(jí)數(shù) 1. 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系：在區(qū)間上正交，是指三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在該區(qū)間上的積分等于零。即在三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在該區(qū)間上的積分不等于零，即2.設(shè)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且在區(qū)間上可積，則稱為的傅立葉系數(shù)。稱三角級(jí)數(shù)為以為周期的的傅立葉級(jí)數(shù)。3. 傅立葉級(jí)數(shù)的收斂定理設(shè)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，如果滿足在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅立葉級(jí)數(shù)收斂。并且（1）當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于（2）當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于4. 正、余弦級(jí)數(shù)當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，其傅里葉系數(shù)，稱為正弦級(jí)數(shù).當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，其傅里葉系數(shù)

12、，稱為余弦級(jí)數(shù)。（二）只在上有定義的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開定義在上的函數(shù)可以有多種方式展開成的三角級(jí)數(shù)，但常用的方式有三種：周期奇延拓，周期偶延拓，周期延拓。（三）周期為的傅立葉級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且在區(qū)間上可積，則稱 為函數(shù)的傅里葉系數(shù)，則稱為函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).§11.3 典型例題分類解析一判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性例11.1（00-1-3）設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為（ ）(A) (B) (C) （D） 例11.2（02-1-3）設(shè)，且，則級(jí)數(shù)（ ）(A) 發(fā)散 (B) 絕對(duì)收斂 (C) 條件收斂 （D）收斂性根據(jù)所給條件不能判定例11.3（03-3-4）設(shè)，則下列命題正確的是

13、（ ）(A) 若條件收斂，則與都收斂(B) 若絕對(duì)收斂，則與都收斂(C) 若條件收斂，則與的斂散性不定(D) 若絕對(duì)收斂，則與的斂散性不定例11.4（04-1-4）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）(A) 若 ，則級(jí)數(shù) 收斂 (B)若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散 (C) 若級(jí)數(shù) 收斂，則（D）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得例11.5（04-3-4）設(shè)有以下命題： 若收斂，則收斂 若收斂，則收斂 若，則發(fā)散。 若收斂，則，都收斂則以上命題中正確的是（ ）(A) (B) (C) （D） 例11.6（05-3-4）設(shè)，若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) 收斂，發(fā)散 (B) 發(fā)散，收

14、斂(C) 收斂 （D）收斂例11.7（06-1-4）（06-3-4）若級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù)（ ）(A) 收斂 (B) 收斂 (C) 收斂 （D）收斂例11.8（09-1-4）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則（ ）(A) 當(dāng)收斂時(shí)，收斂 (B) 當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散 (C) 當(dāng)收斂時(shí)，收斂 （D）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散例11.9（11-3-4）設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是（ ）(A) 若收斂，則收斂(B) 若收斂，則收斂(C) 若收斂，則收斂（D）若收斂，則收斂二證明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性例11.10（04-1-11）設(shè)有方程，其中為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。三求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域例

15、11.11（02-3-3）設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（ ）(A) (B) (C) （D） 例11.12（08-1-4）已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例11.13（09-3-4）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 例11.14（11-1-4）設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?）(A) (B) (C) （D）四求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)例11.15（03-3-9）求冪級(jí)數(shù)（）的和函數(shù)及其極值。例11.16（04-3-9）設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為。求（1）所滿足的一階微分方程（2）的表達(dá)式例11.17（05-1-12）求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)例11.18（05-3-9）求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。例11.19（06-3-10）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。例11.20（07-1-10）設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足，（1）證明（2）求的表達(dá)式例11.21（10-1-10）求冪級(jí)