小學(xué)奧數(shù)之裂項(xiàng)

1、1 / 3這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng) (通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng) 分解(裂項(xiàng))如：(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1)(3)1/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)(4)1/(Va+Vb)=1/(a -b)(Va-Vb)(5)nn!=(n+1)! -n!公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。(關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu))1、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n2、 錯(cuò)位相減法求和：如

2、an=n 253、 裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1)4、 倒序相加法求和：如an=n5、 求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法：1.an+1-an=如an=-2n2+29n-32(an0)如an=3an=f(n)研究函數(shù)f(n)的增減性如an=an2+bn+c(a0)6在等差數(shù)列中，有關(guān)Sn的最值問題一一常用鄰項(xiàng)變號法求解：(1)當(dāng)a10,d0時(shí)，滿足an的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最大值.當(dāng)a10時(shí)，滿足an的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最小值.在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。對于較長的復(fù)雜算式， 單單靠一般的運(yùn)算順序和計(jì)算方法是很難求出結(jié)果的。 如 果算式中每一項(xiàng)的排列都是有規(guī)律的， 那么我們就要利

3、用這個(gè)規(guī)律進(jìn)行巧算和簡 算。而裂項(xiàng)法就是一種行之有效的巧算和簡算方法。 通常的做法是： 把算式中的 每一項(xiàng)裂變成兩項(xiàng)的差，而且是每個(gè)裂變的后項(xiàng) (或前項(xiàng)) 恰好與上個(gè)裂變的前 項(xiàng)(或后項(xiàng))相互抵消， 從而達(dá)到“以短制長”的目的。下面我們以整數(shù)裂項(xiàng)為例，談?wù)劻秧?xiàng)法的運(yùn)用，并為整數(shù)裂項(xiàng)法編制一個(gè) 易用易記2 / 3的口訣。例1、計(jì)算1x2+2X3+3X4+4X5+98X99+99X100分析：這個(gè)算式實(shí)際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100,先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為： 數(shù)列公差為1，因數(shù)個(gè)數(shù)為2。1X2=(1X2x3-0X1X2)-(1X

4、3)2X3=(2X3X4-1x2X3)-(1x3)3X4=(3X4X5-2X3X4)-(1X3)4X5=(4X5X6-3X4X5)-(1X3)98x99=(98x99x100-97X98x99)-(1X3)99x100=(99x100 x101-98x99x100)-(1x3)將以上算式的等號左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號 里面諸多項(xiàng)相互抵消，可以簡化為(99x100 x101-ox1x2)-3。解：1x2+2x3+3x4+4x5+98x99+99x100=(99x100 x101-0 x1x2)-3=333300計(jì)算之裂項(xiàng)習(xí)題 13 / 3細(xì)】劭屮2”皤+臨+ -一*0拓K例2(仁華學(xué)校200樂200窈學(xué)年六年級展示題(1x2+.3x4?7?【例叮 計(jì)曲厶+1x4 4x7 7x10100 x103砒】計(jì)律1十色十11理十理十迺2 6 12 2090 110汨杯計(jì)豔占十+丄r&r例4】yw1_1.11 11 1