2014年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編28銳角三角函數(shù)與特殊角

1、銳角三角函數(shù)與特殊角一、選擇題1. （2014 年廣東汕尾，第 7 題 4 分）在 Rt ABC 中，/ C=90若 sinA=，貝 U cosB 的值是（ ）A . B .二 C.5543分析：根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答.解：/ C=90 / A+ / B=90 cosB=si nA,vsi nA 更，. cosB=.故選 B .55點評：本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，熟記關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.2. （2014?畢節(jié)地區(qū)，第 15 題 3 分）如圖是以厶 ABC 的邊 AB 為直徑的半圓 O,點 C 恰好在分析：x k b 1 . c 由以 ABC 的邊 AB 為直徑的半圓 O,點

2、 C 恰好在半圓上，過 C作 CD 丄 AB 交 AB 于 D .易得/ ACD =ZB,又由 cos/ ACD=2,BC=4，即可求得答案./ ACB=90,/ ACD+ / BCD=90 ,vCD 丄 AB,/ BCD+ / B=90,/ B=/ ACD ,C.考點：圓周角定理；解直角三角形解答:解：vAB 為直徑,/ cos/ ACD=d,5 cos/ B,5 tan / B=,3/ BC=4 , tan/ B=上,BC 4 3 AC=!.3故選 D.來源:Z*xx*k.Com點評：此題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.（2014 年天津市，

3、第 2 題 3 分）cos60。的值等于（）考點：特殊角的三角函數(shù)值.分析：根據(jù)特殊角的三角函4.（ 2014?四川自貢，第 10 題 4 分）如圖，在半徑為 1 的OO 中，/ AOB=45 值為（）則 sinC 的xkb1.C0m考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義新_課一標(biāo)第專題：壓軸題.分析：首先過點 A 作 AD 丄 OB 于點 D，由在 RtAAOD 中，/ AOB=45 可求得 AD 與 0D的長，繼而可得 BD 的長，然后由勾股定理求得 AB 的長，繼而可求得 sinC 的值.解答：解：過點 A 作 AD 丄 0B 于點 D,在 RtAAOD 中，/ AOB=45 A

4、B=:/ AC 是OO 的直徑,/ABC=90 , AC=2 ,J2-J2 si nC=2故選 B.OD=AD=OA ?3os45=X1=-2 2x kb 1BD=OB OD=1 -:，點評：此題考查了圓周角定理、三角函數(shù)以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6.（ 2014 浙江金華，第 6 題 4 分）如圖，點 A （t, 3）在第一象限，0A 與 x 軸所夾的銳角3為:,tan :二一，則 t 的值是【】2A . 1B . 1.5C. 2D. 3【答案】C.【解析】試題分析:Vi A (L 3)在第一彖限，OA 與 3L 軸所夾的銳角為 qtano.33

5、* * tanCK t = 2 *t2故選 C,考點；1.點的坐標(biāo)，2.銳角三角函數(shù)定義.5.（ 2014?浙江湖州，第 6 題 3 分）如圖，已知BC 的長是（）Rt ABC 中，/ C=90 AC=4, tanA=2，則2C. 2.D.4.分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出tan A=L，代入求出即可.AC解：TtanA=二,AC=4，二 BC=2，故選 A .2 AC點評：本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，注意：在RtAACB 中,/ C=90 ,sinA二ZA的對邊斜邊cosA=/A的鄰邊斜邊tanA=3437. （2014?濱州，第 11 題 3 分）在 Rt ACB 中，/ C=90

6、AB=10 , sinA=W, cosA=- , tanA=,554則 BC 的長為（）B 7.5.新_課標(biāo) 第_網(wǎng)C. 8D. 12.5考點：分析：解答:點評:8.（ 2014?揚州，第 7 題，3 分）如圖，已知/ AOB=60 點 P 在邊 OA 上，OP=12，點 M ,N 在邊 OB 上，PM=PN，若 MN=2，貝 U OM =（）pC. 5（第 1 題圖）考點：含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)分析：過 P 作 PD 丄 0B,交 0B 于點 D,在直角三角形 POD 中，利用銳角三角函數(shù)定義求 出 0D 的長，再由 PM=PN，利用三線合一得到 D 為 MN 中點，根

7、據(jù) MN 求出 MD 的 長，由 0D - MD 即可求出 0M 的長.解答：解：過 P 作 PD 丄 0B，交 0B 于點 D ,在 RtA0PD 中，cos60=昱=丄,0P=12,OP 2 0D=6,/ PM = PN, PD 丄 MN , MN=2, MD = NDMN=1 ,2 0M = 0D - MD=6 - 1=5.故選 C.點評：此題考查了含 30 度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的 性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.二.填空題1. （ 2014?廣西賀州，第 18 題 3 分）網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是， ABC 每個頂點都在網(wǎng)格的交點處，則si nA=.c/N

8、/B2AA考點：銳角三角函數(shù)的定義；三角形的面積；勾股定理.分析：根據(jù)正弦是角的對邊比斜邊，可得答案.解答：解：如圖，作 AD 丄 BC 于 D , CE 丄 AB 于 E,由 BC?AD=AB?CE,即 CE=25sinA=,AC 2V5故答案為:點評：本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.2. （ 2014?廣西玉林市、防城港市，第 16 題 3 分）如圖，直線 MN 與OO 相切于點 M , ME=EF且 EF / MN，貝Ucos/ E=_2考點：切線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值.專題：計算題

9、.分析：連結(jié) OM , OM 的反向延長線交 EF 與 C,由直線 MN 與OO 相切于點 M，根據(jù)切線 xkbl.c 的性由勾股定理得AB=AC=2 匸，BC=2 匚，AD=3 匚,c1bt/AD質(zhì)得 OM 丄 MF ,而 EF / MN ,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 MC 丄 EF ,于是根據(jù)垂徑定om 理有 CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易證得厶 MEF 為等邊三角形,所以/ E=60然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.解答：解：連結(jié) OM , OM 的反向延長線交 EF 與 C,如圖，直線 MN 與 O O 相切于點 M, OM 丄 MF ,/ EF / MN , MC 丄

10、EF , CE=CF, ME = MF,而 ME=EF, ME=EF=MF, MEF 為等邊三角形， / E=60 , cos/ E=cos60=丄.2故答案為丄.2點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了垂徑定理、等邊 三角形的判定與性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值.3.（ 2014?溫州，第 14 題 5 分）如圖，在 ABC 中，/ C=90 AC=2 , BC=1，貝 U tanA 的值是.考點：銳角三角函數(shù)的定義.分析： /根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義（tanA=_二）求出即可.解答：丿解: tanA=!_=,AC 2故答案為：.2點評： :C本題考查了銳角三角函數(shù)定義的

11、應(yīng)用，注意：在RtAACB 中，/ C=90 ,.ANA的對邊ANA的鄰邊+ AZA的對邊sinA=, cosA=, tanA =斜邊斜邊NA的鄰邊4.（2014?株洲，第 13 題，3 分）孔明同學(xué)在距某電視塔塔底水平距離500 米處，看塔頂?shù)难鼋菫?20（不考慮身高因素），則此塔高約為 182 米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20 0.34,(Sin70 0.9397an20 0.3640an70 2.7475（第 1 題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.分析：作出圖形，可得 AB=500 米，/ A=20 ,在 RtAABC 中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長度.解答：解：在

12、RtAABC 中，AB=500 米，/ BAC=20 些=tan20,AB BC=ACtan20=500X0.3640=182 （米）.故答案為：182.點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解.三.解答題1.（2014?湘潭，第 25 題） ABC 為等邊三角形，邊長為 a, DF 丄 AB, EF 丄 AC,（1）求證： BDF CEF ;(2)若a=4，設(shè) BF = m,四邊形 ADFE 面積為 S,求出 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時 S 取最大值;(3)已知 A、D、F、E 四點共圓，已知 tan/EDF =；，求此圓直徑.2

13、考點：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形分析：(1)只需找到兩組對應(yīng)角相等即可.(2)四邊形 ADFE 面積 S 可以看成厶 ADF 與厶 AEF 的面積之和,借助三角函數(shù)用m 表示出AD、然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題.(3)易知 AF 就是圓的直徑，利用圓周角定理將/EDF 轉(zhuǎn)化為/EAF .在 AFC 中，知道 tan/ EAF、/ C、AC,通過解直角三角形就可求出AF 長.解答：解 : (I)TDF 丄 AB, EF 丄 AC, x k b 1 . c o m/ BDF = / CEF=90 .ABC為等邊三角形,/ BD

14、F = / CEF，/ B= / C,(2)v/BDF =90, /B=60,麗書哼,論詈./ BF=m,DF =m,BD=.2/AB=4, AD=4SAADF=AD ?DF =x (4) x m=:-m?+【m.2o(第 1題圖)-X=.同理：SSEF=AE?EF=X (4-) X (4-m)S_二 S=SAADF+SAEF=m2+；m+2 = - ( m2- 4m 8) T_ T EA 2 / C=6O ,=tan6O = =EC設(shè) EC=X，貝 y EF= jx, EA=2X.AC= a, 2X+X=A .EF= -，AE=-m2+2(m-2)2+3 ；.其中 Ovmv4.-V 0,Ov

15、2V4,4當(dāng) m=2 時，S 取最大值，最大值為3 7.(m-2)2+3:(其中 Ovmv4).當(dāng) m=2 時，S 取到最大值，最大值為 3 7.(3) 如圖 2, A、D、F、E 四點共圓，/EDF= /EAF./ ADF = / AEF=90O,AF是此圓的直徑./ tan/EDF=, tan/ AEF=90 ,AF= =此圓直徑長為士、.點評：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)禾 U 用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵.2.(2014?益陽，第 18 題，8 分)中國-益陽網(wǎng)上消

16、息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋如圖，新大橋的兩端位于A、B 兩點，小張為了測量 A、B 之間的河寬，在垂直于新大橋AB 的直線型道路 I 上測得如下數(shù)據(jù)：/ BAD =76.1 / BCA=68.2 CD=82 米.求 AB 的長(精確到 0.1 米).參考數(shù)據(jù)：sin76.1 Q.97OS76.1 Q.2tan76.1 ；.0sin68.2 Q.93os68.2 Q.37an68.2 .2.5考點：解直角三角形的應(yīng)用.分析：設(shè) AD=x 米，則 AC= ( x+82)米.在 RtAABC 中，根據(jù)三角函數(shù)得到 AB=2.5 (x+82),在 RtA

17、 ABD 中，根據(jù)三角函數(shù)得到 AB=4x,依此得到關(guān)于 x 的方程，進(jìn)一步即可求解.解答：解：設(shè) AD=x 米，貝 U AC= (x+82)米.在 RtAABC 中，tan/ BCA=,AC AB=AC?tan/ BCA=2.5 ( x+82).在 RtAABD 中，tan/ BDA=?,AD AB=AD?tan/ BDA=4x. 2.5 (x+82) =4x,解得 x= 】.3 AB=4x=4Xl 546.73答：AB 的長約為 546.7 米.點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.3. (2014?株洲，第 17 題,4 分)計

18、算：.,|.+ (n-3)0-tan45考點： 實數(shù)的運算；零指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值.分析：丿原式第一項利用平方根定義化簡，第二項利用零指數(shù)幕法則計算，最后一項利用特殊 角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果.解答：丿解 :原式=4+1 -仁 4.點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.4. (2014 年江蘇南京，第 23 題)如圖，梯子斜靠在與地面垂直(垂足為0)的墻上，當(dāng)梯子位于 AB 位置時，它與地面所成的角/ ABO=60當(dāng)梯子底端向右滑動 1m (即 BD=1m) 到達(dá) CD 位置時，它與地面所成的角/ CDO=51 1 &求梯子的長.(參考數(shù)據(jù):sin51

19、 18 0.780os51 18 0.62&n51 18 1)48（第 4 題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用分析：設(shè)梯子的長為 xm.在 RtAABO 中，根據(jù)三角函數(shù)得到 0B ,在 Rt CDO 中，根據(jù)三角函數(shù)得到 OD，再根據(jù) BD=OD - OB，得到關(guān)于 x 的方程，解方程即可求解.解答：設(shè)梯子的長為 xm.在 RtAABO 中，cos/ ABO=| ,AOB=AB?cosZABO=x?cos60= x.AB2在 RtACDO 中，cos/ CDO=，二 OD = CD?cos/ CDO=x?cos51 18 0.625CDBD=OD-OB，二0，解得x=8.故梯子的長是8米

20、.點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算.5. （2014?泰州，16 題，3 分）如圖，正方向 ABCD 的邊長為 3cm, E 為 CD 邊上一點，/ DAE=30 ,M 為 AE 的中點，過點 M 作直線分別與 AD、BC 相交于點 P、Q.若 PQ=AE，貝 U AP 等于 J或 2cm.（第 5 題圖）:全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形:根據(jù)題意畫出圖形，過 P 作 PN 丄 BC,交 BC 于點 N,由 ABCD 為正方形，得到AD = DC = PN,在直角三角形 ADE 中，利用銳角三角函數(shù)定義

21、求出DE 的長，進(jìn)而利用勾股定理求出 AE 的長，根據(jù) M 為 AE 中點求出 AM 的長，利用 HL 得到三角形 ADE與三角形 PQN 全等，利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等得到DE=NQ ,/ DAE=/ NPQ=30 ,再由 PN 與 DC 平行，得到/ PFA= / DEA=60 ,進(jìn)而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根據(jù) AM 的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP 的長，再利用對稱性確定出 AP 的長即可.解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過 P 作 PN 丄 BC,交 BC 于點 N ,四邊形 ABCD 為正方形， AD=DC = PN,在 RtAADE 中，/ DA

22、E=30 , AD=3cm, tan30=，即 DE= ;cm,根據(jù)勾股定理得：AE=. j:匕-=2 :cm , M 為 AE 的中點， AM= AE=J Scm ,2在 RtAADE 和 RtAPNQ 中，(AD二PNAE二PQ RtAADE 也 RtAPNQ(HL), DE=NQ,ZDAE =/NPQ=30,/ PN/DC,/PFA=ZDEA=60, / PMF=90 ,即 PM 丄 AF,在 RtAAMP 中，/ MAP =30 cos30=,點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與 性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.由對稱性得至 U AP DP=AD - A

23、P=3 - 2=1cm,綜上，AP 等于 1 cm 或 2cm.故答案為：1 或 2 .6.（2014?泰州，第 22 題，10 分）圖、分別是某種型號跑步機(jī)的實物圖與示意圖，已知踏板 CD 長為 1.6m, CD 與地面 DE 的夾角/ CDE 為 12支架 AC 長為 0.8m,/ ACD 為80 求跑步機(jī)手柄的一端 A 的高度 h （精確到 0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：sin12cos78 0.21 sin68=cos220.93tan68 2.48A BED圖（第 6 題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用分析：過 C 點作 FG 丄 AB 于 F，交 DE 于 G .在 RtAACF 中，根據(jù)三

24、角函數(shù)可求 CF，在 RtACDG中，根據(jù)三角函數(shù)可求CG,再根據(jù) FG=FC+CG 即可求解.解答：解：過 C 點作 FG 丄 AB 于 F，交 DE 于 G ./ CD 與地面 DE 的夾角/ CDE 為 12 / ACD 為 80/ACF=90+12 - 80=22 ,/CAF=68 ,在 RtAACF 中，CF=AC?sin/CAF0.744n ,在 RtACDG 中，CG=CD?sin / CDE0.336n , FG = FC+CG 1.m.故跑步機(jī)手柄的一端 A 的高度約為 1.1 m.圖點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識解決實際

25、問題.7.( 2014?畐建泉州，第 26 題 14 分)如圖，直線 y= - x+3 與 x, y 軸分別交于點 A, B,與 反比例函數(shù)的圖象交于點P (2, 1).(1) 求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2) 設(shè) PC 丄 y 軸于點 C,點 A 關(guān)于 y 軸的對稱點為 A;1求 ABC 的周長和 sin/ BAC 的值；2對大于 1 的常數(shù) m,求 x 軸上的點 M 的坐標(biāo)，使得 sin/ BMC=考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；直線與圓的位置關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義專題：壓軸題；探究型.分析：(1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式滬，然后把點

26、 P 的坐標(biāo)(2, 1)代入即可.X(2)先求出直線 y= - x+3 與 x、y 軸交點坐標(biāo)，然后運用勾股定理即可求出厶 A BC 的周長；過點 C 作 CD 丄 AB,垂足為 D，運用面積法可以求出 CD 長，從而求出 sin / BAC 的值.由于 BC=2, sin/ BMC=，因此點 M 在以 BC 為弦，半徑為 m 的OE 上，因而點ITM 應(yīng)是OE 與 x 軸的交點.然后對OE 與 x 軸的位置關(guān)系進(jìn)行討論，只需運用矩形的 判定與性質(zhì)、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點M 的坐標(biāo).解答：解：(1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式 y=.x點 P (2, 1)在反比例函數(shù) y的圖象上，x k=

27、2X1=2.9反比例函數(shù)的關(guān)系式 y/.(2)過點 C 作 CD 丄 AB,垂足為 D,如圖 1 所示.當(dāng) x=0 時，y=0+3=3 ,則點 B 的坐標(biāo)為(0, 3). OB=3.當(dāng) y=0 時，0= - x+3,解得 x=3, 則點 A 的坐標(biāo)為(3, 0), OA=3.點 A 關(guān)于 y 軸的對稱點為A： OA OA=3. PC 丄 y 軸，點 P (2, 1), OC=1 , PC=2 . BC=2./ AOB=90 OA OB=3 , OC=1, A=3 二 AC=不. ABC 的周長為 3+扁+2 . SSBC=BC?AO= AB?CD,: : BC?A O=A B?CD. 2X3=

28、3 XD . CD=/ CD 丄 A B, A BC 的周長為 3, sin/ BA C 的值為當(dāng) 1vmv2 時，作經(jīng)過點 B、C 且半徑為 m 的OE,連接 CE 并延長，交OE 于點 P,連接 BP,過點 E 作 EG 丄 OB，垂足為 G,過點 E 作 EH 丄 x 軸，垂足為 H，如圖 2所示./ CP 是OE 的直徑， / PBC=90 . sin/ BPC= =厶=.PC 2irIT/ sin/ BMC=,IT / BMC= / BPC. 點 M 在OE 上. sin/ BA/點 M 在 x 軸上 x k b 1 . c o m點 M 是OE 與 x 軸的交點./ EG 丄 BC

29、, BG=GC=1 . OG=2 ./ EHO= / GOH = / OGE=90四邊形 OGEH 是矩形. EH = OG=2 , EG=OH./ 1EC.OE 與 x 軸相離. x 軸上不存在點 M，使得 sin/ BMC=.IT2當(dāng) m=2 時，EH = EC.OE 與 x 軸相切.I.切點在 x 軸的正半軸上時，如圖 2所示.點 M 與點 H 重合./ EG 丄 OG , GC=1 , EC=m,EG=匚9:. OM = OH=EG=；.點 M 的坐標(biāo)為（二，0）.n.切點在 x 軸的負(fù)半軸上時，同理可得：點 M 的坐標(biāo)為（-*.；, 0）.3當(dāng) m2 時，EH EC.OE 與 x 軸相交.I.交點在 x 軸的正半軸上時，設(shè)交點為 M、M,連接 EM，如圖 2所示./ EHM=90 , EM = m, EH=2 ,MH=二= L .；= V :.B35CHOx/ EH 丄 MM :2fY八圖丄-圖 2點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形 的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的 高，考查了通過構(gòu)造輔助圓解決問題，綜合性比較強(qiáng)，難度系數(shù)比較大.由BC=2 ,sin/ BMC=2 聯(lián)想