初三數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題型及解題方法講解

1、v1.0 可編輯可修改10第1頁(yè)共 15 頁(yè)二次函數(shù)綜合題型精講精練題型一：二次函數(shù)中的最值問題2例 1 :如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax+bx+c 經(jīng)過 A (- 2,- 4), 0( 0, 0), B (2, 0)三點(diǎn).(1)求拋物線 y=ax2+bx+c 的解析式；(2)若點(diǎn) M 是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OI 的最小值.解析：(1)把 A (- 2,- 4), 0( 0, 0), B (2, 0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入4a - 44a+2b4c=0G-Q解這個(gè)方程組，得 a=-, b=1, c=0所以解析式為 y=-丄 x2+x.2(2)由 y=-二 x2+x= - (x

2、- 1)2旦，可得22 2拋物線的對(duì)稱軸為 x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OB OM=BM OM+AM=BM+AM連接 AB 交直線 x=1 于 M 點(diǎn)，則此時(shí) OM+A 最小過點(diǎn) A 作 ANIL x 軸于點(diǎn) N,在 Rt ABN 中, AB=.y 卜=*. |=4 二因此 OM+A 最小值為.問方法提煉：已知一條直線上一動(dòng)點(diǎn) M 和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)AB,求 AM+Bh 最小值的問題，我們只需做出 點(diǎn) A 關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn) A,將點(diǎn) B 與 A連接起來(lái)交直線與點(diǎn) M 那么 A B 就是 AM+BM 勺最小值。同理，我們也可以做出點(diǎn) B 關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn) B,將點(diǎn) A與 B連接起來(lái)交

3、直線與點(diǎn) M 那么 ABII尹 A例 2:已知拋物線C1的函數(shù)解析式為y ax2bx 3a(by=a+bx+c 中，得A,A1u1* q 、B” *1、一 /B17或者M(jìn)噸I*IB， -0)，若拋物線G經(jīng)過點(diǎn)(0, 3)，方程就是 AM+BM 勺最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。v1.0 可編輯可修改10第2頁(yè)共 15 頁(yè)Iax2bx 3a 0的兩根為人,x2，且x1x24。(1)求拋物線 G 的頂點(diǎn)坐標(biāo).v1.0 可編輯可修改10第3頁(yè)共 15 頁(yè)11（2）已知實(shí)數(shù)X 0，請(qǐng)證明：X2,并說明x為何值時(shí)才會(huì)有x 2.XX（3） 若拋物線先向上平移 4 個(gè)單位，再向左平移 1 個(gè)單位后得

4、到拋物線C2，設(shè)A（m, y1）， 上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：AOB 900，m 0，n 0.請(qǐng)你用含有m的表達(dá)式表示出厶S，并求出S的最小值及S取最小值時(shí)一次函數(shù)0A的函數(shù)解析式。解析：（1）v拋物線過（0,3）點(diǎn)，3a=-3a=l2 y=X+bx 32 、TX+bX3=0的兩根為X1,X2且X!- X2=4X1X2(X-1X2)24X1X2=4且bv0 b= 2y =X22 x3=(xl)2 4拋物線Ci的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(l,4)(2)Tx0,. x -2(VX)20 xJx11x 2,顯然當(dāng)x=i時(shí)，才有x2,XX(3)方法一：由平移知識(shí)易得C2的解析式為：y =x22 2A(mm ) ,B(

5、n,n)AOB為 Rt OA+OB2=AB2m+m+n+n= (mn)+(mn) 化簡(jiǎn)得：m n=l11LSAAOB=OA?OB = . m22 m n=lB(n, y2)是C2AOB的面積m4? n2n4v1.0 可編輯可修改10第4頁(yè)共 15 頁(yè)直線OA的一次函數(shù)解析式為X1,X2,求 |x1-X2|。因?yàn)?|x1-X2| =.(X1x2)24x1x2 SAAOB=1J2 m2n222：SAAOB的最小值為l,此時(shí)m=方法提煉：已知一元二次方程兩個(gè)根v1.0 可編輯可修改10第5頁(yè)共 15 頁(yè)b b 4acb b 4ac根據(jù)一元二次萬(wàn)程的求根公式 X.20；X220；可得到:bcX1X2；

6、x1x2-aam12, (m o);當(dāng) m1 時(shí)，1m -2 取得最小值。mm例 3: 如圖, 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A ( -1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三點(diǎn)(1) 求拋物線的解析式.(2) 點(diǎn) M 是線段 BC 上的點(diǎn)(不與 B, C 重合)，過 M 作MN y軸交拋物線于 N,若點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m,請(qǐng) 用 m 的代數(shù)式表示 MN 的長(zhǎng).(3) 在(2)的條件下，連接 NB NC 是否存在 m,使厶 BNC 的面積最大若存在，求 m 的值；若不存在， 說明理由.解析：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+1) (x - 3),則:a (0+1) (0- 3) =3, a=

7、- 1;拋物線的解析式：y= -( x+1) (x - 3) = -X2+2X+3.(2)設(shè)直線 BC 的解析式為：y=kx+b，則有：f3k+b=0仏二 3 ，故直線 BC 的解析式：y= - x+3.v1.0 可編輯可修改10第6頁(yè)共 15 頁(yè)已知點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m,貝 U M(m, - m+3、N ( m, - mf+2m+3 ；故 MN=- mf+2m+3-( -m+3)=-mi+3m (Ovmv3).(3) 如圖;的面積表示出來(lái)，得到一個(gè)關(guān)于m 的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值。

8、題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問題例 4:如圖，已知：直線yx 3交 x 軸于點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) B,拋物線/yy=ax +bx+c 經(jīng)過 A、B C (1， 0)三點(diǎn).(1、求拋物線的解析式；A(2)若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(-1，0)，在直線yx 3上有一點(diǎn) P,使 ABOA0DJ與 ADP 相似，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；F(3)在(2、的條件下，在 x 軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E,使 ADE 的面積等于四邊形 APCE 勺面積如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.拋物線經(jīng)過AB C 三點(diǎn)，把 A (3，0)，B ( 0，3)，C( 1，0、三點(diǎn)分別代入y 二 ax2+ bx

9、+C得方程組9a3bc 0c3ab c0a 1解得:b4c 32拋物線的解析式為y = x - 4x+3(2)由題意可得： ABO 為等腰三角形，如圖所示,SABN=SAMN+SAMNBMN(OD+DB =-MNK OB 2上、2+二2 8i(=i (-m+3m) x3=- (m2 -當(dāng) m 二時(shí)， BNC 的面積最大，最大值為2 -SABN(OvmK3);27方法提煉：因 BNQ 的面積不好直接求，將 BNQ 的面積分解為 MNCAMNB 勺面積和。然后將厶 BNC解：(1):由題意得,A (3，0)，B (0，3)v1.0 可編輯可修改10第7頁(yè)共 15 頁(yè)/ DP=AD=4 ,若厶 AB

10、3AADP2,過點(diǎn) P2作 P2MLx軸于 M AD=4,ABO 為等腰三角形， ADP2是等腰三角形，由三線合一可得：DM=AM=2=2M 即點(diǎn) M 與點(diǎn) C重合P2( 1, 2)(3)如圖設(shè)點(diǎn) E(x,y)，則SADE2AD| y | 2 | y |2當(dāng) P1(-1,4)時(shí)，yS四邊形AP1CE=SAACP1+SACE/1 1-2-2y|12 2II4=4+|y、2 y = 4+ |y|1 y =:440A1點(diǎn)E在x軸下方y(tǒng) =-4代入得：x2- 4x + 3 = - 4,即x24x 7 02/=(-4) -4X7=-120此方程無(wú)解當(dāng) P2( 1 , 2)時(shí),S四邊形 AP2C=S三角形

11、 ACP+S三角形 ACE=2 y=2+1y |y=2y= - 2代入得：x2- 4x+ 3 = - 2即x24x 50 ,.=(-4)2-4X5=-40此方程無(wú)解綜上所述，在 x 軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。方法提煉： 求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題， 我們可以先找出可能相似的三角形， 一般是有幾種情況，需要分類討論， 然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長(zhǎng)相似比來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)。 要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)使兩個(gè)圖形面積相 等，若厶 AB3AAPiD,則AOADOBDp點(diǎn) E 在 x 軸下方v1.0 可編輯可修改10第8頁(yè)共 15 頁(yè)我們一般是設(shè)出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等來(lái)求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖

12、形面積直v1.0 可編輯可修改10第9頁(yè)共 15 頁(yè)接求不好求的時(shí)候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個(gè)容易求解的圖形。例 5 :如圖， 點(diǎn) A 在 x 軸上， 0A=4 將線段 0A 繞點(diǎn) 0 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120至 OB 的位置.(1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過點(diǎn) A. O B 的拋物線的解析式;(3)在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn) P、O B 為頂點(diǎn)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解析：(1)如圖，過 B 點(diǎn)作 Bdx軸，垂足為 C,則/ BCO=90 ,/ AOB=120 ,/ BOC=60 , 又TOA=OB=4OCYBJX4=2,BC=OB sin60W2點(diǎn) B 的

13、坐標(biāo)為（-2, - 2 ：；）;(2)T拋物線過原點(diǎn) O 和點(diǎn) A. B,可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,將 A （4, 0）, B （- 2.- 2 近）代入，得fL6a+4b=0（磐-比二-岳此拋物線的解析式為y=-K+；x(3) 存在,若 OB=OP則 22+|y|2=42,/ POD=60 ,/ POBMPODAOB=60 +120 =180,即 P、O B 三點(diǎn)在同一直線上， y=2 J；不符合題意，舍去，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為D,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, y),解得 y=2乙當(dāng) y=2 卜;時(shí)，在Rt POD 中，/ PDO=90 , s

14、in / POD=J_J=.:OP 2v1.0 可編輯可修改10第10頁(yè)共 15 頁(yè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2,- 2 .二)v1.0 可編輯可修改10第11頁(yè)共 15 頁(yè)直線 AC 的解析式為 y=3x+3.2 2/ y= -X+2X+3=-（X-1） +4,頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（1 , 4）.2若 OB=PB 貝 U 42+|y+22=42,解得 y= - 2 二故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2, -2.：；）,3若 OP=BP 則 22+|y|2=42+|y+22,解得 y= - 2 :；,故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2,-2.方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐?/p>

15、使一個(gè)三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個(gè)邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來(lái)討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題-例 6 :綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線D與 y 軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) D 是該拋物線的頂點(diǎn).（1）求直線 AC 的解析式及 B, D 兩點(diǎn)的坐標(biāo);（2）點(diǎn) P 是X軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P 作直線 I / AC 交拋物線于點(diǎn) Q,試探究：隨著是否存在點(diǎn) Q 使以點(diǎn) A. P、Q C 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn) 標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）請(qǐng)?jiān)谥本€ AC 上找一點(diǎn) M 使厶 BDM 的周長(zhǎng)最小，求出M 點(diǎn)的坐標(biāo).2解析：（1）當(dāng) y

16、=0 時(shí)，-X+2X+3=0，解得XI=-1 , X2=3.點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)， A. B 的坐標(biāo)分別為（-1, 0）, （3, 0）.當(dāng)X=0時(shí)，y=3 . C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 3）設(shè)直線 AC 的解析式為y=k1X+b1(k 0),v1.0 可編輯可修改10第12頁(yè)共 15 頁(yè)（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn) Q 在 Q 位置時(shí)，Q 的縱坐標(biāo)為 3,代入拋物線可得點(diǎn)Q 的坐標(biāo)為（2, 3）;v1.0 可編輯可修改10第13頁(yè)共 15 頁(yè)當(dāng)點(diǎn) Q 在點(diǎn) Q 位置時(shí)，點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為-3,設(shè)直線 B D 的解析式為 y=k2X+b2 (k2 0).rk2+b2=4 21 12,代

17、入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q 的坐標(biāo)為（1-J 亍,-3）;綜上可得滿足題意的點(diǎn) Q 有三個(gè)，分別為：Q（2,3） ,Q（1 忖7, -3） ,Q（1-街,-3：（3）點(diǎn) B 作 BB丄 AC 于點(diǎn) F ,使 B F=BF,則 連接B D 交直線 AC 與點(diǎn) M 則點(diǎn) M 為所求， 過點(diǎn) B作B E 丄 x 軸于點(diǎn) E.;為點(diǎn)B 關(guān)于直線Rt AOC- Rt AFBCO CA-由 A (- 1, 0) , B (3 , 0) , C (0 ,AC= i , AB=4.: T !得 OA=1, OB=3 OC=3/piJA91 BB =2BF=：,由/ 仁/2 可得 Rt A03 Rt BEB,AO

18、 _C0_ CAE二班二時(shí)-一 T，即E BE 12 BE-0E=B-。葉-3=. B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-21125).代入拋物線可得點(diǎn) Q 坐標(biāo)為（1 +廠7,-3）;當(dāng)點(diǎn) Q 在 Q 位置時(shí)，點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為-3,/ 1 和/ 2 都是/ 3 的余角,/ 仁/2.3)v1.0 可編輯可修改10第14頁(yè)共 15 頁(yè)聯(lián)立 BD 與 AC 的直線解析式可得:gx=!35I：,，y35方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三 種情況來(lái)討論。題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問題例 7:如圖，半徑為 2 的OC與 x 軸的正半軸交于點(diǎn) A,與 y 軸的正半軸交

19、于點(diǎn) B,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（1, 0）.若 拋物線y 3x2bx c過 A、B 兩點(diǎn).3/ BC=2 OC=1 0B=-4 1,3 B ( 0, 一3) 將 A （ 3, 0） , B （ 0, J3 ）代入二次函數(shù)的表達(dá)式44813解得913235). M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（直線 BD 的解析式為：y=1x+4_：Y3+13,解得(1)(2)(3)V八 在拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得/ PBOMPOB 若存在，求出點(diǎn) BP_的坐標(biāo)廠若不若點(diǎn) M 是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)， MAB 的面積為 S,求求拋物線的解析式;解析：（1）如答圖 1,連接 0B說明理由;的最大（小）值.Dv1.0

20、可編輯可修改10第15頁(yè)共 15 頁(yè)39 3b c 03.3，解得:2 333- y竝。丿M i(2)存在.如答圖 2，作線段 0B 的垂直平分線 B( 0,I,與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)直線 I解得xJ3)，o(0，o),的表達(dá)式為y.322 .3xx33(3)如答圖 3，作 MHLx設(shè) M( Xm,ym),.代入拋物線的表達(dá)式，2軸于點(diǎn) H.1 1 1則 SMABFS梯形 MBO+SMHASOA= (MH+OB? OHHA? MH- OA?2 23OB=如2(3Xm)ym32ym33-ym子XmXm2 -.3v1.0 可編輯可修改10第16頁(yè)共 15 頁(yè)二次函數(shù)的解析式為:1丄(x 2)(13x

21、-20),481x-8SAMAB33Xm(丿 32xm2、3Xm、3)3、.32 2332.32亠xm2；3、3Xm2(xm22)29.383二當(dāng)Xm時(shí)，SAMAB取得最大值，最大值為29 38題型五：二次函數(shù)中的證明問題1例&如圖 11，已知二次函數(shù)y （x 2）（ax b）的圖像過點(diǎn) A（-4，3）， B（4，48（1 ）求二次函數(shù)的解析式：4).（2）求證： ACB 是直角三角形；（3） 若點(diǎn) P 在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P 作 PH 垂直 x 軸于點(diǎn) H, 為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)是否存在以 P、H、D說明理由。解：（

22、1）將 A（-4， 3），B（4，4）代人y148（x2）（ax b）中，整理得:4a-b724a b32解得13-20(2)由132x481x-8整理13x26x - 4002, x22013AB(3)PH=C (-2 , 0)從而有：AC=4+92=64+1=65AC2+BC2=AB、八 1321設(shè)p(x,一x48132x48BC2 2=36+16 AC +D(20,0)132BC =13+52=65故 ACB是直角三角形 5)一 x -)8 615一 X-HD=8 6(X0)當(dāng) PHBAACB 時(shí)有:20 -x13PHAC=13BC=2.13HDACBC整理得:13x48v1.0 可編輯

23、可修改10第17頁(yè)共 15 頁(yè)“ 122 284、p2(-1313“122 284、P2（-13，13）例 9:在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 是拋物線：y=x2上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）.連接 OP,過點(diǎn) 0 作OP 的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q.連接 PQ 交 y 軸于點(diǎn) M.作 PAIx 軸于點(diǎn) A,QB 丄 x 軸于點(diǎn) B.設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m（1）如圖 1，當(dāng) m=二時(shí)，1求線段 OP 的長(zhǎng)和 tan / POM 的值；2在 y 軸上找一點(diǎn)。，使厶 OCQ 是以 OQ 為腰的等腰三角形，求點(diǎn) C 的坐標(biāo);（2）如圖 2，連接 AM BM 分別與 OP OQ 相交于點(diǎn) D、E.1用含 m 的代數(shù)式表示點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；2求證：四邊形 ODM 是矩形.解析：(1)把 x=代入 y=x2,得 y=2，二 P( .1, 2), PA丄x軸PAMOtan/P0M=阮0PA= 罟?fàn)?2設(shè) Q (n, n ), / tanZQOB=taMPOM13215x x-即:48 86v