2018年高考數(shù)學(xué)常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練第61講立體幾何探究點(diǎn)的位置的方法

1、第 61 講立體幾何探究點(diǎn)的位置的方法【知識要點(diǎn)】立體幾何探究點(diǎn)的位置的方法一般有兩種：猜想證明法和設(shè)點(diǎn)解方程法【方法講評】方法一猜想證明法使用情景點(diǎn)的位置剛好很特殊（中點(diǎn)等），證明也比較方便. .解題步驟一般先猜想特殊位置（中點(diǎn)，n等分點(diǎn)等），再證明. .【例 1 1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD/BC，ABC - PAD = 90，1側(cè)面PAD底面ABCD. .若PA = AB = BC AD. .2（1 1）求證：CD_平面PAC；（2 2）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE/平面PCD?若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在,請說明理由;（3）求二面角A

2、- PD -C的余弦值. .2【解析】（D因?yàn)閆PAZ=90%所以M丄 Q.又因?yàn)閭?cè)面丄底面期CD,且側(cè)面PADnABCD = AD?所以皿丄底面MCD.而CDu底面ABCD,所以M丄CD.在底面/fiCD中，因?yàn)閆ABC=ZBAD = 9Q , AB=BC=-AD , 2所以AC = CD所以HC丄CD.又因?yàn)镻A|AC二A, 所以CD_平面PAC.3(2)在M上存在中點(diǎn)E,使得BEf/PCD,證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是連結(jié)BE, EF, FC,貝EF/AD,且EF = -AD.2由已知ZABC = ZBAD=9Q%BC/ADy_BC=-AD ,2BC/fEF?且BC=EF ,所以四邊形月砂為平行

3、四邊形，所BEffCF因?yàn)锽EU平面PCD,CFu平面PCD,所漢BE平面PCD(3)由(1 1)知，PA_底面ABCD，以A為原點(diǎn)，AB, AC, AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系xOyz，設(shè)AB=1，則P( 0,0,10,0,1),B(1,0,0),(1,0,0), D D(0,2,0),(0,2,0),C(1,1,0)(1,1,0)，則PC=(1,1,-1),=(1,1,-1),CD=(-1,1,0)=(-1,1,0)，顯然AB_平面PAD，所以AB二(1,0,0)為平面PAD的一個法向量設(shè)面PCD的一個法向量n=(=(x, y, z) )，則PC n= =x y - z=0=0

4、 且CD n= =-x y=0=0，取x=1=1，貝Uy=1=1，z=2=2，則n=(1, 1, 2). .設(shè)二面角A-PD-C的大小為 v ,由圖可知，v 為銳角，所以cos8=出器=6|AB 6即二面角A-PD-C的余弦值為 丄6. .61【點(diǎn)評】(1)(1)由于BC二一AD, ,所以觀察聯(lián)想取PA的中點(diǎn)E試驗(yàn)證明，剛好又可以證明點(diǎn)E滿足條2件. .(2 2)這種猜想證明法是有局限的，如果動點(diǎn)不是特殊點(diǎn)，那就不好處理，既浪費(fèi)了考試的時間，又給自己制造了緊張氣氛. .64【反饋檢測 1 1】在長方體ABCD-A.B.GD,中，AB二BC=2，過A,C,B三點(diǎn)的平面截去長(1(1)證明：直線A

5、iB/平面CDDiCi; ;(2(2)求棱Ai iA的長；(3)在線段BCi上是否存在點(diǎn)P，使直線AP與CiD垂直，如果存在，求線段AiP的長，如果不存在，請說明理由方法二設(shè)點(diǎn)解方程法使用情景方法比較普遍，適用于大多數(shù)題目. .解題步驟T T T T先設(shè)點(diǎn)P(x, y,z), ,且AP = l PB (l ? (a,b)，再用1表示點(diǎn)P的坐標(biāo)(f(l ),g(l ),h(l )，最后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入已知的某個條件等式求出1的值，即得點(diǎn)P的位置. .【例 2 2】如圖，四棱柱ABCD-AiB1CiDi中，側(cè)棱AA_底面ABCD,AB/DC,AB_AD,AD = CD =i,AA = AB =2,

6、E為棱AA的中點(diǎn). .(i)(i)證明：BiG CE; (2)(2)設(shè)點(diǎn)M在線段CiE上，且直線AM與平面ADDiAi所成角的正弦值為,求線段AM的長. .方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD - AiCiDi，這個幾何體的體積為4035【解析】以點(diǎn)A A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得d(QOQ(02). CCLOJ)、B】(022)G(a E(0丄0).B乙=(1Q1),哉=(一UT),于罡，所以BQ丄CTTT(2)血=(0丄0)tECEC 嚴(yán)Ql D.設(shè)風(fēng)f =乂EC】二(A,Aa0 A1,WAfAf = = AE+AE+血 =0+入乂).可取倉=(0Q2)為平面ADDADD、

7、的一個法向量.設(shè)0為直線皿與平面ADD.A,ADD.A,所成角，則2AJ3無+2兄+1干是血舄+廣呂解得趙馭伽二屁【點(diǎn)評】 本題試驗(yàn)GE中點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)證明不了，所以最好直接利用設(shè)點(diǎn)解方程組法先設(shè)點(diǎn)P(x, y, z), ,T T T T且AP=I PB (l ?(a,b)，再用I表示點(diǎn)P的坐標(biāo)(f(l ),g(l ),h(l )，最后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入已知的某個條件等式求出I的值，即得點(diǎn)P的位置.(2).(2)在設(shè)點(diǎn)時，要注意I的范圍，以免出現(xiàn)增解.(3).(3)設(shè)點(diǎn)時，有時不需要設(shè)三個未知數(shù)，要結(jié)合實(shí)際情況，確定未知數(shù)的個數(shù)【反饋檢測 2 2】如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相

8、垂直，AB = 2AD = 2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)sinsin 0 0 = =cosAMAM ABABAM-ABAM-AB66(1 1)求證：BD1/平面AiDE; (2 2)求證：DiE _ AiD;297【反饋檢測 1 1 答案】(1 1)證明見解析;(2(2) 4 4; (3 3)存在,TT(3 3)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角-MC -D的大小為？若存在，求出AM的長；若16不存在，請說明理由【反饋檢測 3 3】如圖，AABC的外接圓L O的半徑為,5，CD_|_|O所在的平面，BE/CD，CD=4，BC=2，且BE =1，tan. AEB =25.(1 1)求證：平面ADC_平面

9、BCDE.2(2 2)試問線段DE上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面ACD所成角的正弦值為 -?若存在，確7定點(diǎn)M的位置，若不存在，請說明理由.高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第6161 講:立體幾何探究點(diǎn)的位置的方法參考答案38【反饋檢測1詳細(xì)解析】TABCD-砧GU是長方體，二平面4曲平面CDDG/ 4 u平面AAB ,4&工平面CWG，/. 平面cX40解：設(shè)A.A = h,VA何體ABCDS的體積為丁,.卩 _v卩_ 4二b bJBCD一賈血斗qq斗斗q =33lx2x2x/? = 解得五=4.3 23（3）在平面CCiDiD中作DiQ _CiD交CCi于Q，過Q作QP/CB

10、交B。于點(diǎn)P，則AP_GD.因?yàn)锳D_ 平面CC1D1D,C1D平面CC1D1D, GD _ AD，而QPCB,CBAD, QP/A1D1,又丁ADjIUQDj,GD_ 平面APQG, 且AP平面APQG, AP_GD.DiCiQ-RtCiCD，CP器,Ci1,又；陀込gBCT7四邊形A1PQD1為直角梯形，且高1229DiQ二、5, AP = . （2一）5V22【反饋檢測 2 2 答案】（1 1）證明見解析；43（2 2）證明見解析；（3 3）存在，AM =23即JBCD疋h_ jx萼I即2x2x/r-x39【反憒檢測2詳細(xì)解析X1)連結(jié)蟲9交4。于卩，連結(jié)EF,因?yàn)樗倪呅蜛A.D.D為正

11、方形斤以F為的中晟又點(diǎn)E為心的中點(diǎn)， 在40中， 有中位2疑理有EFfg,而BDg平面ADE, EFu平面AflE,所法，平面AfiE.(2 2)因?yàn)檎叫蜛A,DJD與矩形ABCD所在平面互相垂直，所以AD“_ AD,AE _ AD,而ADj門AE二A，所以AQ_平面A DE，又D1E平面A DE，所以D1 _A(D. .DI(0,0,1)(3 3)存在滿足條件的AMU3x依題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B =2AD -2，則D(0,0,0),C(0,2,0),A(1,0,1)，所DD(0,0,1),DC (0,2, -1)易知DD1為

12、平面MCD的法向量，設(shè)M(1,a,0)(a 0)，所以MC =(-1,2-a,0)平面DC的法向量為ri Tn D1Cn =(x, y,z)，所以 tI1n MC BE丄平面ABC ,BE丄AB / BE=1=1,tan AEB=2、5 / AE =習(xí),從而AB二.AE2- BE2=2 .5/oO的半徑為5 ,.AB是直徑，AC丄BC又/ CDCD 丄平面ABC, CDCD 丄BC，故BC丄平面ACD:BC平面 BCDEBCDE 平面ACD平面BCDE=0即(x,y,z) (1,2 a,0) =0=0 (x,y,z) (0,2, -10，所以2，取心,lx = (2 a)y則n =(2 -a,

13、1,2)，又二面角D1-MC-D的大1(0,01)(2-a，1,2)|_,解得a遼一仝23所以遇刖陽I(2-a)21 2故在線段AB上是存在點(diǎn)M，使二面角D-MC-D的大小為6，且AM【反饋檢測 3 3 答案】(1 1)答案詳見解析；(2 2)存在，且DM =-DE3【反饋檢測 3 3 詳細(xì)解析】(1(1)vCDc c 丄平面ABC,BE |CD10(2)方法 1：假設(shè)點(diǎn)就存在，過點(diǎn)械作冊丄仞于，連結(jié)的，作如丄厲于 F,連結(jié) AFT 平面/CD 丄平面RCDE,二臨丄平面ACD, :.ZMAN為胚 1 與平面/QD 所咸的角.33設(shè)計(jì)算易得，DN=-xMF-x故股二 J 血 + 的=/4Ca+ CFa+AfF2= J16+xa+4-| 琲2- i-今 解得：舍去)J6+P +(4-x/故磁二勿，從而滿足條件的點(diǎn)皿存在，且冊=|QE方法 2 2:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C -xyz,4242解得或 ，其中.(0,1應(yīng)舍去，而(0,1故滿足條件的點(diǎn)M存在，且點(diǎn)M的33334坐標(biāo)為(0, ,2)AM則：A(4 4, 0 0, 0 0),B(0 0, 2 2, 0 0),D(0 0, 0 0,0