分岔圖做法[]

1、.cRi：= loooq R2 =IDOOQR3：= OOOqR4：= IOOOQR6 = 1OOOQR7；= 1OOOQR13：= IODOQR14 -= OOOOOR/6：= IDOOQRI7：= 1000QRI9：= 500QR20：= 500Q刖2：= 1004 R9：= 3D0QR5：= 2857QR12：= 100URM：= 420UJ?/ s= 77;?/5：= 333OQ R怡：=100.9；R12：= 1OOQ a = o.ooooo t C2 0.000001 C3 = 0.000001；C4 = 0.000001R8 = 1352.OAgUjj +別)R1-R5-CI-(

2、R2 + R3):版00L75009 y一35. 00175009 xyl = RH-H14( + R12)_ (知Oy-RKJT)+(R8RI0 +刃I + R10RIi)R9R13R15C2肚50812306 y- 6. 821301230A一100,1001001血|(RI6 + RIV)R!HRI9-；-Z- r 1-(R17 + R18)16R203 “R16R20C3混沌研究總結(jié)篇-一、分岔圖（I.Chen系統(tǒng)）先打個提綱，這幾天把自己混沌相關(guān)知識研究學(xué)習(xí)容總結(jié)一下。首先簡紹幾個基本概念：一、自治系統(tǒng)一個 n 階自治的連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)可以表示為y二f（工）衛(wèi)鳥）二X?可以理解為對于自治

3、的連續(xù)系統(tǒng)，上相量場f 是不依賴于時間 t 的二、非自治系統(tǒng)一個 n 階非自治的連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)可以表示為可以理解為對于非自治的連續(xù)系統(tǒng)，向量場f 不僅依賴于狀態(tài)變量 X,而且依賴于時間 t，如 Duffing 振子。三、龐加萊映射龐加萊映射是一個傳統(tǒng)的用來離散化連續(xù)系統(tǒng)的方法。龐加萊映射可以 用.c(n-1)階的離散映射來取代n階的連續(xù)系統(tǒng)。 龐加萊映射的用處正在于減小系統(tǒng) 的階數(shù)，并且在連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)之間建立了一座橋梁。對于 n 階自治系統(tǒng)，其對應(yīng)的解對就著軌跡 。當(dāng)選擇 作為一個(n-1)維的 超平面，這樣軌跡將穿越超平面。難點主要是超平面的選取，使其對應(yīng)的解穿 越超平面，就可以得到一個

4、領(lǐng)域的龐加萊映射。對于 n 階非自治系統(tǒng)，若其外加強迫力的最小周期是 T,j 最終的龐加萊映射 可以定義為卩(工)=軒:.相應(yīng)的軌道 P(xk)是對某個軌跡每隔 T 時刻采樣一次獲得，這種操作和每隔T 時刻的頻閃觀測儀的行為很相似。所以要想得到一個系統(tǒng)的龐加萊映射，這段話一定要好好理解，當(dāng)真真知 道這中間說的含義，龐加萊映射這么畫其實也已經(jīng)知道國。四、分岔圖分岔圖的橫坐標(biāo)是一個變化的參數(shù)，縱坐標(biāo)是你要求的某一個量的隨著 各參數(shù)的變化情況，而 poincare 則是我們選取橫坐標(biāo)上的某參數(shù)的某一個具體 值時截面圖，只不過 poincare 截面的選取其實可以是任意的。下面主要研究的混沌系統(tǒng)有：

5、Logistic、Henor、Lorenz、Duffing、Rossler、Cher、混沌電機模型等系統(tǒng)I.Chen 系統(tǒng)先說 Chen 系統(tǒng)，因為和課題有一定的關(guān)系，而且自己以后起家也得從Chen系統(tǒng)入手。系統(tǒng)方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是對此方程中不同參數(shù) a、b、c 下對系統(tǒng)畫分岔圖，研究混沌系統(tǒng)(1)給定 a、c，畫 b 關(guān)于系統(tǒng)的分岔圖結(jié)果如下圖所示.cAgur-e 1File Edit View rnsert Tooh Desktop Window HelipCODE function fenchatuc

6、henclc;clearXA=35;XC=28;Z=；for XB=li nspace(2,5.5,100);optio ns = odeset(RelTol,1e-6,AbsTol,1e-4 1e-4 1e-5);T,X=ode45(chen,0,50,-5 0 5,options,XA,XB,XC);n=le ngth(X);for k=round(n /2): nif abs(X (k,1) 0 就 會出現(xiàn)混沌。微分動力系統(tǒng) L yapunov 指數(shù)的性質(zhì)對于一維（單變量）情形,吸引子只可能是不動點（穩(wěn)定定態(tài)）。此時入是負(fù) 的。對于二維情形，吸引子或者是不動點或者是極限環(huán)。對于不動點，任

7、意方向的Sxi ,都要收縮,故這時兩個Lyapunov指數(shù)都應(yīng)該是負(fù)的,即對于不動點,（入1 ,入2 ）=（-,-） 。至于極限環(huán),如果取Sxi 始終是垂直于環(huán)線的方 向,它一定要收縮，此時入0;當(dāng)取Sxi 沿軌道切線方向,它既不增大也不縮小，可以想像,這時入=0。事實上，所有不終止于定點而又有界的軌道（或吸引子）都至少有一個 Lyapunov 指數(shù)等于零，它表示沿軌線的切線方向既無擴展又無收 縮的趨勢。所以極限環(huán)的 Lyapunov 指數(shù)是（入 1 ,入 2 ） = （0,-）。在三維情形下有（入 1 ,入 2 ,入 3 ）=（-,-,-）:穩(wěn)定不動點；（入 1 ,入 2 ,入 3 ） =

8、（0, -,-）:極限環(huán)；（入 1 ,入 2 ,入 3 ） = （0, 0,-）:二維環(huán)面;（入 1 ,入 2 ,入 3 ） = （ +, +, 0）: 不穩(wěn)極限環(huán)；（入 1 ,入 2 ,入 3 ） = （ +, 0, 0）: 不穩(wěn)二維環(huán)面；（入 1 ,入 2 ,入 3 ） = （ +, 0,-）:奇怪吸引子。雅譜諾夫指數(shù)小于零，則意味著相鄰點最終要靠攏合并成一點，這對應(yīng)于穩(wěn) 定的不動點和周期運動；若指數(shù)大于零，則意味著相鄰點最終要分離，這對應(yīng)于 軌道的局部不穩(wěn)定，如果軌道還有整體的穩(wěn)定因素（如整體有界、耗散、存在捕 捉區(qū)域等），則在此作用下反復(fù)折疊并形成混沌吸引子。指數(shù)越大，說明混沌特 性越

9、明顯，混沌程度越高。二、lyapunov 指數(shù)的求?。ㄖ饕獏⒖季W(wǎng)上給出的那篇總結(jié)）1.關(guān)于連續(xù)系統(tǒng) Lyapunov 指數(shù)的計算方法連續(xù)系統(tǒng) LE 的計算方法主要有定義方法、Jacobian 方法、QR 分解方法、 奇異值分解方法，或者通過求解系統(tǒng)的微分方程，得到微分方程解的時間序列， 然后利用時間序列（即離散系統(tǒng)）的 LE 求解方法來計算得到。最常用的主要以定義方法、Jacobian 方法做主要介紹容。這兩種方法的計算方法在這里不做簡紹，很容易查到，下面說下其具體 應(yīng)用場合：一般地，如果已知系統(tǒng)方程（當(dāng)然系統(tǒng)不能太過復(fù)雜）時，則計算Lyapunov 指數(shù)采用定義法、Jacobian 方法要精

10、確、簡單些！Jacobian 方法我們可以使用 LET 工具箱，基本原理就是首先求解出連續(xù) 系統(tǒng)微分方程的近似解，然后對系統(tǒng)的Jacobian 矩陣進行 QR 分解，計算Jacobian 矩陣特征值的乘積，最后計算出LE 和分?jǐn)?shù)維。對于我們覺的連續(xù)系統(tǒng)，如 Lorenz、Henor、Duffing 等的 Lyapunov 指數(shù) 都可以用定義法或是 Jacobian 方法求取。（1）下面是那篇總結(jié)中給出的計算 Rossler 吸引子的 Lyapunov 指數(shù)結(jié)果：.cVFigure 1-OX1Fite Edit Viej Insert Tools Desktop Window Help Q e

11、B QC7近 口目S （2）關(guān)于 LET 工具箱下載地址：使用手冊：這個軟件可以計算自己編寫的程序，點擊Run Let Main program，然后選擇 setting，輸入自己編輯的函數(shù)文件（按照軟件要求的格式），同時進行各種 參數(shù)設(shè)置即可進行計算。下面說明一下該工具箱：（參考 oct）（1）LET 工具箱適用于連續(xù)系統(tǒng)，如Logistic、Henor、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen,但對時間序列的 LE 求解不適用（2）在進行 LET 求解之前， 需要注意應(yīng)將非自治系統(tǒng)寫成自治系統(tǒng)的形式，然后參考工具箱給出的 Lorenz、Rossler 系統(tǒng)的例子，將微分方程定

12、義函數(shù)寫成 標(biāo)準(zhǔn)形式（3）用 let 求解 Lyapunov 指數(shù)，在設(shè)置窗口中設(shè)置相關(guān)參數(shù)即可！ 具體設(shè)置界面如下：.cLyapunov Expo Rents TwMxLyapunov Exponents ToolboxRENON Henon map(自2nd-order discrete sy&tem)In this demo, a = 1.4, b= 0.3,Initial conditions: x(O)二0, y(Q) = 0Reference values are: LEI = 0.418, LE2 = -1.621, LD = 1.26The reference valu

13、es are Worn th巳foliating references;1A. Wolf, 1B Swift, H, L Bwinriey and J. A. VsiarrjJa,lDetermiriing Liapunov Exponents from a Time Series；PHy&ica D.Voli.16, pp. 285-317.1985.2 Keith Briggs .An Improved Wethoti for Etrmating Uspuno* Exponents of Ctiaotic TimeSeries, Phys. Lett A, Vol.151 pp 2

14、7-32. No.1S90.點擊 Run Let Main program 后得到如下:HenonrnapStart demoRun LET main programInfor martt on.ceEabLEdi色vl_Tools Deiktop Window HelpLET Main Programc?一匚CDLcth山AcL=ll.1-251D020D30040D50D600700Time選擇 setting 后后得到如下:.cOUTPU1 QPflONSOutput File :Mihai Cordtion(s):（1）在 ODEFunction 處填寫自己編的函數(shù)文件名， m 文件格

15、式一定要與給的 Demo 相同，參考 Henon 或是 Lorenz 系統(tǒng)這 m 文件，很容易寫出自己的函數(shù)文件。（2） 在 Intial Condition 處填寫系統(tǒng)的初值，如 Heno 映射的初值0;0，直接 寫 0 0即可。參考 Start Demo 中的 Setting（3） No. of linearized ODEs 線性化方程的數(shù)目，從微分方程的維數(shù)上來解釋， 有如下的對應(yīng)關(guān)系2 43 94 165 256 367 49SettiiKjPL0T7IMG OPTIOHS“ Lyflpunov Dmeriiion%.4f%.4fPrecisionUpdate tlhe plot everyiNTEGILATiaN PARAMETERSODE Function:Integration MethodInitialTimeFinalTimeTime Step.Relatr/e To3erflbce.AtQlute Tglrgric :ODE451&-QMLine Color :ITERATION PARAMETERSNo, of transient terationsto bediscarded before calculation:Update the Lyapunoveponentts) everydart s .out