重點(diǎn)高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(直線、圓、橢圓、曲線)

1、重點(diǎn)高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn) 總結(jié)直線、圓、橢圓、曲線作者:日期:高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié).直線局部1 直線的傾斜角與斜率：(1) 直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與X軸相交的直線，如果把X軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角.傾斜角°,18°),90斜率不存在.k (x-i x2), k tan(2) 直線的斜率：X2 Xl.兩點(diǎn)坐標(biāo)為Pl(Xl，yi)、P2(X2,y2).2. 直線方程的五種形式：(1) 點(diǎn)斜式：y yi k(X Xl)(直線1過(guò)點(diǎn)Pl(Xi,yi)，且斜率為k).注：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示

2、，此時(shí)方程為 X X(2)斜截式：y kx b(b為直線1在y軸上的截距).y y1x X1(3)兩點(diǎn)式：y2 yX2X1 ( y1y2，X1X2).注： 不能表示與X軸和y軸垂直的直線；方程形式為：(X2 X1)(y y1) (y2 y1)(X X1)0時(shí)，方程可以表示任意直線.x y 1(4) 截距式：a b( a，b分別為X軸y軸上的截距，且a 0，b ° ).注：不能表示與x軸垂直的直線，也不能表示與y軸垂直的直線，特別是不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線.(5) 般式：Ax By C °( 其中a B不同時(shí)為0).AC,Ay x k一般式化為斜截式：B B，即，直線的斜率：B

3、.注：(1)直線縱截距b，常設(shè)其方程為y kx b或x 0 .直線橫截距X。，常設(shè)其方程為x my X0(直線斜率k存在時(shí)，m為k的倒數(shù))或y 0 .直線過(guò)點(diǎn)(X0，y0)，常設(shè)其方程為y k(x X0)y0或x X0.(2) 解析幾何中研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系時(shí)，兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條直線一般不重合.3 直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為 0.(1) 直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn).(2)直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn).(3)直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn).(1)兩點(diǎn)坐標(biāo)P(x1，y1)、P2(x2,y2)，那么兩點(diǎn)間距離RP

4、2(為X2)2 (% y2)2(2)X軸上兩點(diǎn)間距離:ABXbXaXo(3)線段pp2的中點(diǎn)是M(x0,y0)，那么*x1x22%y224.兩條直線的平行和垂直:(1)假設(shè)11:y Kx d l2 : yk2xb2有I1 /12kk?, b|b2 I1I2k1 k21(2)假設(shè) 11:A1XBy C10I2 :A2xB2 y C20，有I1 /12 a b2a2b1 且 A-|C2A2C1 ； 11 12A1A2B1B205.平面兩點(diǎn)距離公式:6. 點(diǎn)到直線的距離公式:AxoBy。點(diǎn)P(Xo, yo)到直線I: Ax By C 0的距離:.A2 B27. 兩平行直線間的距離公式:d兩條平行直線

5、l1: Ax By C1 0，l2： Ax By C2 0的距離：|C1 C2-A2 B28. 直線系方程:(1) 平行直線系方程:直線y kx b中當(dāng)斜率k 一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線l:Ax By C 0平行的直線可表示為Ax By C10y。) 0過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)與直線l:Ax By C 0平行的直線可表示為：A(X X0)B(y(2) 垂直直線系方程:與直線l:Ax By C 0垂直的直線可表示為Bx Ay C1 0過(guò)點(diǎn)Px0，y0與直線l：Ax By C 0垂直的直線可表示為：Bx X。Ay y。° .3定點(diǎn)直線系方程： 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)PoXo,yo的直線系方

6、程為y yo kX Xo除直線x xo,其中k是待定的 系數(shù). 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Poxo，yo的直線系方程為Ax X。By y° 0,其中A,B是待定的系數(shù).4共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線11：AxBiyC10,12：A2XB2yC2。交點(diǎn)的直線系方程為Ax Biy C1A2X B2y C2 0 除開(kāi)l2，其中入是待定的系數(shù).9兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：曲線 C1 : f (x, y) 0與C2 : g(x,y)0的交點(diǎn)坐標(biāo)f(x,y) 方程組g(x,y)00的解.10.平面和空間直線參數(shù)方程： 平面直線萬(wàn)程以向量形式給出：x a y b方向向量為sn in下面推-導(dǎo)參數(shù)方程:nin2令.x a y

7、 bXt那么有anitnin2ybn2t空間直線方程也以向量形式給出：z-b方向向量為s ni,n2,n3下面推導(dǎo)參數(shù)方程：nin2n3x a mt令:z-c t 那么有 y b rht nin2n3z c mt注意：只有封閉曲線才會(huì)產(chǎn)生參數(shù)方程， 對(duì)于無(wú)限曲線，例如二次函數(shù)一般不會(huì)有化為如上的參數(shù)方程。二.圓局部1 圓的方程:2 2 2(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(Xa)(yb)r( r 0).(2) 圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2 E24F 0).(3) 圓的直徑式方程：假設(shè)A(Xi,yi), B(X2,y2)，以線段AB為直徑的圓的方程是:(x xi)(x X2) (y yi)(y

8、y?) 0. (D, -|) r jD2 E2 4F注：(1)在圓的一般方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是22 ,2(2) 一般方程的特點(diǎn)：2 2 2 2 X和y的系數(shù)相同且不為零； 沒(méi)有xy項(xiàng)；D E 4F 02 2(3) 二元二次方程Ax Bxy Cy Dx Ey F °表示圓的等價(jià)條件是： A C 0 ； B 0 ； D2 E2 4AF 0 .2.圓的弦長(zhǎng)的求法：(1)幾何法：當(dāng)直線和圓相交時(shí)，設(shè)弦長(zhǎng)為1，弦心距為d，半徑為r , 那么：“半弦長(zhǎng)2 +弦心距2二半徑2 _ (2) d(2)代數(shù)法:設(shè)I的斜率為k，I與圓交點(diǎn)分別為Agy)，B(X2,y2)，那么|AB| 1 k2 |X

9、a Xb | 1 1 |yA yB|(其中丨x1 X2 M y1 y2|的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去 y或X ,利用韋達(dá)定理求解)3. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：2 2 2點(diǎn)P(X0,y0)與圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系有三種P在在圓外dr(X。a)2(y°2 2b)rP在在圓內(nèi)dr(X0a)2(y022b)rP在在圓上dr(Xoa)2(y°2 2b)r【P到圓心距離d、(aX0)2 (by。)2】4. 直線與圓的位置關(guān)系：2 2 2直線Ax By C 0與圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系有三種d圓心到直線距離為d(Aa Bb C22A B ),由直線和圓聯(lián)立方

10、程組消去x(或y)后，所得dddrrr相離相切相交° ；°°5.兩圓位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為°1，°2，半徑分別為r1,dr12外離4條公切線；dr1r2內(nèi)含無(wú)公切線.dr12外切3條公切線；dr1r2內(nèi)切1條公切線.r1r2driD相交 2條公切線元二次方程的判別式為IO© d內(nèi)含0-d內(nèi)相交夕卜彈相離V一d6.圓系方程:X2Dx Ey F °(D2 E2 4F °)(1)過(guò)直線1:Ax2 2By C °與圓C： x y DX Ey F °的交點(diǎn)的圓系方程:x2 y2 DxEyF (AxBy

11、C)°,入是待定的系數(shù).(2)過(guò)圓C1:D1xEiyFl°與圓C2： x"D2x E2y F2°的交點(diǎn)的圓系方程:DiX Ei yFi(x2y D2X E?yF2)° ,入是待定的系數(shù).特別地，當(dāng)1時(shí)，x2LLy D1XF1(x2D2x E2y F2)° 就是(EiE2)y (Fi F2)0表示兩圓的公共弦所在的直線方程，即過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線.7 圓的切線方程:(1) 過(guò)圓x2 y2上的點(diǎn)P(X0，yo)的切線方程為：XH yoy.2(2) 過(guò)圓° a)? (y b)2上的點(diǎn)卩匕。"。)的切線方程為:(x a)(Xo

12、 a) (y b)(yo b) r(3) 當(dāng)點(diǎn)P(Xo，yo)在圓外時(shí)，可設(shè)切方程為y yo k(x X。)，利用圓心到直線距離等于半徑, 即d r，求出k ；或利用 °，求出k .假設(shè)求得k只有一值，那么還有一條斜率不存在的直線x x°8.圓的參數(shù)方程:圓方程參數(shù)方程源于:2sin2cos那么2X a)(yb)2R(x a)設(shè)： R(y b)Rsin得:RsinRcoscos22亡9.把兩圓 x yD1XE1yF1x2y2 D2x E2y F20方程相減即得相交弦所在直線方程：(D1D2)x (E1 E2)y (F1 F2)10. 對(duì)稱問(wèn)題:X1,2y0 yj(1)中心對(duì)

13、稱:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)A(x1,y1)關(guān)于M(X0,y0)的對(duì)稱點(diǎn)A(2X0 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：法1:在直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求直 線方程.法2:求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用l1/l2由點(diǎn)斜式得出直線方程.(2)軸對(duì)稱： 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是直線斜率的負(fù)倒數(shù)，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn) 在直線上.AA 丄 IkAA -k,1點(diǎn)a、A關(guān)于直線I對(duì)稱 AA中點(diǎn)在上 AA中點(diǎn)坐標(biāo)滿足I方程. 直線關(guān)于直線對(duì)稱：設(shè)a，b關(guān)于1對(duì)稱法1:假設(shè)a,b相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線a上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn).假設(shè)a/l，那么b/l，且a，b與I的距離相等.法2

14、:求出a上兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程.3其他對(duì)稱：點(diǎn)a,b關(guān)于x軸對(duì)稱：a,-b;關(guān)于y軸對(duì)稱：-a,b;關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：-a,-b;點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=x對(duì)稱：b,a;關(guān)于 y=-x 對(duì)稱：-b,-a;關(guān)于 y =x+m 對(duì)稱：b-m、a+m；關(guān)于 y=-x+m 對(duì)稱：-b+m、-a+m.Xi X2 X3% y2 y311. 假設(shè) Axi,yi, BX2,y2, 5X3, y3，那么 ABC的重心 G 的坐標(biāo)是3312. 各種角的范圍：直線的傾斜角0180兩條相交直線的夾角090兩條異面線所成的角090三橢圓局部1. 橢圓定義： 到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線

15、：即I MO1 I + I MO2 I =2a 或定義：任意一條線段，在線段中任取兩點(diǎn)不包括兩端點(diǎn)，將線段兩端點(diǎn)置于這兩點(diǎn)處, 用一個(gè)釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。2a。 從橢圓定義出發(fā)得到一個(gè)根本結(jié)論：橢圓上任意一點(diǎn)引出的兩個(gè)焦半徑之和為常數(shù)2. 橢圓性質(zhì)：由于橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)，所以從I AO1 1 + 1 A02 I = I A02 1 + 1 O2B I =2a這是因?yàn)镮 A01 I = I 02B I 由圖形比擬看出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:x2 y 122 Ia b橢圓參數(shù)方程:C_.7010 02丿EA點(diǎn)向焦點(diǎn)引兩條焦半徑從圓方程知：x2 y2圓方程參數(shù)

16、方程源于:2sin所以按上面邏輯將橢圓方程2x2a2 1cos 12E 1視為bx設(shè) R sinyr cos得:Rsi nRcos同理橢圓參數(shù)方程為:xaybsincos得：x asin y bcos由于兩個(gè)焦半徑和為2a2 2 2所以 OCIO2C2a 得: °QO2Ca 得: ab cO1CO2C°cbca bloci c橢圓離心率，來(lái)源于圓的定義：圓實(shí)際上是一種特殊的橢圓，而圓不過(guò)是兩個(gè)焦點(diǎn)與坐標(biāo)圓點(diǎn)重合罷了橢圓離心率為e四.雙曲線局部1.雙曲線定義：到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的平面幾何圖形，即:IIMO2 Imo| 2a雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 2x y 12 2

17、a b 由于雙曲線上任意一點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a.g |AQ| AB AQAQ! | AB 雙曲線的漸近線:2aBQ2 AQ! I ABI由標(biāo)準(zhǔn)方程知：y2b 2 2 x ay b x a"a又 ya2ay bx為漸近線，a另一條為以上為漸近線的推導(dǎo)過(guò)程。假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為2b2工込1，那么這時(shí)aI b2by bxaby注意y下面對(duì)應(yīng) b，x下面對(duì)應(yīng)a. 取x=a及x=-a兩條直線，它們與漸近線的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線和y軸的交點(diǎn)稱為虛焦點(diǎn),該軸稱為虛軸。 推導(dǎo)a、b、c之間的關(guān)系:設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo) Mx，y、幾222設(shè)：cab2從而得到：cMO2MOiMO212 (x c) y

18、12(x c) yMOi (x22c)2 2 2y (x c) y 2a經(jīng)化簡(jiǎn)得：厶a c雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:2a2x_a2b2五.拋物線局部i.定義：到定點(diǎn)與定直線距離相等的平面曲線稱為拋物線。為了推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)式，設(shè)：定直線為 x=-p，定點(diǎn)為01P, 0，盡管這是一種特殊情況，但同樣具有一般性設(shè)：拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為Mx，yM點(diǎn)到定點(diǎn)Oip, 0的距離為J(x2p) y: 2 2x p '(x p) y22222px2x p 2px x py2y 4pxM點(diǎn)到定直線x=-p的距離為x p 很顯然與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)是一致的,只不過(guò)這里自變量變成y，函數(shù)變成x；而二次baca函數(shù)自變量是x,函數(shù)是y,因而二次函數(shù)也是拋物線，同樣具有拋物線的性質(zhì)。2如下：y a x bx