2009年湖南省高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2009年普通高等等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。若a0，1，則          (D)Aa1,b0    Ba1,b0    C. 0a1, b0  D. 0a1, b02對于非0向時(shí)a,b,“a/b”的確良        （A）A充分不必要條件         

2、       B. 必要不充分條件C充分必要條件                  D. 既不充分也不必要條件3將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0 2的單位后，得到函數(shù)y=sin的圖象，則等于      （D）A              B        C.           D.4

3、如圖1，當(dāng)參數(shù)時(shí)，連續(xù)函數(shù)的圖像分別對應(yīng)曲線和, 則                                                    BA         B C         D 5.從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、

4、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位                                                            CA  85            B 56   &

5、#160;       C 49            D 28  6. 已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓  在區(qū)域D內(nèi)的弧長為                                                  &

6、#160;             BA              B            C         D7正方體ABCD的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（C）A2              B3           

7、; C. 4          D. 5          8.設(shè)函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)=。若對任意的，恒有=，則          AK的最大值為2                      B. K的最小值為2CK的最大值為1         

8、60;           D. K的最小值為1                    【D】二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上9某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛兵乓球運(yùn)動，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為_12_10在的展開式中，的系數(shù)為_7_(用數(shù)字作答)11、若x(0, )則2tanx+tan(-x)的最小值為2.   

9、       12、已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60 ，則雙曲線C的離心率為13、一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位 50 。14、在半徑為13的球面上有A , B, C 三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則          （1）球心到平面ABC的距離為 12  ；（2）過，B兩點(diǎn)的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為  3

10、  15、將正ABC分割成（2，nN）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)三解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。解：設(shè)由得，所以又因此         

11、 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，從而或，既或故或。17.（本小題滿分12分）為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。          （I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；（II）記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件      ,，i

12、=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且P（）=，P（）=，P（）=他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2) 解法1  設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）=，P（=1）=P（=2）= =           P（=2）=P（=1）=P（=3）=P（=0）= = 故的分布是0123P     的數(shù)學(xué)期望E

13、=0+1+2+3=2解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件，i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互獨(dú)立，且P（）-（，）= P（）+P（）=+=所以-,既，          故的分布列是123     18.（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。證明平面平面求直線和平面所成角的正弦值。          解  （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面又DE平面ABC，所以D

14、EAA.而DEAE。AAAE=A  所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法1  如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點(diǎn)知ABCD，  ABDF          又CDDF=D，所以AB平面CDF，而ABAB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。過點(diǎn)D做DH垂直CF于點(diǎn)H，則DH平面AB C。          連接AH，則HAD是AD和

15、平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨設(shè)A A=，則AB=2，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。解法2  如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,-1,0)， B（，0，0），  C（0，1，），  D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）          設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有解得x=-y， z=-，故可取n=(

16、1，-，)。所以，(n·)=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。19.（本小題滿分13分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元。（）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最小？解 （）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，所以  （）  由（）知，令，得，所以=64當(dāng)0<<64時(shí)<0，  在區(qū)間（0，6

17、4）內(nèi)為減函數(shù)；          當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時(shí)，故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。20（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和          （）求點(diǎn)P的軌跡C；（）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。解（）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x>2時(shí)，由得化

18、簡得  當(dāng)時(shí)  由得化簡得                        故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知.                當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知          若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當(dāng)k，或k，即k-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M（，），N（，）都在C 上，此時(shí)由知MF= 6 -