分類討論思想

1、第三講分類討論思想思想方法解讀分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其根本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成假設(shè)干個根底性問題，通過對根底性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素：(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式等.(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、根

2、本不等式等.(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等.2.進(jìn)行分類討論要遵循的原那么是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論.其中最重要的一條是“不重不漏.3.解答分類討論問題時的根本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒有重復(fù))；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲

3、取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.?？碱}型精析題型一由概念、公式、法那么、計(jì)算性質(zhì)引起的分類討論例1設(shè)集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，假設(shè)BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)評對概念、公式、法那么的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵，在此題中，BA，包括B和B兩種情況.解答時就應(yīng)分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算中，底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時首先要考慮的因素.變式訓(xùn)練1假設(shè)函數(shù)f(x)ax (a0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，那么a_.題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用例2函數(shù)f(x)x22ax1a

4、在x0,1上有最大值2，求a的值.點(diǎn)評此題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對稱軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問題與對稱軸息息相關(guān)，因此需要對對稱軸進(jìn)行討論，分對稱軸在區(qū)間內(nèi)和對稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值.變式訓(xùn)練2(2021江蘇)函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)假設(shè)bca(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值.題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3在約束條件下，當(dāng)3s5時，z3x2y的最大值的變化范圍是()A.6,15 B.7,15C.6

5、,8 D.7,8點(diǎn)評幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對稱軸的變化；(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等.變式訓(xùn)練3設(shè)F1、F2為橢圓1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且，求的值.高考題型精練1.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，假設(shè)滿足(x1)f(x)0，那么必有()A.f(0)f(2)2f(1)2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpn1(p是常數(shù))，那么數(shù)列an是()A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C

6、.等差數(shù)列或等比數(shù)列D.以上都不對3.變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，那么實(shí)數(shù)k等于()A. B.C.0 D.或04.(2021四川)設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動直線xmy0和過定點(diǎn)B的動直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，那么|PA|PB|的取值范圍是()A.，2 B.，2C.，4 D.2，45.(2021大連模擬)拋物線y24px (p0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)OPF為等腰三角形，那么這樣的點(diǎn)P的個數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.66.在等比數(shù)列an中，a3，S3，那么a1_.7.函數(shù)f(x)ax33x1對于x1,1總有f(x)0成立，那么a

7、_.8.(2021浙江)假設(shè)某程序框圖如下圖，當(dāng)輸入50時，那么該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是_.9.(2021南昌模擬)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動點(diǎn)時，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.10.a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)(xa).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間0,2上的最小值.寫出g(a)的表達(dá)式；求a的取值范圍，使得6g(a)2.答案精析第46練分類討論思想常考

8、題型精析例1解A0，4，BA，于是可分為以下幾種情況.(1)當(dāng)AB時，B0，4，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a1.(2)當(dāng)BA時，又可分為兩種情況.當(dāng)B時，即B0或B4，當(dāng)x0時，有a1；當(dāng)x4時，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此時B0滿足條件；當(dāng)B時，4(a1)24(a21)0，解得a1，有a24，a1m，此時a2，m，此時g(x)在0，)上為減函數(shù)，不合題意.假設(shè)0a1，有a14，a2m，此時a，m，檢驗(yàn)知符合題意.例2解函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa.(1)當(dāng)a1時，f(x)maxf(1)a，a2.綜上可知，a1或a2.變式訓(xùn)練2解(

9、1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時，因?yàn)閒(x)3x20，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，x(0，)時，f(x)0，x時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，x(，0)時，f(x)0，x時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)b，fa3b，那么函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)等價于f(0)fb0，從而或又bca，所以當(dāng)a0時，a3ac0或當(dāng)a0時，a3ac0.設(shè)g(a)a3ac，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(，3)，那么

10、在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立.從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個零點(diǎn)，那么x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.例3D 由取點(diǎn)A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4).(1)當(dāng)3s4時，可行域是四邊形OABC，如圖(1)所示，此時，7z|PF2|，4，2，2.綜上知，或2.高考題型精練1.C 依題意，假設(shè)任意函數(shù)f(x)為常函數(shù)時，那么(x1)f(x)0在R上恒成立；假設(shè)任意函數(shù)f(x

11、)不是常函數(shù)時，當(dāng)x1時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)x1時，f(x)f(1)，f(2)f(1)，綜上，那么有f(0)f(2)2f(1).2.D Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當(dāng)p1且p0時，an是等比數(shù)列；當(dāng)p1時，an是等差數(shù)列；當(dāng)p0時，a11，an0(n2)，此時an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.3.D 不等式組表示的可行域如圖(陰影局部)所示，由圖可知假設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線ykx1與直線x0垂直(如圖)或直線ykx1與直線y2x垂直(如圖)時，平面區(qū)域才是直角三角形.由圖形可知斜率k的值為0或.4.B 由動直

12、線xmy0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，由動直線mxym30知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，且兩直線互相垂直，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動.故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時，|PA|PB|取得最小值，(|PA|PB|)min|AB|.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B不重合時，在RtPAB中，有|PA|2|PB|2|AB|210.因?yàn)閨PA|2|PB|22|PA|PB|，所以2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時取等號，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的取值范圍是，2.5.C 當(dāng)|PO|PF|時，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時，點(diǎn)P的位置有兩個；當(dāng)|OP|

13、OF|時，點(diǎn)P的位置也有兩個；對|FO|FP|的情形，點(diǎn)P不存在.事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，假設(shè)設(shè)P(x，y)，那么|FO|p，|FP|，假設(shè)p，那么有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時，不構(gòu)成三角形.當(dāng)x2p(p0)時，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾.符合要求的點(diǎn)P一共有4個.6.或6解析當(dāng)q1時，a1a2a3，S33a1，顯然成立；當(dāng)q1時，由題意，得所以由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去).當(dāng)q時，a16.綜上可知，a1或a16.7.4解析假設(shè)x0，那么不管a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x0即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，那

14、么g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4；當(dāng)x0，g(x)在區(qū)間1，0)上單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上得a4.8.6解析輸入n50，由于i1，S0，所以S2011，i2，此時不滿足S50；當(dāng)i2時，S2124，i3，此時不滿足S50；當(dāng)i3時，S24311，i4，此時不滿足S50；當(dāng)i4時，S211426，i5，此時不滿足S50；當(dāng)i5時，S226557，i6，此時滿足S50，因此輸出i6.9.解(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，由題意得45，所以p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)由題意知，圓M的圓心為點(diǎn)(0,2)，半徑為2.當(dāng)m4時，直線AK的方程為x4，此時，直線AK與圓M相離；當(dāng)m4時，由(1)知A(4,4)，那么直線AK的方程為：y(xm)，即4x(4m)y4m0，圓心M(0,2)到直線AK的距離d，令d2，解得m1.所以，當(dāng)m1時，直線AK與圓M相離；當(dāng)m1時，直線AK與圓M相切；當(dāng)m0).假設(shè)a0，那么f(x)0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間0，).假