高等數(shù)學(xué)課件：D2_4隱函數(shù)（第一章）

1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 第二章 31xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (含導(dǎo)數(shù) 的方程)y57

2、230yyxx例例1. 求由方程57230yyxx)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo)得xyydd546d21 210dyxx 25211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy確定的隱函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 57d(23)0dyyxxx例例2. 求橢圓在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 221169xy例例3. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)

3、數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 對冪指函數(shù)vuy 可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbax

4、lnlnlnxbalnlnaxb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數(shù)4ln3lnxx11x21x31x41x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ln1ln2xx二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddytt

5、xddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4. 設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd2

6、2xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty練習(xí)練習(xí): P111 題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則yxo2212tgtvy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拋射體軌跡的

7、參數(shù)方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為12arctanvv達(dá)到最高點的時刻,2gvt 高度ygv2221落地時刻,22gvt 拋射最遠(yuǎn)距離xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxty

8、ddtxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率)(, )(tyytxx為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對 t 求導(dǎo)2sectddthdd5001已知,minm

9、140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時停住 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對 t 求導(dǎo)2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求當(dāng)容器內(nèi)水Rhxhr例例8. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水

10、,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x , 水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR兩邊對 t 求導(dǎo)tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2時當(dāng)hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx體積為 V , 則R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導(dǎo)相關(guān)變

11、化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求螺線r在對應(yīng)于的點處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時對應(yīng)點斜率222, ),0(2M 切線方程為22xy2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dykdx2. 設(shè)tan3ln22(sin ),(2)xxxxyxxx求1y2y提示提示: 分別用對數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln

12、21xxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 y3. 設(shè))(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得0yxyyey再求導(dǎo), 得2yey yxey)(02 y當(dāng)0 x時, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導(dǎo)y1yxddxeyx