高等數(shù)學(xué)微積分第一章 函數(shù)及其圖形

1、文本索引文本索引1.11.1預(yù)備知識預(yù)備知識1.21.2 函數(shù)函數(shù)1 1. .3 3函數(shù)的幾種基本特性函數(shù)的幾種基本特性1.4 1.4 反函數(shù)反函數(shù)1.5 1.5 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)1.6 1.6 初等函數(shù)初等函數(shù)1.7 1.7 簡單函數(shù)關(guān)系的建立簡單函數(shù)關(guān)系的建立第一章第一章 函數(shù)及其圖形函數(shù)及其圖形1.1 預(yù)備知識預(yù)備知識1.集合集合集合集合(簡稱集簡稱集): 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。集合用A，B，M等表示。元素元素: 組成集合的事物稱為集合的元素。a 是集合M的元素表示為aM。集合的表示集合的表示: (P3) (1) 列舉法 A=a, b, c, d, e, f, g。 (2

2、) 描述法 M=(x, y) | x，y為實數(shù)，x2+y2 =1。一、集合及其運算一、集合及其運算 幾個數(shù)集幾個數(shù)集: R表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實數(shù)集。 Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱為有理集。 Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集。 N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，稱為自然數(shù)集。 子集子集: (P3) 若xA，則必有xB，則稱A是B 的子集，記為AB（讀作A包含于B）。 顯然，N Z ，Z Q ，Q R 。 如果A，B互相包含，即A B且BA，則稱A與B相等，記為A=B。（P4） 可以認為空集是任意非空集合A的子集，即 A。 集合的運算：交、并、差。 絕對值及其及其性質(zhì)，見書第五頁。2.

3、區(qū)間區(qū)間: 數(shù)集x|axb稱為開區(qū)間，記為(a, b)，即 (a, b)=x|axb。xOab(a， b) a, b=x|axb稱為閉區(qū)間。xOaba， b a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb稱為 半開區(qū)間。xOaba， b)xOab(a， b 上述區(qū)間都是有限區(qū)間，其中a 和 b 稱為 區(qū)間的端點，b-a 稱為區(qū)間的長度。以下區(qū)間稱為無限區(qū)間：a, +) = x|ax，xOaa，+)(-, b = x|xb，xOb(- ， b(a, +) = x|ax，axO(a，+)(-, b) = x|xb，xOb(- ， b)(-,+) = x| |x|0，則稱區(qū)間(a-, a+)為點a

4、 的鄰域，記作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中點 a 稱為鄰域的中心, 稱為鄰域的半徑。xOa-a+去心鄰域去心鄰域: (a,) =x |0| x-a |。UxOa-a+a 左（右）鄰域、M領(lǐng)域的概念見書中第七頁。1. 函數(shù)概念的引入函數(shù)概念的引入 圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑r可取(0, +)內(nèi)的任意值。 由落體下落距離的計算公式為s= - gt2，t可取0, T內(nèi)的任意值。121.2 函數(shù)函數(shù)2. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 設(shè) x 和 y 是兩個變量，D 是一個給定的數(shù)集。如果對于每個數(shù)xD，變量 y 按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱

5、y 是 x 的函數(shù)，記作y=f(x)。 定義中，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域， x叫做自變量，y叫做因變量。 函數(shù)符號函數(shù)符號: 函數(shù)y=f(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此時函數(shù)就記作y=j(x)，y=F(x)。 值域：值域：W=y | y=f(x)，xD。定義域：定義域： 在數(shù)學(xué)中，有時不考慮函數(shù)的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值。函數(shù)值：函數(shù)值： 當(dāng) x取數(shù)值 x0D時，與 x0對應(yīng)的 y的數(shù)值稱為函數(shù) y=f(x)在點 x0處的函數(shù)值，記為 f(x0)。確定一個函數(shù)有二個要素：定義域和

6、對應(yīng)的規(guī)確定一個函數(shù)有二個要素：定義域和對應(yīng)的規(guī)則。則。求函數(shù)的定義域舉例：求函數(shù)的定義域舉例： 解: 要使函數(shù)有意義，必須x0，且x2-40。解不等式得|x|2。 函數(shù)的定義域為 D=x| |x|2，或D=(-, -22, +)。 求函數(shù) y =412-xx的定義域。 3. 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形 在坐標(biāo)系xOy內(nèi)，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD所對應(yīng)的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。O yxC(x, y)xyWDy=f(x) 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值問題只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。 以后凡是沒有特別說明時，函數(shù)都是指單單值函數(shù)值函

7、數(shù)。3. 函數(shù)舉例函數(shù)舉例 例例1. 在直角坐標(biāo)系中，由方程x2+y2=r2確定了一個函數(shù)。 對于任意x(-r, r)，對應(yīng)的函數(shù)值有兩個： 22xry-=及y=22xr -。 函數(shù)的定義域為D=(-, +)。 函數(shù)的值域為W=0, + )。yxOy=|x| x, x 0 -x, x0 0, 當(dāng)x=0-1, 當(dāng)x1 時，y=1+x。 2212)21(=f；2212)21(=f；2 1 2) 1 (=f； ；當(dāng) x1 時，y=1+x。 5. 函數(shù)的運算函數(shù)的運算 函數(shù)可以作四則運算，見書中P16。1.3 函數(shù)的幾種基本特性函數(shù)的幾種基本特性圖形特點圖形特點： y=f(x)的圖形在直線y=K1的下

8、方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義。如果存在數(shù)K1，使對任一xX，有f(x)K1，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而稱K1為函數(shù) f(x)在X上的一個上界。 如果存在數(shù)K2，使對任一xX，有f(x)K2，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界。 圖形特點圖形特點：函數(shù) y=f(x) 的圖形在直線 y=K2 的上方y(tǒng)=K2y=f(x)Oxy有界函數(shù)的圖形特點有界函數(shù)的圖形特點： 函數(shù)y = f(x)的圖形在直線y = - M和y = M的之間。 如果存在數(shù) M，使對任一 xX，有 | f(x) | M，則稱函數(shù)

9、f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在X上是無界函數(shù)，就是說對任何M，總存在 x1X，使|f(x)|M。Oxyy=f(x)y= -My= M函數(shù)的有界性舉例：（函數(shù)的有界性舉例：（P19） f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。 見P19頁例1-11yxO-2p -pp 2py=sin x2. 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 設(shè)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間I上有定義。如果對于區(qū)間 I 上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1 x2時，恒有f(x1) f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的。 如果

10、對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當(dāng) x1 f(x2)， 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱。如果對于任意的xD，有f(-x)= f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。3. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性O(shè)xy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數(shù)舉例： y=x2， y=cos x都是偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱軸對稱。奇偶函數(shù)舉例： y=x3， y=sin x都是奇函數(shù)。例2、3（P21）101x -22y3xy = 如果對于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱原點對稱。 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D。如

11、果存在一個不為零的數(shù) l ，使得對于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，l 稱為f(x)的周期。最小的正周期T，T=minl | f(x+l) = f(x)且T0。可能不存在T，見書例4（P23）。 周期函數(shù)的圖形特點： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性1.4 反函數(shù)反函數(shù) 對于任一數(shù)值 yW，D上至少可以確定一個數(shù)值 x 與 y 對應(yīng)，這個數(shù)值 x 適合關(guān)系 f(x)=y。 如果把 y看作自變量，x 看作因變量，按照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作 x=j(y)。1. 反函數(shù)反

12、函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，值域為W。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1, y0)(x2, y0)WOxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的。 什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？Oxy-xxy=x2y y=x2 的反函數(shù)是多值函數(shù)：x= 。y 把 x限制在區(qū)間 0,)，則y=x2 的反函數(shù)是單值的，即x= 。它稱為函數(shù)y=x2 的反函數(shù)的一個單值分支。y反函數(shù)的單值分支：反函數(shù)的單值分支：y 另一個單值分支為x=- 。書中例2、例3（P26） 在數(shù)學(xué)中，習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用y 表示。按此習(xí)慣，我們把

13、函數(shù) y=f(x)的反函數(shù)x=j(y)改寫成y= f -1(x)。例如y=x2的反函數(shù)寫為y= 。x反函數(shù)的圖形：反函數(shù)的圖形： 反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形關(guān)于直線y = x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關(guān)于反函數(shù)的變量符號：關(guān)于反函數(shù)的變量符號：D1D2u=j(x)y =f(u)y =f j(x)復(fù)合函數(shù)： 一般地，設(shè)函數(shù)y =f(u)的定義域為D1，函數(shù)u=j(x)在數(shù)集D2上有定義，如果 u | u= j(x)， xD2 D1則對于任一 xD2，通過變量u能確定一個變量y的值，這樣就得到了一個以x為自變量、y為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù) y =

14、f(u)和u=j(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為y =f j(x) ，其中定義域為D2，u稱為中間變量1.5 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合而成的其中u， v 都是中間變量函數(shù)y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1+u函數(shù)y= ，u=cot v，v= 經(jīng)復(fù)合可得函數(shù)u2x問：函數(shù)y=arcsin u與u=2+x2能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)嗎？兩個函數(shù)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件，見書中P29。P29-31，例題1-8。2cotxy = 例 函數(shù)y=arctan (x)2可看作是由y=arctan x和u=x2復(fù)合而成的1.6 初等函數(shù)初等函數(shù)1. 冪函數(shù)冪函數(shù)(見書中見書中P33頁，增加一種常數(shù)函數(shù)）頁

15、，增加一種常數(shù)函數(shù)） 函數(shù) y=xm （m 是常數(shù)）叫做冪函數(shù) 冪函數(shù)的定義域：與常數(shù)m 有關(guān)，但函數(shù)在（0，+）內(nèi)總有定義 最常見的冪函數(shù)：xyO11y = x 2y = xy = xxyO11y=x-1y=x31a1 y=( )x1ay=axxyO2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 函數(shù) y=ax (a是常數(shù)，且a0，a 1)叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域：D=（- ，+ ） 單調(diào)性： 若a1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)增加； 若0a1y=axxyOy=logax3對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，記為y=logax(a0，a 1) 對數(shù)函數(shù)的定義域是區(qū)間(0，+ )單調(diào)性： 若a1，則logax

16、單調(diào)增加； 若0a1，則logax單調(diào)減少性質(zhì)見書性質(zhì)見書P34常用的三角函數(shù)有：正弦函數(shù)： y=sin x1-1y=cos x余弦函數(shù)： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函數(shù)三角函數(shù)正切函數(shù)： y=tan x 余切函數(shù)： y=cot xxyO-pp p 2 p 2xyO-pp p 2 p 2y=tan xy=cot x正割、余割函數(shù)的性質(zhì)：是以2p為周期的函數(shù)，在區(qū)間(0, )三角函數(shù)的定義域見P35，常用公式見P36。正割函數(shù)：p2余割函數(shù)：內(nèi)是無界函數(shù) y = sec x = - 。1cos x1sin x y= csc x =- 。 反正弦函數(shù)y=arcsin x的

17、值域是 ， .反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們都是多值函數(shù). p 2p2反正弦函數(shù)： y=Arcsin x， 定義域為-1，1.反余弦函數(shù)： y=Arccos x 定義域為-1，1 反余弦函數(shù)y=arccos x的值域是0，p。-11yxO p 2p2y=Arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=Arccos xy=arccos x5反三角函數(shù)反三角函數(shù)反正切函數(shù) y=arctan x，反正切函數(shù)： y=Arctan x,定義域為(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域規(guī)定為( ， ) 上述反三角函數(shù)的值域通常稱為相應(yīng)反三角函數(shù)的主值范圍。6基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函