人教版初二數(shù)學(xué)下冊正方形課時練習(xí)及答案

1、新人教版數(shù)學(xué)八年級下冊正方形課時練習(xí)一 選擇題（共 15 小題）1.如圖， ABC 是一個等腰直角三角形，DEFG 是其內(nèi)接正方形，H 是正方形的對角線交點;那么，由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中相互全等的三角形的對數(shù)為（）答案：C知識點：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)解析：解答：解：設(shè) AB= 3,圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1 的有 5 個，它們組成 10 對全等三角形；斜邊長為打:的有 6 個，它們組成 15 對全等三角形；斜邊長為 2 的有 2 個，它們組成 1 對全等三角形；共計 26 對.故選 C.分析：根據(jù)全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數(shù)，

2、由于圖中全等三角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏.本題考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記熟全等三角形的判定方法并做到不重不 漏.ABCD 勺邊 CD AD 上的點，且 CE= DF, AE, BF 相交于點 0,F 列結(jié)論AE= BF；AE! BF;A0= 0ES。尸 S四邊形DE。中，錯誤的有（）AFDABcA. 1 個 B. 2 個C. 3 個D. 4 個答案：A知識點：解析：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)2.如圖所示，E. F 分別是正方形解答：解：四邊形 ABCD 是正方形， CD= ADCB DFDB AFAD

3、EABAFAB BF,SMDE= SAF,/DEA=ZAFB/EAD=ZFBA.SAAOB=S四邊形 DEOF/ABFZAFB=ZDA 曰/ DEA= 90/ AF 聊 Z EAF= 90AE BF 一定成立.錯誤的結(jié)論是：AO= OE故選 A.分析：根據(jù)四邊形 ABCD 是正方形及 CE= DF,可證出 ADEABAF 則得到：AE= BF,以 及厶 ADE和厶 BAF 的面積相等，得到；SAAOB=S四邊形DEO；可以證出ZABObZBAO= 90，貝UAELBF 一定成立.錯誤的結(jié)論是：AO= OE 本題考查了全等三角形的判定和正方形的 判定和性質(zhì).3.如圖，在正方形 ABCD 中, A

4、B= 4, E 為 CD 上一動點，AE 交 BD 于 F,過 F 作 FHLAE 于 H,過 H 作 GHLBD 于 G,下列有四個結(jié)論： AF= FH,ZHA= 45，BD= 2FG,厶 CEH答案：D知識點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：（1）連接 FC,延長 HF 交 AD 于點 L,BD 為正方形 ABCD 勺對角線，ZADB=ZCDF= 45./ AD= CD DF= DF,C.D.的周長為定值，其中正確的結(jié)論有（A.B.ADFACDF FC=AF,ZECF=ZDAF/ALHZLAF=90,/LHOZDAF= 90. vZECF=ZDAFZFHC=ZFCHFH

5、= FC.FH= AF.JB5HC(2)vFH!AE FH= AF, ZHAE= 45(3)連接 AC 交 BD 于點 O 可知：BD= 2OAvZAFOFZGFH=ZGHFFZGFH ZAFO=ZGHFvAF=HF,ZAOF=ZFGH= 90AOFAFGHOA= GF.vBD= 2OABD= 2FG(4)延長 AD 至點 M 使 AD= DM 過點 C 作 CI / HL,則：LI = HQ根據(jù) MEAMIC,可得： CE= IM , 同理，可得：AL= HEHH HO EC=AL+LI+IM=AM= 8.CEM 的周長為 8,為定值.故(1)( 2)( 3)( 4)結(jié)論都正確. 故選 D.

6、DEC分析：(1)作輔助線，延長 HF 交 AD 于點 L,連接 CF,通過證明厶 ADFACDF 可得： AF =CF,故需證明 FC= FH,可證：AF= FH(2) 由 FH!AE AF= FH,可得：/ HAE= 45;(3) 作輔助線，連接 AC 交 BD 于點 O 證 BD= 2FG 只需證 OA= GF 即可，根據(jù) AOFAFGH 可證OA= GF,故可證 BD= 2FG; (4)作輔助線，延長 AD 至點 M 使 AD= DM 過點 C 作 CI / HL 則 IL = HC可證 AL= HE 再根據(jù) MEGAMIC,可證： CI = IM ,故厶 CEM 的周長為邊 AM 的

7、 長，為定值.解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等.4.一個圍棋盤由18X18個邊長為1的正方形小方格組成， 一塊邊長為的正方形卡片放在棋 盤上，被這塊卡片覆蓋了一部分或全部的小方格共有 n個，則 n 的最大值是()A. 4B. 6C. 10D. 12答案：D知識點：正方形的性質(zhì)解析：解答：解：卡片的邊長為，.卡片的對角線長為2V口v3,2且小方格的對角線長 .2v.故該卡片可以按照如圖所示放置：圖示為 n 取最大值的時候，n= 12.故選 D.Z1sizr分析：要 n 取最大值，就讓邊長為的正方形卡片邊與小方格的邊成一定角度. 本題考查的是 已知正方形邊長正方

8、形對角線長的計算， 旋轉(zhuǎn)正方形卡片并且找到合適的位置使得 n 為最大 值，是解題的關(guān)鍵.5.如圖，四邊形 ABCD 是正方形，以 CD 為邊作等邊三角形 CDE BE 與 AC 相交于點 M 則/AMD知識點：正方形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì) 解析： 解答：解：如圖，連接 BD,/BCE=ZBCDFZDCE= 90+60=150,BC=EC,1/EBC=ZBEC= (180/BCE=1521/ BCM= / BCD= 45,2/BM= 180 (/ BCM+/ EBC = 120,/AM= 180/ BM= 60/ AC 是線段 BD 的垂直平分線，M 在 AC 上, / AM=/ AM=

9、60分析：連接 BD 根據(jù) BD, AC 為正方形的兩條對角線可知 AC 為 BD 的垂直平分線，所以/ AMD=AMB 要求/ AMD 求/ AMB 即可.本題考查的正方形的對角垂直平分的性質(zhì)，根據(jù)垂直平 分線的性質(zhì)可以求得/ AM=/ AMB 確定 AC 和 BD 垂直平分是解題的關(guān)鍵.6.在平面直角坐標(biāo)系中，稱橫.縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點為整點，如下圖所示的正方形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)是（）D.54Z303XA. 13B. 21C. 17D. 25答案：D知識點：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解析：解答：解：正方形邊上的整點為（0, 3）、（ 1, 2）、（ 2，1）、 （ 3，0）、 （4，

10、5）、（ 5,4）、（ 6, 3）、（ 4, 1）、（ 5，2）、（ 1, 4）、（ 2，5）、（ 3, 6）；在其內(nèi)的整點有（1 , 3）、（ 2,2）、（ 2,3）、 （ 2,4）、（ 3, 1）、（ 3,2）、（ 3,3）、（3, 4）、（ 3, 5）、（ 4, 2）、（ 4, 3）、（ 4, 4）、（ 5, 3）.故選 D.分析：根據(jù)正方形邊長的計算， 計算出邊長上的整點， 并且根據(jù)邊長的坐標(biāo)找出在正方形范 圍內(nèi)的整點.本題考查的是正方形四條邊上整點的計算， 找到每條邊上整點變化的規(guī)律是解 本題的關(guān)鍵.7.在同一平面上，正方形 ABCD 勺四個頂點到直線 I 的距離只取四個值， 其中一

11、個值是另一 個值的 3 倍，這樣的直線 I 可以有（ ）A. 4 條B. 8 條C. 12 條D. 16 條答案：D知識點：正方形的性質(zhì)；點到直線的距離解析：解答：解：符合題目要求的一共16 條直線，F(xiàn) 圖虛線所示直線均符合題目要求.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，一個值為另一個值的3 倍，所以本題需要分類討論，該直線切2割正方形，確定直線的位置；該直線在正方形外，確定直線的位置. 計算點到直線的距離，找到直線的位置是解題的關(guān)鍵.&如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，E 為 AD 中點，P 為 CE 中點，F(xiàn) 為 BP 中點，貝 U F 到 BD答案：D 知識點：正方形的性質(zhì)；三角形的面積

12、解析: 解答：解：連接 DPSABDP=SABDCSADPC_SABPC-1X1X1-1X1X丄 =18F為 BP 的中點，.P到 BD 的距離為 F 到 BD 的距離的 2 倍.SBDP=2SBDF,S-1 S BDF,16設(shè) F 到 BD 的距離為 h,丄計算得：h=16=J2故選 D.本題考查了分B.丄10C.212D16根據(jù)三角形面SBDF= XBDX h =216216的距離等于（)4E*CJ分析：圖中，F(xiàn) 為 BP 的中點，所以SABDP=2SABDF，所以要求 F 到 BD 的距離，求出 P 到 BD 的 距離即可.本題考查的是轉(zhuǎn)化思想， 先求三角形的面積， 再根據(jù)三角形面積計算

13、公式， 計算 三角形的高，即 F到 BD 的距離.9搬進新居后，小杰自己動手用彩塑紙做了一個如圖所示的正方形的掛式小飾品ABCD 彩線 BD AN CM 將正方形 ABCD 分成六部分，其中 M 是 AB 的中點，N 是 BC 的中點，AN 與 CM 交于 0點.已知正方形 ABCD 的面積為 576cm2，則被分隔開的厶 CON 的面積為（）D2 2 2A. 96cmB. 48cmC. 24cm D.以上都不對答案：B知識點：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì) 解析：解答：解：找到 CD 的中點 E,找到 AD 的中點 F,連接 CF, AE則 CM/ EA AN/ FC B

14、OMhA BKA.BOBM _ 1BKBA 2 同理可證：DKDF1DODA 2 故 DK= K0= OB1BOC 和厶 BOA 的面積和為丄正方形 ABCD 的面積,3/ CN= NB= AM= BM1OCN 的面積為一 BOCn BOA 的面積和,576:.OCN 的面積為=48cn?,12故選 B.B/AJ/L1分析：先證明 BO 為正方形 ABCD 勺對角線 BD 的，再求證厶CNONBQ AMO BMO 的31面積相等，即 CON 的面積為正方形面積的.本題考查了正方形內(nèi)中位線的應(yīng)用，考查12- 1 1了正方形四邊均相等的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求證BO= - BD, OCN 的面積為

15、BOC 和34 BOA 的面積和.O 點，在 BD 上截取 BE= BC,連接 CE 點D. 1 + ；2答案: 知識點：正方形的性質(zhì)，三角形的面積解析： 解答：解：連接 BP,作 EHLBC 貝 U PM PN 分別為 BPE 和厶 BCP 的高，且底邊長均為 1,SBCE= 1 一 J.一 SCDE,A. 110.如圖，正方形 ABCD 勺對角線 AC 與 BD 相交于1，則 PM+ PN=()/ DE= BD- BE=_ ,CDE 中 CD 邊上的高為（、2 1）,2又VSBCE=SBPE+SBPC=2?BC? ( PMH- PN)2分析：連接 BP, PM PN 分別為 BPE 和厶

16、BCP 的高，且底邊長均為法可以求 PW PN 本題考查的用求三角形面積的方法求三角形的高的轉(zhuǎn)化思想，考查正方形對角線互相垂直且對角線即角平分線的性質(zhì)，面積轉(zhuǎn)換思想是解決本題的關(guān)鍵.11.頂點為 A (6, 6), B (- 4, 3), C (- 1 , - 7), D ( 9, 4)的正方形在第一象限 的面積是()A. 25B. 36 C . 49D. 30答案：B知識點：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積解析：解答：解：連接 OA過 A. D 兩點的直線方程是 丄6=口，即 y=-10 x+ 16,解得它與 x 軸的交點 E 的-46963橫坐標(biāo)是 x=,3同理求得過 A. B

17、兩點的直線方程是 y =- x + ,解得它與 y 軸的交點 E 的縱坐標(biāo)是 y =,101-S AOE= XX6=,21SAAFO=XX6=,2SMOE+SMFO= + =36,即頂點為 A (6, 6), B (- 4, 3), C (- 1 , - 7), D( 9, - 4)SCDE=CDK_221SBCE= 1 一 一 SCDE=_2；4V21,因此根據(jù)面積計算方 P 腑 PN=故選 C.同理求得 AB 與 y 軸的交點 F 的坐標(biāo)，連接 OA 再去求兩個三角形的面積，從而求得正方形在第一象限的面積.解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，利用直角三角形

18、求面積，在本題中，借助直線方程求的點 E. F 在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo),據(jù)此解得所求三角形的邊長，代入面積公式求得結(jié)果.12. ABCD 是邊長為 1 的正方形， BPC 是等邊三角形，則 BPD 的面積為（）1A.-4B.3-14C. 18D.2I8答案：B知識點：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)解析：解答：解： BPD 的面積等于 BCP 和ACDP 面積和減去 BCD 的面積因此本題求解 BCP CDP 面積和 BCD 的面積即可，SBCP=由方程式知 AD 與 x 軸的交點 E 的坐標(biāo),的正方形在第一象限的面積是36.SCDP=1SBCD=.3,11.3-1-P -4424故選

19、B. BPD=分析：根據(jù)三角形面積計算公式，找到 BPD 的面積等于 BCP 和厶 CDP 面積和減去 BCD的面積的等量關(guān)系，并進行求解.本題考查了三角形面積的計算, 正方形為 2 個全等的等腰直角三角形解決本題的關(guān)鍵是找到 CDP面積和減去厶 BCD 的面積的等量關(guān)系.13.如圖，正方形 ABCD 勺面積為 16,AABE 是等邊三角形，點線 BD 上有一點 P,使 PC+ PE 的和最小，則這個最小值為(答案：A知識點：軸對稱一最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)解答：解：正方形 ABCD ACL BD, OA= OC C. A 關(guān)于 BD 對稱，即 C 關(guān)于 BD 的對稱點是

20、A,連接 AE 交 BD 于 P,則此時 EP+ CP 的值最小，/ C. A 關(guān)于 BD 對稱， CP= AP,考查了正方形對角線平分BPD 的面積等于 BCP 和E 在正方形 ABCD 內(nèi)，在對角)C. 2 . 6 D. 2解析：DCEP+ CP= AE,等邊三角形 ABEEP+ CP= AE= AB,正方形 ABCD 勺面積為 16,AB= 4,EP+ CP= 4,故選 A.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，推出C. A 關(guān)于 BD 對稱，推出 CP=AP,推出 EP+ CP= AE,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出 AE= AB= EP+ CP,根據(jù)正方形面積公式求出 AB 即可本題考查了正方 形的性質(zhì)，

21、軸對稱最短問題，等邊三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P的位置和求出 EP+ CP 的最小值是 AE,題目比較典型，但有一定的難度，主要培養(yǎng)學(xué)生分析 問題和解決問題的能力.14.如圖是一張矩形紙片 ABCD AD= 10cm,若將紙片沿 DE折疊，使 DC 落在 DA 上，點 C 的 對應(yīng)點為點 F，若 BE= 6cm,則 CD=()答案：A知識點：正方形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)解析：解答：解：四邊形 CEFD 是正方形，AD= BC= 10cm, BE= 6cm . CE= EF= CD= 10 6= 4(cm).分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可輕松解答.15.如圖，菱形 ABC

22、D 中，/ B= 60, AB= 4,則以 AC 為邊的正方形 ACEF 的周長為()答案：C知識點：正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)解析：解答：解：.四邊形 ABCD 是菱形，.AB= BC,v/B= 60,仏 ABC 是等邊三角形，. AC=AB= 4,.正方形 ACEF 的周長是 AC+ CH EF+ FA= 4X4= 16.分析：根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)，即可輕松解答.填空題（共 5 小題）1 如圖所示，將五個邊長都為 1cm 的正方形按如圖所示擺放，其中點AB、C D 分別是正 方形對角線的交點、如果有 n 個這樣大小的正方形這樣擺放，則陰影面積的總和是_ent答案: 知識點：正方形的性質(zhì)；探

23、索圖形規(guī)律解析： 解答：解：點 A、B、C、D 分別是正方形對角線的交點兩個三角形之間的陰影面積為正方形總面積的丄，411即 一x1X1 =44當(dāng)有三個三角形時，其面積為當(dāng)有四個時，其面積為1的陰影面積為正方形總面積的-，由此便可求解熟練掌握正方形的性質(zhì)，會運用正方形4的性質(zhì)進行一些簡單的計算問題.2._ 如圖，以矩形 OABC 勺頂點 0 為原點，0A 所在的直線為 x 軸，0C 所在的直線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系、已知 0A= 3, 0G= 2,點 E 是 AB 的中點，在 0A 上取一點。，將厶 BDA 沿 BD 翻折，使點 A 落在 BC 邊上的點 F 處，若在 y 軸上存在點

24、P,且滿足 FE= FP,則 P 點坐標(biāo) 為.所以當(dāng) n 個三角形時,其面積為分析：求面積問題，因為點A、B、C D 分別是正方形對角線的交點，所以兩個三角形之間WflC/_A0）A曠答案：（0, 4）或（0, 0）知識點：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 解析：解答：解：連接 EF,vOA=3, OC= 2,AAB= 2,點 E 是 AB 的中點，ABE= 1,/ BF=AB,ACF= BE= 1,/ FE=FP,ARt FCP Rt FBEAPC= BF= 2,AP點坐標(biāo)為（0, 4）或（0, 0）,即圖中的點 P 和點 P.故答案為：（0, 4）,（ 0, 0）icH

25、.* k:i7_Ai曽iT章0DA分析：連接 EF, CF= BE= 1，若 EF= FP,顯然 Rt FCP Rt FBE 由此確定考查了三角形翻折前后的不變量，利用三角形的全等解決問題.3._ 如圖，邊長為 a 的正方形 ABCD和邊長為 b 的正方形 BEFG 排放在一起, 個正方形的中心，則陰影部分的面積為_，線段 0C2 的長為_.GI7DC答案：-ab1- 2（ a2+b2）42CP 的長.本題0 和 Q 分別是兩知識點：正方形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：做 OH/ AE 使 OH 丄OiH,交 BG 于 P, K 點,(1) BP=,又-/O2HHO,

26、 KP/ HQ,PKO HOO,KP_PO1_aHol HO?Vb2ab_ab；84根據(jù)勾股定理OQ_JHO；HO；_22a2 b)AA _故答案為：？ab;12(a2+b2).42分析：陰影部分的面積可以看成兩個三角形面積之和，所以求OQ 的長根據(jù)勾股定理求解本題考查的相似三角形的證明即對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，三角形面積的計算，考查了根據(jù)勾股定理計算直角三角形斜邊的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形 HOQ 4.已知正方形 ABCD 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點 A ( 0, 1)，點 B( 0, 0),則點 C, D 坐標(biāo)分別為KP_b a_ab a222( a b)陰影部分的面積_1XBKX2j)

27、_1X?+aba2X 2222( ab)2(2) HO_HO _2 個三角形面積即可；線段和_.(只寫一組) 答案： (1, 0)和(1, 1)知識點：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì) 解析：解答：解：正方形 ABCD 的點 A( 0，1)，點 B( 0，0), BD/x 軸，AC/x 軸，這樣畫出正方形，即可得出C 與 D 的坐標(biāo),分別為：C( 1, 0), D (1 , 1).故答案為：(1, 0),( 1 , 1).1AD5C_ L-J0X分析：首先根據(jù)正方形 ABCD 的點 A (0, 1)，點 B( 0, 0)，在坐標(biāo)系內(nèi)找出這兩點，根據(jù) 正方形各邊相等，從而可以確定C, D 的坐標(biāo)本題

28、主要考查了正方形的性質(zhì)與坐標(biāo)內(nèi)圖形的性質(zhì)，確定已知點的坐標(biāo)， 從而根據(jù)正方形的性質(zhì)， 確定其它頂點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān) 鍵.5.如圖，在一個正方形被分成三十六個面積均為 1 的小正方形，點 A 與點 B 在兩個格點上.在格點上存在點。，使厶 ABC 的面積為 2，則這樣的點 C 有_ 個.知識點：正方形的性質(zhì)；三角形的面積解析：解答：解：圖中標(biāo)出的 5 個點均為符合題意的點.分析：要使得 ABC 的面積為 2，即 S=：ah，則使得 a= 2、h = 2 或者 a = 4、b= 1 即可，在2圖示方格紙中找出 C 點即可.本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計算公式，本題中正確

29、地找全 C 點是解題的關(guān)鍵，考生容易漏掉一個或者幾個答案.三解答題(共 5 小題)1.如圖，在正方形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O, AF 平分/ BAC 交 BD 于點 F.1(1) 求證：AB OF -AC；2(2) 點 A、點 C 分別同時從 A、C 兩點出發(fā)，以相同的速度運動相同的時間后同時停止，1如圖，A1F1平分/ BAQ,交 BD 于點 F1,過點 F1作 REAC，垂足為 E,請猜想 EF,AB 與A1C12三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)_ 在(2)的條件下， 當(dāng) AE = 6,OE = 4 時，貝UBD 的長為_.知識點：正方形的性質(zhì)；全等三

30、角形的判定與性質(zhì)；勾股定理解析：解答：解：bJh-1u.k-_*|A(1 )過 F 作 FGL AB 于 G,/ AF 平分/ CAB FOL AC, FGL ABOM FG/AOF=ZAGF= 90,AF=AF,OF=FQAOFAAGFAO= AQ直角三角形 BGF 中，/ DGA= 45 ,FG= BG= OF,AB= AG+ BG= AO+ OF=丄 AC+ OF,2AB-OF=!AC.(2) 過 F 作 FiG 丄AiB,過 Fi作 FH 丄 BC ,則四邊形 FiGBH 是矩形.同(1)可得 EFi= FiG,因此四邊形 FiGBH 是正方形.EFi= G Fi= FiH,即：Fi是

31、三角形 AiBC 的內(nèi)心，EFi=( AiB+ BC- Ai C i)- 2.A1B+ BC= AB AiA+ BC CC,而 CC= AiA ,AiB+BC=2AB因此式可寫成： EF =( 2AB- AiC)- 2 ,即 AB- EF i =-A C.(3) 由(2)得，F(xiàn)i是三角形 AiBC 的內(nèi)心，且 Ei、G、H 都是切點.AiE=(AiCi+A BBC)2,如果設(shè) CC= AiA= x ,A E= AiC +( AB+ x)-( AB- x) -2=( i 0+ 2x)- 2= 6 ,x= i,在直角三角形 AiBC 中，根據(jù)勾股定理有 AiB2+ BC2= AC2,即：(AB+i

32、 )2+( AB- i )2= i 00 ,解得 AB= 7 ,BD= 7.分析：（i ）可通過構(gòu)建全等三角形來求解，過 F 作 FGL AB 于 G,那么可通過角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出 OM FG 通過全等三角形 AOF 和 AGF 可得出 AO= AQ 那么 AB= A3 OF,而 AC= 2OA 由此可得證；(2) 本題作輔助線的方法與 (1)類似，過 Fi作 FiG 丄 AB FiH 丄 BQ 那么可證得四邊形 FiGBH 是正方形，EFi= FiG= F1H1,那么可得出 Fi就是三角形 AiBG 的內(nèi)心，根據(jù)直角三角形的內(nèi)心 公式可得出EFi=( AB+ BG AiG

33、)- 2,然后根據(jù)用 AB 分別表示出 AB, BG ,最后經(jīng)過化 簡即可得出 AB- EFi= AAiG;(3)求 BD 的長，首先要求出 AB 的長，本題可借助(2)中，F(xiàn)i是三角形 A BG 的內(nèi)心來解， 那么我們不難看出 E , G , H 都應(yīng)該是切點，根據(jù)切線長定理不難得出AiE+ AiG = AiG + AiB GiE BG ,由于 GiE= GiH , BG= BH , AiE= AG 因此式子可寫成 2A E= AiG + AiB- BG ,而(AiB BG)正好等于 2AiA,由此可求出 AiA 的長，那么可根據(jù)勾股定理用 AB 表示出兩條直 角邊，求出 AB 的長，然后即

34、可得出 BD 的值.本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心等知識點，要注意的是后兩問中， 結(jié)合圓的知識來解會使問題更簡單.2.已知：如圖，點 E 是正方形 ABCD 勺邊 CD 上一點，點 F 是 CB 的延長線上一點，且 EAL AF.求知識點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)解析：解答：證明：/FA 聊/ BAE= 90,/ DAEFZBAE= 90,/FAB=/DAE/ AB= AD / ABF=/ ADEAFBAADEDE= BF.分析：由同角的余角相等知，/ FAB=/ DAE 由正方形的性質(zhì)知，/ AB= AD, / ABF=/ ADE=90 ,則 ASA 證得厶 A

35、FBAADE? DE= BF.此題即考查了實數(shù)的運算又考查了正方形的性 質(zhì)學(xué)生對學(xué)過的知識要系統(tǒng)起來.3 .如圖，點 E、F 分別在正方形 ABCD 勺邊 DG BC 上,AGL EF,垂足為 G,且 AG= AB 則/ EAF為多少度.Ai)0i /c1答案：45知識點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：在 Rt ABF 與 Rt AGF 中，TAB= AG AF= AF, / B=ZG= 90,ABFAAGF( HL),/BAF=ZGAF同理易得： AGEAADE 有/ GA=ZDAE即/ EAF=ZEAGFZFAG=丄/ DAGb2/ BAG=丄/ DA= 45,2 2故/ EAF= 45.分析：根據(jù)角平分線的判定， 可得出 ABFAAGF 故有/ BAF=ZGAF 再證明 AGEAADE有/ GA=ZDAE 所以可求/ EAF= 45.主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定.4.如圖，正方形 ABCD 中, AB=f；，點 E、F 分別在 BC CD 上，且/ BAE= 30,/ DAF=15 度.(1)求證：DF+ BE= EF;(2)求/ EFC 的度數(shù);解答：解：(1)延長 EB 至 G,使 BG= DF,連接 AG正方形