p14_7勢壘和隧道效應(動畫)

1、*范例范例14.7 勢壘和隧道效應勢壘和隧道效應(動畫動畫)如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m的粒子，能量為的粒子，能量為E，在力場中沿在力場中沿x軸方向運動。力場勢能分布為軸方向運動。力場勢能分布為這種勢能分布稱為一維勢壘。一粒子從勢壘左這種勢能分布稱為一維勢壘。一粒子從勢壘左邊向右運動，求粒子的波函數(shù)，演示波的傳播。邊向右運動，求粒子的波函數(shù)，演示波的傳播。解析解析由于勢能由于勢能V0與時間無關，因此是一個定態(tài)問題。與時間無關，因此是一個定態(tài)問題。(x V0時，可設時，可設II區(qū)的波矢為區(qū)的波矢為00(0,)( )(0)xxaV xVxa22112d,2dEmxh(0 x a)12/k

2、mEh202 () /km EVhOaxIIIIIIV0V薛定諤方程薛定諤方程組可化為組可化為221112d0,dkx222222d0,dkx223132d0d.kx*范例范例14.7 勢壘和隧道效應勢壘和隧道效應(動畫動畫)方程的方程的通解為通解為(x 0)將將1(x)乘以乘以exp(-it)，然后取函數(shù)的實部。，然后取函數(shù)的實部。由于由于cos(k1x - t) = cos(t - k1x)，可知：第一項，可知：第一項表示表示I區(qū)向區(qū)向x正方向傳播的波，即入射波，正方向傳播的波，即入射波，(0 x a)OaxIIIIIIV0V是入射波的復振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。是入射波的復

3、振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。221112d0,dkx222222d0,dkx223132d0dkx11121( )exp(i)exp( i)xAk xAk x%21222( )exp(i)exp( i)xBk xBk x%31121( )exp(i)exp( i)xCk xCk x%1A%同理可知：第二項表示向同理可知：第二項表示向x負方向傳播的波，即反射波，負方向傳播的波，即反射波，2A%是反射波的復振幅。是反射波的復振幅。2(x)中的兩個分量是勢壘中的兩個分量是勢壘II區(qū)中右行波和左行波，區(qū)中右行波和左行波，和和 是復振幅。是復振幅。1B%2B%3(x)中第一個分量是勢壘中第一

4、個分量是勢壘III區(qū)中右行波。區(qū)中右行波。由于在由于在III區(qū)區(qū)沒有反射波，沒有反射波，所以所以2. 0C %*范例范例14.7 勢壘和隧道效應勢壘和隧道效應(動畫動畫)(x 0)根據(jù)波函數(shù)的單值和連根據(jù)波函數(shù)的單值和連續(xù)的條件，在續(xù)的條件，在x = 0處有處有1(0) = 2(0)，(0 x a)OaxIIIIIIV0V可得兩個方程可得兩個方程11121( )exp(i)exp( i)xAk xAk x%21222( )exp(i)exp( i)xBk xBk x%311( )exp(i)xCk x%在在x = a處有處有2(a) = 3(a)，再得兩再得兩個方程個方程手工求解方程組比較麻煩

5、，用手工求解方程組比較麻煩，用MATLAB比較容易求解比較容易求解。12d(0)d(0)ddxx1212,AABB%1 12 11222AkA kB kB k%32d( )d( )ddaaxx122211exp(i)exp( i)exp(i)Bk aBk aCk a%1222221 11exp(i)exp( i)exp(i)B kk aB kk aC kk a%*范例范例14.7 勢壘和隧道效應勢壘和隧道效應(動畫動畫)求解結(jié)求解結(jié)果是果是可見：其他波的復振幅由入射波的復振幅決定?？梢姡浩渌ǖ膹驼穹扇肷洳ǖ膹驼穹鶝Q定。1212,AABB%1 12 11222AkA kB kB k%1222

6、11exp(i)exp( i)exp(i)Bk aBk aCk a%1222221 11exp(i)exp( i)exp(i)B kk aB kk aC kk a%221222122122122i()sin2cosi()sinkkk aAAk kk akkk a%12111221221222exp( i)2cosi()sink kk aCAk kk akkk a%21121211212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%21121212212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%當入射波函數(shù)取實部時，其他波函數(shù)也取實部；當入射波函數(shù)取實部時，其他波函數(shù)

7、也取實部；當入射波函數(shù)取虛部時，其他波函數(shù)也取虛部。當入射波函數(shù)取虛部時，其他波函數(shù)也取虛部。虛部和實虛部和實部只差一部只差一個相位因個相位因子，因此子，因此兩者中的兩者中的任何一個任何一個都可以表都可以表示波函數(shù)示波函數(shù)。*范例范例14.7 勢壘和隧道效應勢壘和隧道效應(動畫動畫)當粒子能量趨于勢壘高當粒子能量趨于勢壘高度時，度時，k2趨于零，可得趨于零，可得勢壘內(nèi)的波函數(shù)為勢壘內(nèi)的波函數(shù)為2212221221 22122i()sin,2cosi()sinkkk aAAk kk akkk a%1 2111221 221222exp( i)2cosi()sink kk aCAk kk akkk

8、 a%21121211212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%21121212212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%當粒子能量等于勢壘高度時，當粒子能量等于勢壘高度時，勢壘中仍然有波函數(shù)存在。勢壘中仍然有波函數(shù)存在。1211i,2ik aAAk a%11112exp( i)2ik aCAk a%2122212122( )(1 i)(1 i)()ixBk xBk xBBBBk x%112121111112i2i2()i2i2ik ak xAAAAk xAAk ak a%11121 i ()2ik xaAk a%當粒子能量小于勢壘高度當粒子能量小于

9、勢壘高度時，時，k2是復數(shù)，勢壘中的是復數(shù)，勢壘中的波函數(shù)按指數(shù)規(guī)律變化波函數(shù)按指數(shù)規(guī)律變化。入射波的振幅取實數(shù)，初始入射波的振幅取實數(shù)，初始時各區(qū)域的波函數(shù)的實部和時各區(qū)域的波函數(shù)的實部和虛部虛部(對應顏色的點虛線對應顏色的點虛線) ?？梢姡翰徽撌怯倚胁ㄊ强梢姡翰徽撌怯倚胁ㄊ亲笮胁ǎê瘮?shù)的實部左行波，波函數(shù)的實部和虛部的幅度是相同的。和虛部的幅度是相同的。隨著時間的推移，入射波的隨著時間的推移，入射波的波函數(shù)向右移，反射波的波波函數(shù)向右移，反射波的波函數(shù)向左移，合成波函數(shù)向函數(shù)向左移，合成波函數(shù)向右移，其幅度不斷發(fā)生改變。右移，其幅度不斷發(fā)生改變。設一無量綱的常數(shù)設一無量綱的常數(shù)002/k

10、amVh常數(shù)由粒子質(zhì)量、勢阱高度和常數(shù)由粒子質(zhì)量、勢阱高度和寬度決定，不妨稱為勢壘常數(shù)。寬度決定，不妨稱為勢壘常數(shù)。勢壘常數(shù)將影響波長。勢壘常數(shù)將影響波長。在某時刻，波函數(shù)在某時刻，波函數(shù)的實部與虛部重疊。的實部與虛部重疊。說明：波函數(shù)的虛部和實說明：波函數(shù)的虛部和實部都能描述粒子的狀態(tài)。部都能描述粒子的狀態(tài)。當粒子能量大于勢壘高當粒子能量大于勢壘高度時，粒子雖然能夠越度時，粒子雖然能夠越過勢壘，還會發(fā)生反射。過勢壘，還會發(fā)生反射。當粒子能量一定時，勢壘當粒子能量一定時，勢壘常數(shù)越大，波長就越短。常數(shù)越大，波長就越短。在勢壘左邊界，入射波在勢壘左邊界，入射波和反射波都不連續(xù)，但和反射波都不連續(xù)

11、，但疊加的波是連續(xù)的。在疊加的波是連續(xù)的。在勢壘右邊界，疊加的波勢壘右邊界，疊加的波與透射波是連續(xù)的。與透射波是連續(xù)的。當粒子能量等于勢壘高度當粒子能量等于勢壘高度時，勢壘中的入射波和反時，勢壘中的入射波和反射波合并為一個波函數(shù)，射波合并為一個波函數(shù)，波函數(shù)隨距離線性變化。波函數(shù)隨距離線性變化。隧道效應已經(jīng)被大量隧道效應已經(jīng)被大量實驗所證實，例如冷實驗所證實，例如冷電子發(fā)射電子發(fā)射(電子在強電電子在強電場作用下從金屬表面場作用下從金屬表面逸出逸出)，粒子從原子粒子從原子核中釋放，等等。核中釋放，等等。當粒子能量小于勢壘高度當粒子能量小于勢壘高度時，粒子雖然會發(fā)生反射，時，粒子雖然會發(fā)生反射，還能夠穿過勢壘產(chǎn)生透射，還能夠穿過勢壘產(chǎn)生透射，如同勢壘中有一條隧道，如同勢壘中有一條隧道，這種現(xiàn)象稱為隧道效應。這種現(xiàn)象稱為隧道效應。隧道效應也得到廣泛的應用，隧道效應也得到廣泛的應用，例如半導體器件，超導和掃例如半導體器件，超導和掃描隧道顯微鏡，等等。描隧道顯微鏡，等等。當粒子能量小于勢壘高當粒子能量小于勢壘高度時，在勢