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文檔簡介
1、4/5/20221 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4/5/20222知識點系統(tǒng)微分方程的建立方法 Laplace變換的定義及性質 傳遞函數(shù)的定義及性質 控制系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)的數(shù)學模型 動態(tài)結構圖的建立方法及簡化 準確求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 自動控制系統(tǒng)中微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結構圖之間的關系及相互轉換4/5/202232.1微分方程 數(shù)學模型數(shù)學模型 :描述控制系統(tǒng)變量(物理量)之間動態(tài)關系的數(shù)學表達式。常用的數(shù)學模型有微分方程,傳遞函數(shù),結構圖,信號流圖,頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。 例如對一個微分方程,若已知初值和輸入值,對微分方程求解,就可以得出輸出量的時域表達式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分
2、析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步。 控制系統(tǒng)如按照數(shù)學模型分類的話,可以分為線性和非線性系統(tǒng),定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。概述概述4/5/20224 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) :如果系統(tǒng)滿足疊加原理,則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明,兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應,等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應之和。 線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應可以一個一個地處理,然后對每一個輸入量響應的結果進行疊加。線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng):可以用線性定常(常系數(shù))微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù),則這類系統(tǒng)為線性時變
3、系統(tǒng)。 宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子(宇宙飛船的質量隨著燃料的消耗而變化)。概述概述4/5/20225 古典控制理論中(我們所正在學習的),采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng),對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng),解決問題的能力是極其有限的。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng):如果不能應用疊加原理,則系統(tǒng)是非線性的。 下面是非線性系統(tǒng)的一些例子:0, 0) 1(,sin)(322222222xxdtdxdtxdxdtdxxdtxdtAxdtdxdtxd概述概述4/5/20226第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程4/5/20227 微分方程的編寫應根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例
4、如:電路中的基爾霍夫電路定理,力學中的牛頓定理,熱力學中的熱力學定理等??刂葡到y(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程4/5/20228控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程iooouudtduRCdtudLC22dtduCio由: ,代入得:這是一個線性定常二階微分方程。iuidtCRidtdiL1dtiCou1解:據(jù)基爾霍夫電路定理:iu輸入ou輸出iuouLRCi例2-1:寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。4/5/20229例2-2 求彈簧-阻尼-質量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F,輸出量為位移x。解:圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結構圖和質量塊受力分析圖。圖中,m為質量,f為粘性阻尼系數(shù),k為彈性
5、系數(shù)。mfmFFx fxm 圖2圖1xkkxFkxx fxm mNmsNkg/,/.,根據(jù)牛頓定理,可列出質量塊的力平衡方程如下:這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量,F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中,m,f和k的單位分別為:控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程4/5/202210例2-3電樞控制式直流電動機NSMaRaLaefiauJicM這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉軸上的負載轉矩Mc,輸出是轉速 aaaaueiRdtdiL電樞回路方程為 1Kea其中ea 為反電勢常數(shù)ffiKeffaCiKKe1此時激磁電流為常數(shù),所以Ce稱為電動機電勢常數(shù) Cm稱為電動機轉矩常數(shù),再根據(jù)牛頓定律可得機
6、械轉動方程cmmdtdJamaffaiCiiKKiKm22電機通電后產(chǎn)生轉矩控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程4/5/202211aaaaueiRdtdiLeaCe amiCm cmmdtdJmecacmeaeameameaCCmRdtdmCCLCudtdCCJRdtdCCJL22)(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT其中 和aaaRLT meamCCJRT 分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間常數(shù)整理得euCK1meamCCRK分別是轉速與電壓傳遞系數(shù)和轉速與負載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉彈性力??刂葡到y(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程4/5/202212需要討論的幾
7、個問題需要討論的幾個問題:1、相似系統(tǒng)和相似量:、相似系統(tǒng)和相似量: idtqiuqCdtdqRdtqdL122我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一樣的。這是因為:若令 (電荷),則例2-1式的結果變?yōu)椋嚎梢?,同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學模型,而不同類型的系同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學模型,而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學模型。統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學模型。相似系統(tǒng)和相似量相似系統(tǒng)和相似量定義定義具有相同的數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng),在此系統(tǒng)中分別與 為相似量。kfmFx,CiRLuq1,作用利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于
8、實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復雜的系統(tǒng),實現(xiàn)仿真研究。4/5/2022132 2、非線性元件(環(huán)節(jié))微分方程的線性化、非線性元件(環(huán)節(jié))微分方程的線性化 在經(jīng)典控制領域,主要研究的是線性定??刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)的微分方程,則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng),其最重要的特性便是可以應用線性疊加原理,即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化4/5/202214 若描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是非線性(微分)方程,則相應的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領域對非線性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應用中,除了含有強非
9、線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況,一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程,可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開,取前面的線性項??梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。 設具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x),若取某一平衡狀態(tài)為工作點,如下圖中的 。A點附近有點為 ,當 很小時,AB段可近似看做線性的。)(0, 0yxA),(yyxxBx非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx00 xxx00y00yy)(xfy 4/5/202215AByx00 xxx00y00yy)(xfy .)(|)(! 21)(|)()(20220000 xxdxxdfxxdxxdfxfyxxxx)(0, 0y
10、xA設f(x)在 點連續(xù)可微,則將函數(shù)在該點展開為泰勒級數(shù),得:若 很小,則 ,即 式中,K為與工作點有關的常數(shù),顯然,上式是線性方程,是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度,只能在工作點附近展開。 x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0|非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化4/5/202216對于具有兩個自變量的非線性方程,也可以在靜態(tài)工作點附近展開。設雙變量非線性方程為: ,工作點為 。則可近似為: 式中: , 。 為與工作點有關的常數(shù)。),(20100 xxfy ),(21xxfy 2211xKxKy202101202101|,|2211xxxxx
11、xxxxyKxyK1011xxx2022xxx閱讀教材例2-5 求液壓伺服油缸的線性化數(shù)學模型。 注意注意 :上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性(如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等),它是可以用泰勒級數(shù)展開的。實際的工作情況在工作點附近。變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化4/5/202217例2-4:倒立擺系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化 該系統(tǒng)由小車和安裝在小車上的倒立擺構成。倒立擺是不穩(wěn)定的,如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔玫剿厦?,它將隨時可能向任何方向傾倒。這里我們只考慮二維
12、問題,即認為倒立擺只在圖所在的平面內(nèi)運動。 若有合適的控制力u作用于小車上可使擺桿維持直立不倒。這實際是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型(姿態(tài)控制問題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。設小車和擺桿的質量分別為M和m,擺桿長為 ,且重心位于幾何中點處,小車距參考坐標的位置為 ,擺桿與鉛垂線的夾角為 ,擺桿重心的水平位置為 ,垂直位置為 2xsinxcoscosxmguPMxycosxO4/5/202218畫出倒立擺系統(tǒng)隔離體受力圖非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化xmguVMxyVHHO設擺桿和小車結合部的水平反力和垂直反力為H和V,略去擺桿與小車、小車與地面的摩擦力???/p>
13、得方程如下: 擺桿圍繞其重心的轉動運動 cossindd22HVtJ式中J為擺桿圍繞其重心的轉動慣量, 為垂直力關于其重心的力矩, 為水平力關于其重心的力矩。 sinVcosH擺桿重心的水平運動 Hxtm)sin(dd22擺桿重心的垂直運動 mgVtm)cos(dd22小車的水平運動 HutxM22dd4/5/202219因為在這些方程中包含 和 ,所以它們是非線性方程。 非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化sincos若假設角度 很小,則 和 。可得下列線性化方程: sin1coscossindd22HVtJHxtm)sin(dd22mgVtm)cos(dd22HutxM22
14、dd HVJHxm)( mgV 0HuxM 由和可得 umxmM )(由、和得 mgxmmJ)(2當忽略轉動慣量J時 MuMgmM)(當考慮轉動慣量 時32mJ )4(3)4()(3mMumMgmM4/5/2022203.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟:線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟:確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關的物理的方程。對上述方程進行適當?shù)暮喕?,比如略去一些對系統(tǒng)影響小的次要因素,對非線性元部件進行線性化等。從系統(tǒng)的輸入端開始,按照信號的傳遞順序,在所有元部件的方程中消去中間變量,最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫
15、步驟線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟4/5/202221例2-6:編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負載gueu-+1u- +2u 功率 放大器fu測速發(fā)電機cMau解:該系統(tǒng)的組成和原理; 該系統(tǒng)的輸出量是 ,輸入量是 ,擾動量是gucM線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例例2-64/5/202222線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例例2-6)()(1110000cCamggmaMMTKuuKKKKTKTTm )(cgMugucM消去中間變量:推出 之間的關系:顯然,轉速 既與輸入量 有關,也與干擾 有關。efgukuuku111)()(1122uuku各
16、環(huán)節(jié)微分方程:運放: , 運放: 功率放大: ,反饋環(huán)節(jié):電動機環(huán)節(jié):23ukuaffku )(ccamanmmaMMTkukTTT 見例2-4測速au1u2ueugufu-cM運放運放功放電動機速度控制系統(tǒng)方塊圖:4/5/202223線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例例2-6gu)(11000cCammaMMTKKKTKTTm 0, 0gguucM0, 0ccMM)(1110000ggmauuKKKKTKTTm 對于恒值調(diào)速系統(tǒng), =常量,則 。轉速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下:對于隨動系統(tǒng),則 =常數(shù), ,故:根據(jù)上式可以討論輸出轉速跟隨給定輸入電壓的變化情況
17、。若 和 都是變化的,則對于線性系統(tǒng)應用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉速變化,然后相加。gucM增量式分析增量式分析 (上式等號兩端取增量上式等號兩端取增量):4/5/2022240)()(dtetfsFst)()(tfLsF定義:定義:如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t),它的定義域t0,那么下式即是拉氏變換式: ,式中s為復數(shù)。記作0)(dtetfst)()(1sFLtf一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是:t0時,f(t)=0;t0時,f(t)分段連續(xù); 。F(s) 象函數(shù),f(t) 原函數(shù)。記 為反拉氏變換。復習拉氏變換復習拉氏變換4、復習拉氏變換、復習拉氏變換4/5/202
18、225)()()()(2121sFsFtftfL線性性質:)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理:ssFdttfL)()(積分定理:(設初值為零))()()(0sfedtTtfeTtfLsTst時滯定理:)(lim)(lim0ssFtfst初值定理:復習拉氏變換復習拉氏變換性質:性質:4/5/202226)(lim)(lim0ssFtfst終值定理:)()()()(21021sFsFdftfLt卷積定理:ssFttf1)(),( 1)(1)()(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf常用函數(shù)的拉氏變換:常用函數(shù)的拉氏變換: 單位階躍函數(shù): 單位脈沖函數(shù): 單位斜坡函數(shù): 單位拋物線函數(shù): 正弦函數(shù): 其他函數(shù)可以查閱相關表格獲得。復習拉氏變換復習拉氏變換4/5/2022275 5、線性方程的求解:、線性方程的求解: 研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下,輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法,拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。拉氏變換求微分方程解的步驟:對微分方程兩端進行拉氏變換,將時域方程轉換為s域的
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