系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

1、 閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由系閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要由系統(tǒng)的閉環(huán)極點在統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的分布所決定。平面上的分布所決定。利用系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布圖，采用利用系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布圖，采用圖解法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根隨參數(shù)圖解法來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的運動軌跡變化的運動軌跡-根軌跡。根軌跡。 第第4 4章章 根軌跡法根軌跡法內(nèi) 容 提 要根軌跡的基本條件、幅值方程、相角方程，常規(guī)根軌跡繪制的基本規(guī)則，廣義根軌跡的繪制、根軌跡圖分析系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)特性。 知 識 要 點4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念4.1.1 根軌跡 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)

2、傳遞函數(shù)為)2)(1()()(ssKsHsG2, 121ppKssKs23)(2KsssD23)(2Ks4121232, 1系統(tǒng)開環(huán)極點有兩個系統(tǒng)開環(huán)極點有兩個系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為其特征根為其特征根為0:K時，系統(tǒng)特征根時，系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點閉環(huán)極點)變化情況如下：變化情況如下：0K2211-2,-1psps25. 00 K 25. 0K5 . 121 ss K25. 014215 . 12, 1Kjs1.當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點為開環(huán)極點；時，閉環(huán)極點 為兩個互不相等的負實根兩個互不相等的負實根時，閉環(huán)極點為兩個相等的負實根兩個相等的負實根時，閉

3、環(huán)極點為實部為負的共軛復(fù)根實部為負的共軛復(fù)根。2.當(dāng)3.當(dāng)4.當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡圖 由根軌跡圖可以直觀地分析參數(shù)由根軌跡圖可以直觀地分析參數(shù)K變化時系統(tǒng)的各項性能。變化時系統(tǒng)的各項性能。 K25. 00 K 25. 0K K25. 0K當(dāng)從0變化到時，根軌跡均在s平面的左半平面，時，閉環(huán)極點為負實根，系統(tǒng)為過阻尼時，閉環(huán)極點為重根，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)，閉環(huán)極點為實部為負的共軛復(fù)根，因此，因此，系統(tǒng)是系統(tǒng)是穩(wěn)定的。狀態(tài)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為單調(diào)變化。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為單調(diào)變化。系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減振蕩，且系統(tǒng)的超調(diào)量隨 值增大而增大，但是調(diào)節(jié)時間不變。4.1.2 根軌跡的基本條件 對于典

4、型的負反饋控制系統(tǒng)，如圖4-3所示，圖4-3 反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()(sHsGsGs1)()( 0)()(1)(sHsGsHsGsD系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4-2） 滿足式（滿足式（4-2）的點，必定是根軌跡上的點，式）的點，必定是根軌跡上的點，式（4-2）稱作根軌跡的基本方程（或根軌跡的基本）稱作根軌跡的基本方程（或根軌跡的基本條件）。因為條件）。因為s是復(fù)變量，所以式（是復(fù)變量，所以式（4-2）可以寫成）可以寫成式（式（4-3）幅值幅值(模值模值)條件條件和式（和式（4-4）相角條件相角條件。1)()(sHsG,

5、2 , 1 , 0) 12()()(kksHsG（4-3）（4-4）mzzz、21nppp、21K).()().()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為零、極點表示形式，即式（當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為零、極點表示形式，即式（4-5）：（4-5）為系統(tǒng)的開環(huán)零點；為系統(tǒng)的開環(huán)零點； 為系統(tǒng)的開環(huán)極點；為系統(tǒng)的開環(huán)極點； 為系統(tǒng)的根軌跡增益。為系統(tǒng)的根軌跡增益。1)()()()(11niimjjpszsKsHsG根軌跡的根軌跡的幅值條件和相角條件幅值條件和相角條件又可表示為：又可表示為： mjjniizspsK11)()(, 2 , 1) 12()()(11

6、kkpszsinijmjK0180假設(shè)研究系統(tǒng)的根軌跡增益假設(shè)研究系統(tǒng)的根軌跡增益閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡，根軌跡。根軌跡。 則稱為則稱為典型根軌跡或常規(guī)根軌跡典型根軌跡或常規(guī)根軌跡或或從零變化到無窮遠時，從零變化到無窮遠時，4.2 繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則規(guī)則1 根軌跡的起點與終點根軌跡的起點與終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。0Knppp,21Kmjzsj, 2 , 1,當(dāng)時，為根軌跡的起點，求得根軌跡的起點為時，為根軌跡的起點，求得根軌跡的起點為，即系統(tǒng)的即系統(tǒng)的開環(huán)極點開環(huán)極點。時，由根軌跡方程知根

7、軌跡的終點為時，由根軌跡方程知根軌跡的終點為，即系統(tǒng)的即系統(tǒng)的開環(huán)零點。開環(huán)零點。mn m）（mn-但是，當(dāng)?shù)牵?dāng)時，條根軌跡趨向于開環(huán)零點（稱為條根軌跡趨向于開環(huán)零點（稱為有限零點有限零點），還有），還有條根軌跡將趨于無窮遠處（稱為條根軌跡將趨于無窮遠處（稱為無限零點無限零點）。 mn ）（nm-如果出現(xiàn)如果出現(xiàn)的情況，的情況，必有必有條根軌跡的起點在條根軌跡的起點在無窮遠處無窮遠處。 規(guī)則規(guī)則2 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)等于數(shù)等于 ， 根軌跡對稱于實軸并且連續(xù)變化。根軌跡對稱于實軸并且連續(xù)變化。),max(mn由根軌跡的對稱性

8、和連續(xù)性，根軌跡只需作出上半部分，由根軌跡的對稱性和連續(xù)性，根軌跡只需作出上半部分，對稱畫出另一部分，且根軌跡連續(xù)變化。對稱畫出另一部分，且根軌跡連續(xù)變化。aa規(guī)則規(guī)則3 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 當(dāng)開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)時，有當(dāng)開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)時，有n-m條根軌跡條根軌跡趨于無窮遠處，無窮遠處的漸近線與實軸的交點為趨于無窮遠處，無窮遠處的漸近線與實軸的交點為 ，漸近線與實軸正方向的夾角漸近線與實軸正方向的夾角(傾角傾角)為為mnzpmjjniia11, 2 , 1 , 0) 12(kmnka)2)(1()()(sssKsHsG2, 1, 0321ppp0, 3mn2, 1, 0

9、321ppp例例4-1單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有三個極點：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有三個極點：開環(huán)無零點，即開環(huán)無零點，即系統(tǒng)有三條根軌跡，分別起始于三個開環(huán)極點系統(tǒng)有三條根軌跡，分別起始于三個開環(huán)極點三條根軌跡趨向于無窮遠處，其漸近線與實軸交點坐標(biāo)為三條根軌跡趨向于無窮遠處，其漸近線與實軸交點坐標(biāo)為-10-30-2-1-011）（）（mnzpmjjniia漸近線與實軸正方向的夾角為漸近線與實軸正方向的夾角為1 0 33) 12() 12(kkkmnka，三條漸近線如圖三條漸近線如圖4-4所示。所示。圖4-4根軌跡的漸近線規(guī)則規(guī)則4:實軸上的根軌跡段

10、實軸上的根軌跡區(qū)段位于其右實軸上的根軌跡段實軸上的根軌跡區(qū)段位于其右邊開環(huán)零、極點數(shù)目總和為邊開環(huán)零、極點數(shù)目總和為奇數(shù)奇數(shù)的區(qū)域。的區(qū)域。規(guī)則規(guī)則5根軌跡的分離點和會合點根軌跡的分離點和會合點 幾條根軌跡在幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開（或分開后又相遇）的點，平面上相遇后又分開（或分開后又相遇）的點，稱為根軌跡的分離點（或會合點）。稱為根軌跡的分離點（或會合點）。1.重根法重根法 根軌跡的分離點（或會合點）是系統(tǒng)特征方程的重根，可根軌跡的分離點（或會合點）是系統(tǒng)特征方程的重根，可以采用求重根的方法確定其位置。以采用求重根的方法確定其位置。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)()(

11、)()(sNsKMsHsG系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為0)()(sNsKM（4-15） 特征方程有重根的條件特征方程有重根的條件0)()(sNsMK（4-16） 分離點（或會合點）為重根，必然同時滿足方程式（分離點（或會合點）為重根，必然同時滿足方程式（4-15）和）和式（式（4-16），聯(lián)立求解得分離點（或會合點）的），聯(lián)立求解得分離點（或會合點）的d 0)()()()(sMsNsMsN所對應(yīng)的所對應(yīng)的K值為值為 dsMsNK)()(-2極值法極值法 由系統(tǒng)的特征方程式（由系統(tǒng)的特征方程式（4-15）求極值得）求極值得0ddsK即可確定分離點（或會合點）的值即可確定分離點（或會合點）的值

12、d。 3零、極點法零、極點法mjjniizdpd1111必須說明必須說明，采用上式確定的是特征方程的重，采用上式確定的是特征方程的重根點，對分離點（或會合點）來說，根點，對分離點（或會合點）來說，它只是它只是必要條件而非充分條件必要條件而非充分條件，也就是說它的解不，也就是說它的解不一定是分離點（或會合點），是否是分離點一定是分離點（或會合點），是否是分離點（或會合點）還要看其它規(guī)則。（或會合點）還要看其它規(guī)則。 例例4-2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為221)()()(2sssKsHsG分離點（或會合點）的確定分離點（或會合點）的確定 02022-1)(2222sssss

13、s）（）（，01s02122-1021KsssKs，2-2s2122-222ssssK2-2s01s解得：，對應(yīng)的對應(yīng)的對應(yīng)的對應(yīng)的所以所以在根軌跡段上是分離點；而在根軌跡段上是分離點；而不在根軌跡段上，則舍棄。不在根軌跡段上，則舍棄。系統(tǒng)的根軌跡圖1）實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間為根軌跡段則實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間為根軌跡段則一定有分離點；一定有分離點；2）實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間為根軌跡段則實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間為根軌跡段則一定有會合點；一定有會合點；3）實軸上一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間為根實軸上一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間為根軌跡段則或一定既有分離點又有會合點，或既沒

14、有軌跡段則或一定既有分離點又有會合點，或既沒有分離點又沒有會合點。分離點又沒有會合點。 當(dāng)然，分離點（會合點）可以是實數(shù)，也可以是當(dāng)然，分離點（會合點）可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，兩個相鄰的開環(huán)復(fù)極點（或零點）之間可能復(fù)數(shù)，兩個相鄰的開環(huán)復(fù)極點（或零點）之間可能有分離點（或會合點）。有分離點（或會合點）。 規(guī)則規(guī)則6 根軌跡的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角 根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)時的切線與正實軸的夾角，根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)時的切線與正實軸的夾角，稱為根軌跡的起始角；根軌跡進入開環(huán)零點時切線稱為根軌跡的起始角；根軌跡進入開環(huán)零點時切線與正實軸的夾角，稱為根軌跡的終止角。與正實軸的夾角，稱為根軌

15、跡的終止角。nilllimjjipppzpki11)()() 12(niijmjllljzpzzzkj11)()() 12(lk/) 12(l規(guī)則規(guī)則7 根軌跡上分離點（會合點）的分離角（會合角）根軌跡上分離點（會合點）的分離角（會合角）在分離點處（會合點）根軌跡離開（進入）實軸的相在分離點處（會合點）根軌跡離開（進入）實軸的相角為角為規(guī)則規(guī)則8根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點為趨向或離開實軸的根軌跡的分支數(shù)。為趨向或離開實軸的根軌跡的分支數(shù)。方法一：令方法一：令 js 代入特征方程得代入特征方程得 0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG聯(lián)立求解得到臨界增益 及虛軸交點及虛軸交點

16、 K方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)的臨界穩(wěn)定狀態(tài)求取。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)的臨界穩(wěn)定狀態(tài)求取。例例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2(1)()()(sssKsHsG系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 023)2(1)()(23KsssKssssD方法一 020302)(3)()(3223KKjjjjD6,20, 0KK方法二：列勞斯表為方法二：列勞斯表為KsKsKss012336321系統(tǒng)穩(wěn)定條件為系統(tǒng)穩(wěn)定條件為 060KK系統(tǒng)臨界增益系統(tǒng)臨界增益 K=6由輔助方程由輔助方程 063)(2 ssP2s所以根軌跡與虛軸的交點為所以根軌跡與虛軸的交點為 2s6K規(guī)則規(guī)則9 根之和根

17、之和 當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分母和分子的次數(shù)滿足當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分母和分子的次數(shù)滿足 時，則系統(tǒng)開環(huán)極點之和總是等于系統(tǒng)閉環(huán)特征根時，則系統(tǒng)開環(huán)極點之和總是等于系統(tǒng)閉環(huán)特征根 2 mnniciniipp11規(guī)則規(guī)則10 根之積根之積 根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關(guān)系，得根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關(guān)系，得)()(111mjjniinicizKpp第1章 引 論 例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)54ss)(4s ( sK) s (H) s (G2j2p, 4p, 0p4, 321開環(huán)極點為開環(huán)極點為漸近線于實軸的交點為漸近線于實軸的交點為24224a漸近線的傾角為漸近線的傾角為4344)

18、 12k(a與虛軸的交點為與虛軸的交點為25.46K,5 . 20K, 00208-0K210Kj2021j8)j (D0K20s21s8ss) s (D324234234第1章 引 論 根軌跡的分會點：根軌跡的分會點：25.6K25,.6K,4K-0.78s-3.22,s-2,s00.78)3.22)(s2)(s(s2042s24s4s)20s21s8ss (32132123234第1章 引 論 第1章 引 論 第1章 引 論 例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為j42p, 4p, 0p4, 321開環(huán)極點為開環(huán)極點為漸近線于實軸的交點為漸近線于實軸的交點為24224a漸近線的傾

19、角為漸近線的傾角為4344) 12k(a與虛軸的交點為與虛軸的交點為260K,100K, 00808-0K360Kj8036j8)j (D0K80s36s8ss) s (D324234234)204ss)(4s ( sK) s (H) s (G2第1章 引 論 根軌跡的分會點：根軌跡的分會點：100KK,64K6j2s-2,s0)104s2)(s4(s8072s24s4s)80s36s8ss (3212,31223234第1章 引 論 第1章 引 論 4.4 廣義根軌跡廣義根軌跡 常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則是以負反饋系統(tǒng)的根軌跡常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則是以負反饋系統(tǒng)的根軌跡增益為可變參數(shù)給出的。但是，實

20、際系統(tǒng)中可能研增益為可變參數(shù)給出的。但是，實際系統(tǒng)中可能研究其它參數(shù)變化（如開環(huán)零點、開環(huán)極點、時間常究其它參數(shù)變化（如開環(huán)零點、開環(huán)極點、時間常數(shù)等）對系統(tǒng)特征根的影響，或研究正反饋系統(tǒng)參數(shù)等）對系統(tǒng)特征根的影響，或研究正反饋系統(tǒng)參數(shù)變化的根軌跡等，上面這些根軌跡統(tǒng)稱為廣義根數(shù)變化的根軌跡等，上面這些根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。軌跡。4.4.1參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡以非以非K為可變參數(shù)的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，可以研為可變參數(shù)的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，可以研究系統(tǒng)的開環(huán)零點、極點、時間常數(shù)等對系統(tǒng)性能的究系統(tǒng)的開環(huán)零點、極點、時間常數(shù)等對系統(tǒng)性能的影響。影響。 對于參數(shù)根軌跡的繪制可采用等效傳遞函數(shù)的

21、原則，對于參數(shù)根軌跡的繪制可采用等效傳遞函數(shù)的原則，即由系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，求出所研究參數(shù)類似即由系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，求出所研究參數(shù)類似 K位位置的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，則常規(guī)根軌跡繪制的所有規(guī)置的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，則常規(guī)根軌跡繪制的所有規(guī)則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。例例4-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)(4(20)()(bsssHsG試繪制極點試繪制極點 0:b時系統(tǒng)的根軌跡。 020)(4()(bsssD)42)(42()4()()(11jsjssbsHsG等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.4.2 多參數(shù)根軌跡族多參數(shù)根軌跡族 有時

22、需要研究多個參數(shù)同時變化時對系統(tǒng)性能的影響，構(gòu)成了有時需要研究多個參數(shù)同時變化時對系統(tǒng)性能的影響，構(gòu)成了多參數(shù)的根軌跡族。以兩個參數(shù)為例：多參數(shù)的根軌跡族。以兩個參數(shù)為例：)(1()()(asssKsHsG第一步：選取一個參數(shù)為零，繪制另一個參數(shù)變化的根軌跡。第一步：選取一個參數(shù)為零，繪制另一個參數(shù)變化的根軌跡。 0a) 1()()(211ssKsHsG第二步：令第二步：令 常數(shù)K，繪制另一個參數(shù)變化的根軌跡。由繪制另一個參數(shù)變化的根軌跡。由系統(tǒng)的特征方程得系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程得系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為KsssassHsGKasasssKassssD2322223) 1()(

23、)( 0)(1()(4.4.3 正反饋系統(tǒng)的根軌跡（正反饋系統(tǒng)的根軌跡（零度根軌跡零度根軌跡） 在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個正反饋回路，其在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個正反饋回路，其正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()(sHsGsGs系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為0)()(1)(sHsGsD1)()(sHsG繪制系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件可寫為：繪制系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件可寫為： 1)()()()(11niimjjpszsKsHsG, 2 , 1 , 02)()()()(11kkpszssHsGniimjj這種根軌跡為零度根軌跡。對于零度根軌跡繪制的規(guī)則，這

24、種根軌跡為零度根軌跡。對于零度根軌跡繪制的規(guī)則，可由常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則和相角有關(guān)的適當(dāng)調(diào)整得到，修可由常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則和相角有關(guān)的適當(dāng)調(diào)整得到，修改的規(guī)則有改的規(guī)則有： 規(guī)則規(guī)則3 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 當(dāng)開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)時，有當(dāng)開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)時，有n-m條根軌跡趨于條根軌跡趨于無窮遠處，漸近線與實軸正方向的夾角為無窮遠處，漸近線與實軸正方向的夾角為 , 2, 1, 02kmnka規(guī)則規(guī)則4實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 實軸上的根軌跡區(qū)段位于其右邊開環(huán)零、極點數(shù)目總實軸上的根軌跡區(qū)段位于其右邊開環(huán)零、極點數(shù)目總和為偶數(shù)的區(qū)域。和為偶數(shù)的區(qū)域。規(guī)則規(guī)則6 根軌跡的起始

25、角和終止角根軌跡的起始角和終止角 開環(huán)極點出發(fā)的起始角開環(huán)極點出發(fā)的起始角 nilllimjjipppzpki11)()(2根軌跡終止于開環(huán)零點的終止角根軌跡終止于開環(huán)零點的終止角 niijmjllljzpzzzkj11)()(2例例4-9已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)3)(2()1 ()()(ssssKsHsG將開環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的零極點形式，即將開環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的零極點形式，即 )3)(2() 1(-)()(ssssKsHsG等效為正反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)等效為正反饋的開環(huán)傳遞函數(shù))3)(2() 1()()(11ssssKsHsG4.5 根軌跡分析系統(tǒng)的性

26、能根軌跡分析系統(tǒng)的性能 根軌跡分析系統(tǒng)首先由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)首先由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的根軌跡，然后再由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)根軌跡，然后再由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。態(tài)特性。4.5.1 根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點 根軌跡繪出的是系統(tǒng)根軌跡增益變化特征根的軌跡，對于根軌跡繪出的是系統(tǒng)根軌跡增益變化特征根的軌跡，對于某一增益下的閉環(huán)極點可由幅值條件試探來確定。某一增益下的閉環(huán)極點可由幅值條件試探來確定。例例4-10 設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2)(1(1.05)()(

27、ssssHsG1.試采用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；試采用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2.求系統(tǒng)的閉環(huán)極點；求系統(tǒng)的閉環(huán)極點；3.求取系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及超調(diào)量和過渡過程時間。求取系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及超調(diào)量和過渡過程時間。解：根軌跡分析系統(tǒng)，為此，解：根軌跡分析系統(tǒng)，為此，構(gòu)造增益可變的系統(tǒng)為構(gòu)造增益可變的系統(tǒng)為)2)(1()()(sssKsHsG繪制繪制 0:K的根軌跡，如圖的根軌跡，如圖4-13所示所示 圖4-13 系統(tǒng)的根軌跡圖從根軌跡圖可知，系統(tǒng)的增益從根軌跡圖可知，系統(tǒng)的增益 60 K時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 0.3850 K時，特征值為負實根，系統(tǒng)的響應(yīng)為單調(diào)衰減；時，特征

28、值為負實根，系統(tǒng)的響應(yīng)為單調(diào)衰減； 60.385 K時，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為共軛復(fù)根，系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩。時，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為共軛復(fù)根，系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩。本例中本例中 05. 1K因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為共軛復(fù)根，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為共軛復(fù)根， 試探求得系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為試探求得系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為 58. 033. 021js，根據(jù)根之和的關(guān)系得系統(tǒng)的另外一個閉環(huán)極點為根據(jù)根之和的關(guān)系得系統(tǒng)的另外一個閉環(huán)極點為 2.343s)58. 00.33)(58. 00.33)(2.34(1.05)(jsjsss可近似為如下的二階系統(tǒng)可近似為如下的二階系統(tǒng))44870.66(0

29、.4487)58. 00.33)(58. 00.33(0.4487)(2ssjsjss)3 .4458. 0sin(297. 11)(033. 0tetct系統(tǒng)的超調(diào)量和過渡過程時間為系統(tǒng)的超調(diào)量和過渡過程時間為)( 1 .1208. 9434 .16%10021/steMnsp4.5.2 根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性 閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點來決定，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點來決定，系統(tǒng)閉環(huán)極點可由根軌跡圖求得，而閉環(huán)零點為前向通道傳系統(tǒng)閉環(huán)極點可由根軌跡圖求得，而閉環(huán)零點為前向通道傳遞函數(shù)的零點和反饋通道傳遞函數(shù)的極點共同確定。遞函數(shù)的

30、零點和反饋通道傳遞函數(shù)的極點共同確定。1.穩(wěn)定性穩(wěn)定性 若閉環(huán)極點均在根平面的左半平面，則系統(tǒng)一定是若閉環(huán)極點均在根平面的左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即參數(shù)變化時的根軌跡均在穩(wěn)定的，即參數(shù)變化時的根軌跡均在s的左半平面。的左半平面。2.運動形式運動形式 若閉環(huán)極點均為左半平面的實數(shù)極點，則系統(tǒng)的若閉環(huán)極點均為左半平面的實數(shù)極點，則系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)為單調(diào)變化，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)；若離虛軸最動態(tài)響應(yīng)為單調(diào)變化，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)；若離虛軸最近的極點為復(fù)數(shù)極點，則系統(tǒng)的動態(tài)特性為衰減振蕩，系統(tǒng)近的極點為復(fù)數(shù)極點，則系統(tǒng)的動態(tài)特性為衰減振蕩，系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)?？山茷槎A系統(tǒng)。3.動態(tài)性能指標(biāo)

31、動態(tài)性能指標(biāo) 根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)可采用主導(dǎo)根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)可采用主導(dǎo)極點來估算。極點來估算。第1章 引 論 例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2s (s)4s (K)s (G1）試畫出系統(tǒng)的根軌跡；）試畫出系統(tǒng)的根軌跡；2）求系統(tǒng)具有最小阻尼比時的閉環(huán)極點，對應(yīng)的）求系統(tǒng)具有最小阻尼比時的閉環(huán)極點，對應(yīng)的K值及值及性能指標(biāo)；性能指標(biāo)；3）若要求系統(tǒng)的阻尼比為）若要求系統(tǒng)的阻尼比為0.866時，求閉環(huán)極點；時，求閉環(huán)極點；4）若求）若求K=1時的閉環(huán)極點。時的閉環(huán)極點。第1章 引 論 d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28

32、K2=11.79第1章 引 論 過原點作圓的切線，得最小阻尼比線，等過原點作圓的切線，得最小阻尼比線，等腰直角三角形，腰直角三角形，25 .12434-3t%4 .4)1/(exp%24s)2s (sKj22707.0cos,45ns2j22s0對對應(yīng)應(yīng)的的閉閉環(huán)環(huán)極極點點第1章 引 論 根據(jù)阻尼比的要求，做出等阻尼比線交點對應(yīng)根據(jù)阻尼比的要求，做出等阻尼比線交點對應(yīng)的閉環(huán)極點的閉環(huán)極點5 .04s)2s (sK,j0.65832.1s1ss11求求K=1時的閉環(huán)極點，可采用試探法。時的閉環(huán)極點，可采用試探法。1.024s)2s (sK,j1.3452.1s0.8554s)2s (sK,j1.

33、1743.1s1.464s)2s (sK,j1.6974.1s111ss33ss22ss11第1章 引 論 4.5.3 開環(huán)零點對根軌跡的影響開環(huán)零點對根軌跡的影響 系統(tǒng)中增加開環(huán)零點，對系統(tǒng)的性能的影響，通過舉例來說明。系統(tǒng)中增加開環(huán)零點，對系統(tǒng)的性能的影響，通過舉例來說明。)22()()()(2sssasKsHsG解：（解：（1）當(dāng)）當(dāng) a時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22()22() 1/()()(22sssKsssasKsHsG即表示零點不存在，系統(tǒng)的根軌跡如圖即表示零點不存在，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-15(a)所示所示 （2）當(dāng)）當(dāng) 4a根軌跡如圖根軌跡如圖4-15

34、(b)所示；所示；（3）當(dāng)）當(dāng) 2a根軌跡如圖根軌跡如圖4-15(c)所示；所示；（4）當(dāng)）當(dāng) 1a根軌跡如圖根軌跡如圖4-15(d)所示；所示；（5）當(dāng)）當(dāng) 0a根軌跡如圖根軌跡如圖4-15(e)所示；所示；（6）當(dāng)）當(dāng) 1a根軌跡如圖根軌跡如圖4-15(f)所示。所示。圖4-15不同a值下系統(tǒng)的根軌跡圖圖4-15不同不同 值下系統(tǒng)的根軌跡值下系統(tǒng)的根軌跡 4.6 MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡繪制系統(tǒng)的根軌跡 對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，人工繪制根軌跡十分復(fù)雜和困難，對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，人工繪制根軌跡十分復(fù)雜和困難，MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡是十分方便的。繪制系統(tǒng)根軌跡是十分方便的。 通常將系統(tǒng)的開

35、環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式通常將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式dennumKsHsG)()(分別為分子和分母多項式。分別為分子和分母多項式。 dennum，采用采用MATLAB命令：命令： pzmap(num,den)可以繪制系統(tǒng)的零、極點圖；可以繪制系統(tǒng)的零、極點圖； rlocus(num,den)可以繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；可以繪制系統(tǒng)的根軌跡圖； rlocfind(num,den)可以確定系統(tǒng)根軌跡上某些點的增益?？梢源_定系統(tǒng)根軌跡上某些點的增益。例例4-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為834) 152()()(2342ssssssKsHsG確定系統(tǒng)開環(huán)零、極點的位置。確定系

36、統(tǒng)開環(huán)零、極點的位置。解：在解：在MATLAB命令窗口輸入命令窗口輸入 num=2 5 1;den=1 4 1 3 8;pzmap(num,den);title（Pole-zero Map）執(zhí)行后得到如圖執(zhí)行后得到如圖4-17所示的零、極點圖。所示的零、極點圖。在在MATLAB命令窗口輸入命令窗口輸入 num=2 5 1;den=1 4 1 3 8;rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。例例4-16已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)() 1()()(2asssKsHsG1 5 8 9 10，aa試分別繪制解：在MATL

37、AB命令窗口輸入不同值，時系統(tǒng)的根軌跡。num=1 1;den=1 a 0 0;rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖4-19所示不同 值下系統(tǒng)的根軌跡圖。 a10a9a8a1a例例4-17已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)164)(1() 1()()(2sssssKsHsG試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍。試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍。解：在解：在MATLAB命令窗口輸入命令窗口輸入 num=1 1;den=conv(conv(1 0,1 -1),1 4 16);rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。圖4-20 系統(tǒng)根軌跡圖 圖4-21求取系統(tǒng)穩(wěn)定開環(huán)增益例例4-17中，在執(zhí)行上例指令后增加中，在執(zhí)行上例指令后增加 rlocfind(num,den)可采用光標(biāo)（十字）點擊根軌跡上的任意一點，會