極限的概念 函數(shù)的連續(xù)性

1、第二章.極限概念函數(shù)的連續(xù)性如果說對于函數(shù)的概念，我們總是能夠從日常直觀出發(fā)，就能很好地加以理解，因為畢竟因果關(guān)系的觀念在我們的意識當(dāng)中是非常深根蒂固的。那么要真正嚴(yán)格地理解極限的觀念，就不是那么自然的了。對于極限的觀念，最為關(guān)鍵的問題是，極限的模糊形象是誰都有的，但是如何定量地加以描述，從而是可以應(yīng)用來作為一般的判別標(biāo)準(zhǔn)的呢？這個問題實際上困擾了人們幾百年，一直到19世紀(jì)才加以解決的。 數(shù)列的極限。數(shù)數(shù)是人類最原始的數(shù)學(xué)活動，應(yīng)該說，對于數(shù)數(shù)我們沒有更多的數(shù)學(xué)方面的分析可言的了，或者說至少從數(shù)學(xué)的角度而言，數(shù)數(shù)是一個足夠清楚而明確的行為。因此我們引入極限這么一個抽象概念就從數(shù)數(shù)開始

2、。最為主要的一種事物運動變化的方式，是一種給人以連續(xù)性的感覺的變化。對于這樣的變化方式，我們可以有兩種研究方式，一是屬于物理學(xué)范疇的研究方式，就是說去探討事物變化發(fā)展中表現(xiàn)出來的連續(xù)性，究竟是一個什么樣的過程。另一種研究方式是并不考慮所謂連續(xù)性究竟是什么回事，而是首先人為地定義一種明確的可以定量處理的連續(xù)性，使得我們對于一般事物變化發(fā)展的描述都具有這種連續(xù)性的特點，并且總是在這種應(yīng)用當(dāng)中，隨時對實際過程與理論推理進行驗證與對比，從而得到使用這種人為連續(xù)性的觀念的合理性，一直到實驗表明再也不能使用這個人為前提為止。確實，我們應(yīng)該學(xué)會承認(rèn)，當(dāng)我們對客觀事物進行描述與分析時，肯定是要基于一些前提條件

3、或者說假設(shè)的，問題的關(guān)鍵，不是在于我們是不是應(yīng)該首先證明了這些前提的正確性，才能再來進行隨后的工作，而是承認(rèn)任何的理論工作都只是相對的，是否有用必須經(jīng)過實驗的證明才能決定?，F(xiàn)在我們的主要工作就是建立一個關(guān)于日常生活的連續(xù)性的嚴(yán)格表述。而這個概念是可以從我們進行最為簡單的數(shù)數(shù)開始的。設(shè)存在一個數(shù)列，也就是一個數(shù)值的集合，這個集合的元素可以一個一個的數(shù)出來，同時，每一個元素都可以加上唯一的標(biāo)志，而自然數(shù)是最為適宜作這件工作的。比如說，把一個數(shù)列寫成這樣的樣子：，或者簡單地記成。顯然，可以想象，隨著我們的數(shù)數(shù)，這個數(shù)列的取值，就會發(fā)生某種變化，（當(dāng)然，對于總是取同一個數(shù)值的數(shù)列，我們沒有什么興趣。）

4、這種變化的過程應(yīng)該說是相當(dāng)明確而沒有任何含糊與抽象的地方。然后，我們來規(guī)定一種具有特定規(guī)律的數(shù)列變化過程：對于數(shù)列，假設(shè)存在一個確定的常數(shù)a，現(xiàn)在我們考慮變量（顯然這是一個反映數(shù)列數(shù)值變化的，隨著n而發(fā)生變化的變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€數(shù)，無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個數(shù)列當(dāng)中找到一個元素，使得在這個元素后面的所有的數(shù)列元素，都使得相應(yīng)的變量的數(shù)值小于，換一句話來說，就是，對于任意的，總是存在一個N，使得當(dāng)n>N時，總是有成立，這時我們就把a稱為數(shù)列的極限。并且稱數(shù)列收斂于極限a。我們使用記號來表示這點。否則我們就說數(shù)列是發(fā)散的。這就是一個數(shù)列收斂于一個極限或者說

5、存在一個極限的定義。在這個定義里面，最為關(guān)鍵的地方，也是初學(xué)者最為困難的地方有兩個：1。數(shù)值是任意的。實際上也就是說，只要存在一個的數(shù)值不滿足定義的條件，就不能說數(shù)列收斂于極限a。這里初學(xué)者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對所有可能的都進行檢驗，才能得到最后的判斷呢？在實際問題當(dāng)中，由于我們的目的是希望知道變量是否越來越小，因此一般總是只要取大于0，并且足夠小（以后我們在有關(guān)極限的定義當(dāng)中，總是先假設(shè)了這點，記住這點并非是必要的，而是方便的），當(dāng)然只是這樣還不能減少我們對的任意取值進行驗證的任務(wù)，關(guān)鍵在于，我們一般所處理的數(shù)列，總是按照某種特定的規(guī)律來變化或者說是按照某種特定的規(guī)律來定義

6、的，這樣一般從這個數(shù)列的變化規(guī)律本身，就可以足夠使得我們進行判斷，并且還有可能找到一個特定的由決定的N的值，使得條件得到滿足，或者是可以找到反例。實際上本章的最困難的地方就是如何判斷一個數(shù)列是否存在極限，如果存在的話，又如何得到這個極限。這里最重要的方法是應(yīng)用不等式。不過，我們的課程在這個方面的要求并不是過高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡單的例子，而我們的精力應(yīng)該集中在對于極限思想的理解。1 1滿足條件的n必須取遍所有大于N的自然數(shù)。初學(xué)者往往會覺得這是不可能的，實際上，我們并不需要對所有大于N的n值進行檢驗，同樣由于數(shù)列的變化是具有規(guī)律的，從生成數(shù)列本身的規(guī)律，我們一般總是能夠通過有限的

7、步驟，來得到所需要的判斷。那么究竟所謂生成數(shù)列的規(guī)律是什么呢？一般說來，一個數(shù)列的元素總是一個由變量n決定的函數(shù)，這里變量n取遍自然數(shù)，就生成了數(shù)列的全部項。這個函數(shù)的表達式稱為通項的通項公式。不過通項公式有時候并非完全只是n的函數(shù)，而是同時由變量n和第n項之前的項所決定，這時，通項公式表現(xiàn)為一個遞推公式，這種情況的處理比較復(fù)雜，我們不過多的涉及。實際上對于上面的第二點，如果我們把希望得到的結(jié)論放弱一點，就還可以有第二種更為方便的說法，這就是相當(dāng)重要的柯西收斂原理：我們說數(shù)列收斂，它的充要條件是：對于任意的>0，總是存在正整數(shù)N，使得對于任意的自然數(shù)p和n>0，有成立?？梢钥吹?，在

8、這里對數(shù)列所進行的檢驗與極限的定義當(dāng)中對數(shù)列所進行的檢驗是存在一點差異的，就是在這里對數(shù)列進行檢驗，我們并不需要知道這個數(shù)列的極限究竟是多少，而通過檢驗，我們也只是知道這個極限是否存在極限。而在極限的定義當(dāng)中，要對一個數(shù)列進行檢驗，實際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個極限是多少，所謂的檢驗只不過是證明這個數(shù)列的極限是否這個給出的極限值。因此，在實際問題當(dāng)中，應(yīng)用柯西原理是更為方便的檢驗方法。在說明了一個數(shù)列的極限的含義以后，我們就可以得到一系列的這種極限過程的性質(zhì)如下：（1）數(shù)列以a為極限的另一個說法，或者說一個充要條件是：對于數(shù)列的任意一個子數(shù)列都以a為極限。這種說法一般并不是應(yīng)用于正面的結(jié)論，因為這

9、就意味著我們要取一個數(shù)列的任意子數(shù)列來進行驗證，這反而把事情搞復(fù)雜了，但一般說來更難以說明正面結(jié)論的判據(jù)，往往更易于說明反面結(jié)論，這也就是說，我們常?？梢院芊奖愕貞?yīng)用這個判據(jù)來說明某個數(shù)列是發(fā)散的，因為，我們只要能夠在一個數(shù)列里，構(gòu)造出一個發(fā)散的子數(shù)列，或者是構(gòu)造出兩個具有不同收斂極限的子數(shù)列，就可以說明這個數(shù)列是發(fā)散的。（2）如果兩個不同數(shù)列具有相同的極限：，而另外一個數(shù)列滿足條件：存在一個確定的自然數(shù)N，當(dāng)n>N時，總是有成立，那么數(shù)列收斂，并且極限為c。這個性質(zhì)被稱為夾逼定理，常常用來求某個合適的數(shù)列的極限，前提是已知另外兩個數(shù)列的極限，并且這三個數(shù)列具有定理所要求的關(guān)系。（3）如

10、果我們把數(shù)列看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，那么就可以相應(yīng)地定義這個函數(shù)的有界性和單調(diào)性，這兩個概念是相當(dāng)直觀的，并且顯然可以知道一個收斂數(shù)列必然是有界的，因為按照收斂的定義，滿足的項總是有限的，因此總能夠得到一個確定的函數(shù)的界。反過來，則還必須加上一個條件：單調(diào)而且有界的數(shù)列必定存在極限。這是一個相當(dāng)重要的極限存在定理，因為往往判定一個數(shù)列的單調(diào)性和有界性是比較容易的。從這個定理可以得到一個條件比性質(zhì)（1）更弱，但結(jié)論一樣的極限存在定理：（4）如果數(shù)列的子數(shù)列和都收斂于同一個極限，那么數(shù)列也收斂于這個極限。顯然這個定理比性質(zhì)（1）所需要的條件更弱，但結(jié)論是一樣的，這是因為我們選取了特定的子數(shù)列

11、。（5）如果一個數(shù)列是由兩個收斂數(shù)列通過四則運算得到的，那么這個數(shù)列的收斂性質(zhì)就完全由這兩個數(shù)列決定，這就是數(shù)列極限的四則運算性質(zhì)：a其中k為實數(shù)；b；c；d，其中。 函數(shù)的極限。上面對于數(shù)列的討論，完全可以看成是對于一種最為簡單的函數(shù)的極限的討論，這里唯一的差別，就是一般的函數(shù)的取值往往是連續(xù)的，而數(shù)列的取值是可以用自然數(shù)計數(shù)的。這里數(shù)值的連續(xù)性，或者說實數(shù)的連續(xù)性，仍然是我們不清楚的概念，盡管這是一個微積分最為基本的概念，是我們下面討論的一個基礎(chǔ)，但是由于本課程的限制，我們不學(xué)習(xí)艱澀的實數(shù)連續(xù)統(tǒng)理論，因此從邏輯的角度來講，我們只能是預(yù)先承認(rèn)一種直觀上的連續(xù)性觀念，而實際上，這種直

12、觀觀念對于我們下面的學(xué)習(xí)，也是足夠了的。盡管數(shù)列的項是可以用自然數(shù)計數(shù)，但在數(shù)列的極限定義當(dāng)中，我們并沒有依賴于在實際的檢驗當(dāng)中，進行逐項的比較，也就是說，在極限的定義當(dāng)中，數(shù)列的這種離散取值形式是無關(guān)緊要的。我們?nèi)匀豢梢苑抡諗?shù)列的極限的定義，說明一個函數(shù)的極限的定義。不過我們還必須首先考慮一個函數(shù)與數(shù)列的形式方面的差別。我們知道，一個數(shù)列所表示的變化，是具有明確的自變量變化形式的，即隨著自然數(shù)的增大而變化，而一個一般函數(shù)所表達的，則只是一般的自變量與因變量的數(shù)值對應(yīng)，而并沒有更具體地要求指明自變量與因變量的變化過程是如何進行的，函數(shù)的這種屬性，實際上也正是函數(shù)的抽象能力之所在。那么我們?nèi)绾慰?/p>

13、慮在一個函數(shù)所表達的變化過程當(dāng)中可能存在的極限現(xiàn)象呢？類似于數(shù)列的極限過程里面，自變量可以取得任意大一樣，在函數(shù)的極限過程里面，可以考慮自變量與某一個特定值的距離任意小。我們知道一個數(shù)列如果收斂，那么它的極限肯定是唯一的，這也可以說是極限概念之所以有意義的地方。而對于一個函數(shù)來說，同樣必須考慮自變量在一定的變化方向上的函數(shù)變化性質(zhì)，即如何定義函數(shù)的具有唯一性質(zhì)的極限。這里所謂自變量的變化方向，就是指自變量與某個特定值的距離任意小的意思。為了說明自變量與某個特定值的距離任意小這種函數(shù)變化的特定形式，我們定義一個特定的概念，就是鄰域的概念：對于確定的一個實數(shù)x，我們定義它的一個鄰域，是指一個開區(qū)間

14、這個開區(qū)間的特別之處在于可以看成是一個變量，并且一般是可以取任意小的數(shù)值的變量，因此這個開區(qū)間的特別之處在于，這個開區(qū)間的大小是可以任意地小。鄰域這個概念在下面函數(shù)的極限定義當(dāng)中具有關(guān)鍵的作用，希望同學(xué)們認(rèn)真加以體會。首先假設(shè)函數(shù)f（x）在點的鄰域內(nèi)有定義，而在點上不一定需要有定義。如果存在一個確定的點A，而我們?nèi)绻↑cA的任意一個鄰域，都可以找到相應(yīng)的點的鄰域使得對于函數(shù)y=f（x）來說，只要自變量x屬于鄰域里，就有因變量y屬于鄰域，這樣我們就可以說當(dāng)函數(shù)自變量x趨向于點時，函數(shù)以A為極限，記成。我們也可以不使用鄰域是概念，直接使用實數(shù)之間距離的概念，以類似于數(shù)列極限的形式來說明函數(shù)的極限：

15、對于函數(shù)y=f（x），假設(shè)存在兩個確定的常數(shù)和A，現(xiàn)在我們分別考慮變量（這個變量反映了函數(shù)自變量和一個確定的點之間的距離）和（顯然這是一個反映函數(shù)數(shù)值變化的，隨著x而發(fā)生變化的距離變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€數(shù)，無論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠找到一個相應(yīng)的數(shù)，使得變量滿足時，都使得相應(yīng)的變量的數(shù)值小于，換一句話來說，就是，對于任意的，總是存在一個，使得當(dāng)時，總是有成立，這時我們就把A稱為函數(shù)f（x）在x趨向于x0時的極限。我們使用記號來表示這點。否則我們就說函數(shù)f（x）在x趨向于x0時是發(fā)散的。由于函數(shù)變化的連續(xù)性，使得函數(shù)的極限的概念比數(shù)列的極限的概念要顯得復(fù)雜，因此我們還可

16、以通過圖形的方式來加強理解。如下圖所示，我們可以分別觀察在X軸和Y軸上的取值情況?？梢钥吹?，在x的取值向x0接近的過程中，函數(shù)y=f（x）表現(xiàn)出了這么一種現(xiàn)象，就是在Y軸上存在一點A，無論我們?nèi)《嗝葱〉腁的一個鄰域，我們都總能至少找到x0的一個鄰域，使得在這個鄰域內(nèi)的所有函數(shù)值都處于我們?nèi)《说腁的那個鄰域內(nèi)，這就說明了函數(shù)在x趨向x0時，存在一個極限A。假如在x0的這個鄰域內(nèi)存在一點，使得函數(shù)值超出了A的那個鄰域，比如函數(shù)的圖形如圖中虛線所示，突出一個峰B點，那么我們總是還可以在繼續(xù)向x0接近的過程中，找到更小的鄰域滿足條件。注意，在圖中我們故意沒有使得也沒有使得盡管是實際問題當(dāng)中，我們可能

17、常常這么取，但這并不是必須的。因為在定義當(dāng)中，只是要求一種存在性就可以了。另外在圖中，我們也可以看到，極限的存在并不要求函數(shù)在x0是有定義的，只要函數(shù)能夠無限地接近這點就可以了。從圖形當(dāng)中我們可以體會到，函數(shù)在某點存在極限，反映的是函數(shù)在這點附近的局部性質(zhì)，這里附近的意思是指與任何確定距離處函數(shù)的性質(zhì)無關(guān)，就好象圖中虛線所示，無論函數(shù)如何變化，只要這種變化被限制在確定的距離處，就不影響函數(shù)在這點處的極限性質(zhì)。實際上，函數(shù)在這點是否具有這個極限性質(zhì)，是分析函數(shù)在這點的行為的一個強大工具。后面的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們能夠進一步體會到，判斷一個函數(shù)在某點處是否具有極限，是表示函數(shù)在這點行為的重要特征。

18、60;函數(shù)的單側(cè)極限，左右極限，函數(shù)的分段點處的極限。在前面的圖形說明當(dāng)中，我們可以看到，函數(shù)自變量的取值趨向某個特定的點，還可以取特定的方向，比方說只從左邊或者只從右邊接近特定的點，這在函數(shù)所表示的變化規(guī)律本身常常是允許的。這就自然地得到了單側(cè)極限的概念。根據(jù)自變量趨向某點的方向的左右，可以把單側(cè)極限分成兩種，即左極限與右極限。顧名思義，左極限就是在X軸上，自變量總是從左邊趨向特定的點，也就是說，自變量在趨向這個特定的值時，總是小于這個值；反之右極限就是在X軸上，自變量總是從右邊趨向特定的點，也就是說，自變量在趨向這個特定的值時，總是大于這個值。引入這個概念，首先在理論上具有重要的作用，這體

19、現(xiàn)在如下的定理當(dāng)中：一個函數(shù)在自變量趨向某點時具有極限A，這件事的另一個說法，或者說它的一個充要條件就是函數(shù)在這點的左右極限都存在，并且都是A。這個定理可以應(yīng)用于對很多函數(shù)在特定點的極限性質(zhì)的判斷，當(dāng)然一般是應(yīng)用于否定性的判斷，即通過很容易地得到函數(shù)在這個特定點的左右極限，由于它們不相等，而得到函數(shù)在這點不存在極限的結(jié)論。這個定理還具有另外一個方面的實際應(yīng)用價值，就是用于分析分段函數(shù)。我們知道分段函數(shù)在分段點處的性質(zhì)是分段函數(shù)最為關(guān)鍵的地方，而對于分段函數(shù)在分段點處的極限性質(zhì)，就只有通過分別地考慮函數(shù)在分段點處的左右極限來得到。 無窮小量，無窮大量，無窮小量的階。在微積分的歷史上，一

20、種具有重要意義的極限過程，即無窮小量充當(dāng)了很關(guān)鍵的角色。而在理論的角度來看，這種極限過程也是非常有用的。所謂無窮小量就是這樣一種函數(shù)的極限過程，即當(dāng)函數(shù)自變量趨向于某個特定的值時，函數(shù)值本身趨向于0，直觀地說，也就是函數(shù)值要多小就有多小。更清楚地說明這點，就是：對于任意的，總是存在一個，使得當(dāng)時，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時，就是無窮小量。正如一個函數(shù)的極限和這個函數(shù)在這點的取值不能混為一談一樣，無窮小量和0不能混為一談。無窮小量是一種極限過程，可以理解為是“運動物體”，而任何一個確定的數(shù)值，總是一個“靜止物體”。一個無窮小量可以達到和0無限地接近而總是不能取值為0，因為極限過程

21、畢竟表達的只是一個變量的變換過程。把無窮小量看成是以0為極限值的函數(shù)，則同樣可以對它進行四則運算，我們可以得到如下定理：（1） （1）     有限個無窮小量的和仍然是無窮小量。（2） （2）     有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。（3） （3）     常數(shù)和無窮小量的乘積是無窮小量。（4） （4）     有限個無窮小量的乘積是無窮小量。 既然以0為極限的函數(shù)具有特定的研究價值，那么反過來，比方說無窮小量的倒數(shù)，是趨

22、向于無窮大的，也是具有一點價值的研究對象。這就是所謂無窮大量。類似地，我們可以定義無窮大量為當(dāng)函數(shù)自變量趨向于某個特定的值時，函數(shù)值本身趨向于無窮大，直觀地說，也就是函數(shù)值要多大就有多大。我們更清楚地說明這點，就是：對于任意的，總是存在一個，使得當(dāng)時，總是有成立。這里的f（x）在x趨向于x0時，就是無窮大量。 無窮小量最為重要的研究價值，體現(xiàn)在我們可以對它的趨向于0的“速度”進行比較。這種比較的結(jié)果，就得到了階的概念。設(shè)在同一個極限過程當(dāng)中，和都是無窮小量，如果（1），那么關(guān)于就是高階無窮小量，反過來關(guān)于就是低階無窮小量。寫成。（2），那么和就是等階無窮小量，寫成。并且稱和互為主要部

23、分。（3），那么和就是同階無窮小量，寫成a。一般說來，如果存在常數(shù)A>0和B>0，使得成立，那么和就是同階無窮小量，寫成=O（）。（4）一般的無窮小量的比較，可以通過定義一個基本無窮小量，即定義函數(shù)x=x在x趨向于0時的x為基本無窮小量，則當(dāng)時，（k為正數(shù)。）稱為k階無窮小量。特別地，如果，那么和就是同階無窮小量，是等價的，并且稱是無窮小量的主要部分。應(yīng)用無窮小量的階的性質(zhì)，可以簡化極限計算與近似計算，下面是相關(guān)的一些定理：如果，其中，都不取0值，則（1）當(dāng)存在時，也一定存在，并且=。（2）如果存在，則=（3）如果存在，則=。這幾個定理都表明應(yīng)用等階無窮小量進行替換，不會改變結(jié)果，

24、這樣就有可能用來進行極限計算的簡化。（4）如果，則有和。反過來也成立。這個定理則是進行近似計算的基本定理，即用主要部分代替一個變量，誤差為一個高階無窮小。 極限的四則運算法則。在研究數(shù)列的極限時，我們已經(jīng)討論了數(shù)列極限的四則運算性質(zhì)，對于函數(shù)的極限，具有同樣的性質(zhì)，因為這種運算性質(zhì)只涉及到極限過程本身，與是數(shù)列還是函數(shù)無關(guān)。我們列出如下：首先假設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）都在自變量x趨向于x0時存在有限的極限，那么就有下面的運算規(guī)則，（我們簡寫了極限符號，都是表示）：a其中k為實數(shù)；b；c；d，其中。注意這里函數(shù)的運算規(guī)則里面包括了減法，而數(shù)列的減法則沒有一般的運算規(guī)則。函數(shù)除了通過四則

25、運算進行構(gòu)造以外，另一個重要的函數(shù)構(gòu)造途徑就是函數(shù)的復(fù)合，那么復(fù)合函數(shù)的極限與其組成函數(shù)的極限有什么關(guān)系呢？（1）設(shè)，；（2）設(shè)存在x0的一個去心鄰域。對于在這個鄰域內(nèi)的所有x都有，也就是說，在x趨向于x0的過程當(dāng)中，g（x）不會取值u0；在這兩個條件下，我們有這個法則對于我們求函數(shù)的極限是非常有用的，因為常常需要進行變量代換，使得復(fù)雜函數(shù)變換為比較簡單的函數(shù)，從而得到所需要的極限。 極限存在的判別性質(zhì)。類似于數(shù)列極限的夾逼定理，同樣存在函數(shù)極限的夾逼定理：設(shè)兩個函數(shù)g（x）和h（x）在時，存在同一個極限A，而在x0的去心鄰域里，存在另一個函數(shù)f（x）滿足以下條件：，那么在時，f（x

26、）也存在極限A。在有關(guān)函數(shù)極限的問題當(dāng)中，記住重要的一點，就是函數(shù)的自變量只需要考慮在它所趨向的點的去心鄰域內(nèi)的定義即可。這個定理在某些條件下，可以應(yīng)用于求函數(shù)在某點的極限，即如果已知兩個具有簡單極限性質(zhì)的函數(shù)，和要考慮的函數(shù)具有上面不等式所要求的性質(zhì)，則可以直接得到所考慮函數(shù)的極限性質(zhì)。利用這個定理，可以得到重要的兩種形式的函數(shù)的極限。 兩個重要極限。對于這兩個極限，重要的是抓住它們的結(jié)構(gòu)特征：（1）。這個極限的結(jié)構(gòu)特征可以表示為：，也就是說，括號里的部分是無窮小量。這個極限可以應(yīng)用于求很多函數(shù)的極限。（2）這個極限的結(jié)構(gòu)特征可以表示為：也就是說，括號里的部分是無窮大量。這個極限同

27、樣可以應(yīng)用于求很多函數(shù)的極限。我們在后面的練習(xí)當(dāng)中，會遇到很多的例子。 函數(shù)的連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)性。我們已經(jīng)提到過實數(shù)的連續(xù)性，不過實數(shù)的連續(xù)性是比較困難的概念，我們不要求掌握，至于這里的函數(shù)的連續(xù)性，則是另外一個概念，應(yīng)用極限作為工具，可以很好地加以說明。在上面的關(guān)于函數(shù)極限的圖形說明當(dāng)中，我們提到一個直觀問題，就是存在極限，就意味著隨著自變量趨向給定的點，我們希望函數(shù)值與極限值之間的距離有多小，就可以通過找到一個與給定點足夠接近的自變量值，使得這個自變量取值和給定點之間的所有的自變量取值所對應(yīng)的函數(shù)值，都與極限值之間的距離是足夠小的。針對我們關(guān)于函數(shù)連續(xù)的直觀觀念，我們討論下面的三

28、種情況：（1）如果函數(shù)在某點不存在有限的極限，那么函數(shù)在這點的表現(xiàn)肯定是不符合我們關(guān)于連續(xù)的直觀的。這也就是說，函數(shù)在這點存在極限，是函數(shù)在這點連續(xù)的必要條件。那么函數(shù)在這點存在極限是否就是在這點連續(xù)了的呢？（2）我們在討論函數(shù)極限時，強調(diào)了函數(shù)并不一定必須在這點是有定義的。如果函數(shù)在這點都沒有定義，那么顯然函數(shù)就不可能在這點是連續(xù)的了。（3）如果函數(shù)在這點是有定義的，而函數(shù)在這點的極限并不是函數(shù)在這點的函數(shù)值，那么可以想象，函數(shù)的圖形仍然不符合我們關(guān)于連續(xù)性的觀念。因此在直觀上，可以很容易地接受下面的連續(xù)性定義：我們說函數(shù)在某點是連續(xù)的，意思是說（1） （1）  

29、0;  函數(shù)在這點的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義；（2） （2）     函數(shù)在這點存在極限；（3） （3）     函數(shù)在這點的極限等于函數(shù)在這點的函數(shù)值。上面的定義里，（2）（3）兩條還可以使用另外的說法，因為這里的關(guān)鍵實際上就是極限的概念。直觀地說，函數(shù)在某點連續(xù)，就是函數(shù)值在極限值處的鄰域想要多小就可以多小，只需要我們?nèi)〗o定點的足夠小的鄰域即可得到相應(yīng)的足夠的函數(shù)值區(qū)間。精確地說，就是：我們說函數(shù)在某點處是連續(xù)的，意思是說（1） （1）     函數(shù)在這點的某個領(lǐng)域內(nèi)有

30、定義；（2） （2）     對于任意給定的，總是存在某個，使得只要，就可以得到相應(yīng)的，注意與極限定義相比，這里沒有要求大于0，而是存在等于0的情況。我們可以看到極限與連續(xù)存在緊密聯(lián)系，相應(yīng)于單側(cè)極限的概念是單側(cè)聯(lián)系，它正是通過單側(cè)極限來定義的：函數(shù)在某點存在左極限，并且左極限值等于函數(shù)在這點的因變量值，這稱函數(shù)在這點左連續(xù)；函數(shù)在某點存在右極限，并且右極限值等于函數(shù)在這點的因變量值，這稱函數(shù)在這點右連續(xù)。顯然函數(shù)在這點連續(xù)的一個充要條件就是函數(shù)在這點同時左連續(xù)與右連續(xù)，左右極限值都同時等于函數(shù)在這點的因變量值。同樣這種單側(cè)連續(xù)概念可以應(yīng)用于研究分段函數(shù)

31、。最后，我們可以看到，類似于極限性質(zhì)是一種局部性質(zhì)，這里定義的連續(xù)性同樣是函數(shù)在一點的局部性質(zhì)，只是依賴于函數(shù)在這點的某個鄰域的行為。而我們應(yīng)該已經(jīng)能夠體會到，鄰域概念本身就是一個表達一點的局部范圍的概念。那么對于一個函數(shù)，如果它在定義域的每一點都是連續(xù)的，則稱函數(shù)在它的定義域上都是連續(xù)的。 連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。非常類似于極限的運算性質(zhì)，對于連續(xù)性，由于它的極限本質(zhì)，同樣存在相應(yīng)的四則運算性質(zhì)和復(fù)合性質(zhì)：1設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在x0處連續(xù)，則函數(shù)（1），其中a，b為任意常數(shù)；（2）；（3），其中g(shù)（x）不能等于0。都在x0處連續(xù)。2設(shè)函數(shù)u=g（x）在x0處連續(xù)

32、，函數(shù)y=f（u）在u0處連續(xù)，g（x0）= u0，那么函數(shù)y=fg（x）在x0處連續(xù)。有了這兩個基本定理，我們從基本初等函數(shù)的連續(xù)性開始，可以一步一步地得到初等函數(shù)的連續(xù)性，即任意初等函數(shù)在其定義域上的每一點處都是連續(xù)的。這個結(jié)論具有極其重要的價值。后面我們可以看到，初等函數(shù)的這個性質(zhì)使得我們對它們的處理大大簡化了。 間斷點及其分類。前面我們已經(jīng)把函數(shù)在某點連續(xù)的意思概括為三點，那么相應(yīng)的，如果說一個函數(shù)在某點不連續(xù)，或者說發(fā)生了間斷，就必定是出現(xiàn)了三種情況之一：（1） （1）     函數(shù)在這點沒有定義；（2） （2）  

33、;   函數(shù)在這點不存在左右極限之一或左右極限都不存在；（3） （3）     函數(shù)在這點的左右極限與函數(shù)在這點的函數(shù)值至少有一個不相等。因此我們可以把函數(shù)發(fā)生間斷的情況分成三類：（1）函數(shù)在這點的左右極限都存在，并且相等，而與函數(shù)在這點的函數(shù)值不相等，或者函數(shù)在這點根本就沒有定義，我們知道，這在函數(shù)的極限定義里，是可以允許的。這種間斷點，由于只要通過重新定義函數(shù)在這點的函數(shù)值，就可以得到一個在這點連續(xù)的新的函數(shù)，因此稱為可去間斷點。（2）函數(shù)在這點的左右極限都存在，但不相等，這時無論函數(shù)在這點的函數(shù)值如何，都把這種間斷點稱為第一類間

34、斷點。（3）函數(shù)在這點的左右極限至少有一個不存在，這時，稱為第二類間斷點。對于這三類間斷點，我們必須擁有很好的直觀，因為圖形直觀可以幫助我們直截了當(dāng)?shù)亟忸}。 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，中值，最值。通過前面的學(xué)習(xí)，我們可以體會到，所謂函數(shù)的連續(xù)性，其實是保持一個連續(xù)區(qū)間的連續(xù)性的任意變換。而所謂區(qū)間的連續(xù)性，直觀地看，就是實數(shù)軸上面的一個線段區(qū)間，而函數(shù)的連續(xù)性，就正是體現(xiàn)在把X軸上面的一個連續(xù)線段區(qū)間，變換為Y軸上面的一個連續(xù)線段區(qū)間。對于所謂實數(shù)區(qū)間的連續(xù)性，我們只能從直觀的角度來把握，而不能作更進一步的理論探討，因為這超出了本課程的范圍。不過基本的直觀對于我們下面的學(xué)習(xí)是足夠了的。對

35、于連續(xù)函數(shù)或者說連續(xù)變換來說，實數(shù)軸上面的閉區(qū)間具有非常重要的意義，首先我們給出一個基本定理：連續(xù)函數(shù)把一個有限閉區(qū)間變換為一個有限閉區(qū)間，或者說，定義在有限閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)的值域也是有限閉區(qū)間。從這個基本定理出發(fā)，我們可以從下面的幾個定理體會到閉區(qū)間對于連續(xù)函數(shù)的意義之所在：（1） （1）          定義在一個閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)，必定存在函數(shù)在這個區(qū)間上面的最大值與最小值。這就是所謂最值定理。（2） （2）       

36、   定義在一個閉區(qū)間上面的連續(xù)函數(shù)，必定是有界的。這就是所謂有界性定理。（3） （3）          定義在一個閉區(qū)間a，b上面的連續(xù)函數(shù)f（x），對于滿足f（a）<c<f（b）的任意的c值，總是存在一個相應(yīng)的，使得這就是所謂介值定理。（4） （4）          定義在一個閉區(qū)間a，b上面的連續(xù)函數(shù)f（x），如果f（a）·f（b）<0，則總是存在一個，使得這就是所謂零值定理。（5） （5）          如果函數(shù)y=f（x）為在閉區(qū)間a，b上面嚴(yán)格單調(diào)增加（減小）的連續(xù)函數(shù)，f（a）=A，f（b）=B，則在閉區(qū)間A，B上面存在f的反函數(shù)x=g（y）為嚴(yán)格單調(diào)減?。ㄔ黾樱?。這實際上是極其基本的反函數(shù)存在定理。 二，答疑解難。1數(shù)列的極限的定義當(dāng)中，與N的取值是一一