同濟高等數(shù)第六版D72可分離變量微分方程ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 轉化 可分別變量微分方程 第二節(jié)解分別變量方程解分別變量方程 xxfyygd)(d)(可分別變量方程可分別變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分別變量方程的解法分別變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(那么有恒等式 當G(y)與F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 時, 的隱函數(shù) y (x) 是的解. 那么有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣

2、, 當 F (x) = f (x)0 時, 由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 設左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y), F(x), 闡明由確定目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分別變量得分別變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為恣意常數(shù) )或或闡明闡明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此能夠增、減解.( 此式含分別變量時喪失的解 y = 0 )目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 解初值問題解初

3、值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分別變量得分別變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為恣意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為恣意常數(shù) )所求通解:目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習練習:.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分別變量分別變量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C

4、 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有uue1積分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 為恣意常數(shù) )所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (積分目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分別變量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.e0tMM然后積分:td)(知 t = 0 時鈾的含量為知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原M0MtO目錄 上頁 下頁 返回 結束

5、 例例5.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分別變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設降落傘分開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)e1 (tmkkgmvmgvk設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系. kgmv t 足夠大時目錄 上頁 下頁 返回 結束 m1例例6. 有高有高 1 m 的半球描畫器的半球描畫器, 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出,.cm12S開場時容器內盛滿了水

6、,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時間 t 的變r解解: 由水力學知由水力學知, 水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為tVQddhgSk2即thgSkVd2d求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設在d,ttt內水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhhO目錄 上頁 下頁 返回 結束 對應下降體積hrVdd222)1 (1hr22hh2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解問題:22d(2)dkSgh thhh 10th將方程分別變量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO目錄 上頁 下頁 返回 結束 兩端積分, 得2tk Sg 233

7、4( h)5225Ch 利用初始條件, 得,1514C那么得容10th器內水面高度 h 與時間 t 的關系:(s)737101(10068. 125234hht可見水流完所需時間為(s)10068. 14tm1rhhdhhO 因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSk目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分別變量方程的求解方法:闡明闡明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程分別變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 目錄 上頁 下頁 返回 結束 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關系列方程 ( 如: P298 題5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程3) 根據(jù)微量分析平衡關系列方程(2) 利用反映事物個性的特殊形狀確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程運用題的方法和步驟目錄 上頁 下頁 返回 結束 思索與練習思索與練習 求以下方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yx