北師大版數(shù)學(xué)必修三課件：第1章§5 52 估計總體的數(shù)字特征

1、5.25.2 估計總體的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1 1、會用頻率分布直方圖和頻率分布折線圖估計總體的分布、會用頻率分布直方圖和頻率分布折線圖估計總體的分布概率概率. .2 2、會用平均值和標(biāo)準差估計總體的數(shù)字特征、會用平均值和標(biāo)準差估計總體的數(shù)字特征. .3 3、會通過對總體的估計，進行決策、會通過對總體的估計，進行決策. .眾數(shù)眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中, ,就是最高矩形的中就是最高矩形的中點的橫坐標(biāo)點的橫坐標(biāo). . 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系：中位數(shù)中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中在樣本數(shù)據(jù)的

2、頻率分布直方圖中, ,就是把頻率分布就是把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x x軸交點的橫坐軸交點的橫坐標(biāo)標(biāo). .平均數(shù)平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中, ,等于頻率分布圖等于頻率分布圖中每個小長方形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和中每個小長方形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和. . 平均數(shù)易受一些極端情況的影響，而這些極端情況顯平均數(shù)易受一些極端情況的影響，而這些極端情況顯然是不能忽視的因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)然是不能忽視的因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)的實際狀態(tài)如：有兩位射擊運動員在一

3、次射擊測試中各射靶如：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶1010次，每次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：次命中的環(huán)數(shù)如下：甲甲: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙乙: 9: 95 57 78 87 76 68 8 6 67 77 7 如果你是教練如果你是教練, ,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價? ?如果如果這是一次選拔性考核這是一次選拔性考核, ,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇? ?方差與標(biāo)準差方差與標(biāo)準差如果看兩人本次射擊的平均成績?nèi)绻磧扇吮敬紊鋼舻钠骄煽? ,由于由于兩人射擊的平均成績是一樣的兩人射擊的平均

4、成績是一樣的. .那么兩個人的水平就沒有那么兩個人的水平就沒有什么差異嗎什么差異嗎? ?7,7xx 甲乙環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率456789100.10.20.3(甲甲)456789 100.10.20.30.4環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)(乙乙)頻率頻率 直觀上看直觀上看, ,還是有差異的還是有差異的. . 如如: :甲成績比較甲成績比較分散分散, ,乙成乙成績相對績相對集中集中( (如圖示如圖示).).因此因此, ,我們還需要從另外的角度來考我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)察這兩組數(shù)據(jù). .例如例如: :在作統(tǒng)計圖、表時提到過的極差在作統(tǒng)計圖、表時提到過的極差. . 甲的環(huán)數(shù)極差甲的環(huán)數(shù)極差=10=104=64

5、=6， 乙的環(huán)數(shù)極差乙的環(huán)數(shù)極差=9=95=4.5=4. 它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的它們在一定程度上表明了樣本數(shù)據(jù)的分散程度分散程度, ,與平均數(shù)與平均數(shù)一起一起, ,可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息可以給我們許多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息. .顯然顯然, ,極差對極極差對極端值非常敏感端值非常敏感, ,注意到這一點注意到這一點, ,我們可以得到一種我們可以得到一種“去掉一個去掉一個最高分最高分, ,去掉一個最低分去掉一個最低分”的統(tǒng)計策略的統(tǒng)計策略. . 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)標(biāo)準差準差標(biāo)準差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一

6、般用標(biāo)準差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s s表表示示所謂所謂“平均距離平均距離”，其含義可作如下理解：，其含義可作如下理解：(1,2, ).ixx in 假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù). .12,.,nxxxxixx到 的距離是于是于是, ,樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)12,.nxxxx到 的12.nxxxxxxSn 由于上式含有絕對值，運算不太方便，因此，通常改用由于上式含有絕對值，運算不太方便，因此，通常改用如下公式來計算如下公式來計算標(biāo)準差標(biāo)準差222121()()()nsxxxxxxn是是“平均距離平均距離”2222121()()()nsxxxxxxn從

7、數(shù)學(xué)的角度考慮從數(shù)學(xué)的角度考慮,人們有時用標(biāo)準差的平方人們有時用標(biāo)準差的平方分散程度的工具分散程度的工具.2方差s來代替標(biāo)準差作為測量樣本數(shù)據(jù)來代替標(biāo)準差作為測量樣本數(shù)據(jù)探究探究: :一個樣本中的個體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖一個樣本中的個體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示表示: :考慮一個容量為考慮一個容量為2 2的樣本的樣本: :設(shè)設(shè)12,xx 不妨令12,xx、其樣本的標(biāo)準差為其樣本的標(biāo)準差為21,2xx 21.2xxa 令用計算器可算出甲、乙兩人成績的標(biāo)準差為用計算器可算出甲、乙兩人成績的標(biāo)準差為: :由由 可以知道可以知道, ,ss 甲乙2,1.095,ss 甲乙甲的成績離散程

8、度大甲的成績離散程度大, ,乙的成績離散程度小乙的成績離散程度小. .由此可以估由此可以估計計, ,乙比甲的射擊成績穩(wěn)定乙比甲的射擊成績穩(wěn)定. .顯然顯然, ,標(biāo)準差越大標(biāo)準差越大, ,則則 越大越大, ,數(shù)據(jù)的離散程度越大數(shù)據(jù)的離散程度越大; ;標(biāo)準差越標(biāo)準差越小小, ,數(shù)據(jù)的離散程度越小數(shù)據(jù)的離散程度越小. .a1x2x122xxa參照課本參照課本P P3737頁的數(shù)據(jù)表完成：頁的數(shù)據(jù)表完成：排名排名運動員運動員平均積分平均積分積分標(biāo)準差積分標(biāo)準差1 1李麗珊李麗珊2 2簡度簡度3 3賀根賀根4 4威爾遜威爾遜5 5李科李科3.143.144.574.575.005.006.296.296

9、. 576. 571.731.732.772.772.512.513.193.193.333.33 李麗珊的平均積分和標(biāo)準差都比其他選手小，也就表李麗珊的平均積分和標(biāo)準差都比其他選手小，也就表明，在前明，在前7 7場的比賽過程中，她的成績最優(yōu)秀且最穩(wěn)定場的比賽過程中，她的成績最優(yōu)秀且最穩(wěn)定. . 于是我們假設(shè)之后的比賽中，他們都發(fā)揮正常，奪冠于是我們假設(shè)之后的比賽中，他們都發(fā)揮正常，奪冠希望最大就是李麗珊希望最大就是李麗珊. . 甲乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為甲乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm25.40mm的一種零件的一種零件. .為了對為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進行評比兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進行評比, ,從他們

10、生產(chǎn)的零件中各抽出從他們生產(chǎn)的零件中各抽出2020件件, ,量得其內(nèi)徑尺寸如下量得其內(nèi)徑尺寸如下( (單位單位:mm):mm)甲甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25

11、.39 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39乙乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.4825.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 25.31, 25.32, 25.32, 25

12、.32, 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看, ,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高? ?解解: :用計算器計算可得用計算器計算可得: : , ,因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的穩(wěn)定程度因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的穩(wěn)定程度高得多，于是可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高得多，于是可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些高一些. . 從樣本平均數(shù)看從樣本平均數(shù)看, ,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準內(nèi)徑標(biāo)準(25.40mm),(25.40mm),但是差異很小但是差異很小; ;從樣本標(biāo)準差看從樣本標(biāo)準差看, ,由于由于ss甲乙25.4005,25.4008,0.038,0.074,xxSS-=甲乙甲乙 “