余弦定理　課件

1、余弦定理復習回顧正弦定理：正弦定理：sinsinsinabcABC2R可以解決兩類有關三角形的問題可以解決兩類有關三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊已知兩角和任一邊.（2）已知兩邊和一邊的對角已知兩邊和一邊的對角.變形：變形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2CBAcbasin:sin:sin:2sinsinsinabcRABC情景設置： 隧道工程設計，經常要測算山腳的長度，隧道工程設計，經常要測算山腳的長度，工程技術人員先在地面上選一適當的位置工程技術人員先在地面上選一適當的位置A A，量出量出A A到山腳到山腳B B、C C的距離，再利用經緯儀測出的距離，再利用經緯儀測出A

2、A對山腳對山腳BCBC（即線段（即線段BCBC）的張角，最后通過計算的張角，最后通過計算求出山腳的長度求出山腳的長度BCBC. .已知：AB、 AC、角 (兩條邊、一個夾角)研究：在三角形中，c，BC=a，CA=b, AC =AB + BC AC =AB + BC| |ACAC| | = =| |AB + BCAB + BC| | |ACAC| | = =| |AB + BCAB + BC| |2 22 2 |AC| |2 2= AB +2AB BC+BC2222=|AB|+2|AB| |BC|cos（180 -B）+|BC|0余弦定理：三角形任何一邊的平方等于余弦定理：三角形任何一邊的平方等

3、于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍角的余弦的積的兩倍.2222cosbcabcA2222cosacbacB2222cosabcabC應用：應用：已知兩邊和一個夾角，求第三邊已知兩邊和一個夾角，求第三邊 隧道工程設計，經常要測算山腳的長度，工程技術人員先在地面上選一適當的位置A，量出A到山腳B、C的距離，再利用經緯儀測出A對山腳BC（即線段BC的張角），最后通過計算求出山腳的長度BC.已測的：千米，A 千米角600求山腳的長度23延伸變形：延伸變形：，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222注意注意:

4、 :余弦定理適用任何三角形余弦定理適用任何三角形. .應用：應用：已知三條邊求角度已知三條邊求角度例例1: 1:.,150, 2, 33. 3;,21,29,20. 2;,6038. 1bBcaBcbaaAcbABC求已知求已知求，已知中，在練習題答案練習題答案: 1. 7; 2. 90; 3. 7.提煉：設提煉：設a是最長的邊，則是最長的邊，則ABC是鈍角三角形222cbaABC是銳角三角形222cbaABC是直角角三角形222cba2222cosbcabcA例例2 2：17106.ABCabcABC在中，已知，試判斷的形狀235 7.ABCabc在中，已知 ： ： ，求這個三角形的最大角練

5、習 已知三角形三邊之比是5:7:8,則 最大角和最小角的和為_120小結： 余弦定理Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222bcacbA2cos222acbacB2cos222abcbaC2cos222應用：應用：、已知兩條邊和一個夾角，求第三條邊、已知兩條邊和一個夾角，求第三條邊.、已知三條邊，求三個角、已知三條邊，求三個角.判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀.余弦定理2.余弦定理余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍. .Cabba

6、ccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos2222 2、余弦定理可以解決以下兩類有關三角形問題：、余弦定理可以解決以下兩類有關三角形問題：（1 1）已知三邊求三個角；）已知三邊求三個角；（2 2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角. .例1.根據所給條件,判斷 ABC的形狀:(1) coscosaAbB(2) coscosaBbA22(4) ( coscos )()cosa bB cCbcA(3) sinA2sincosBC222214ABCS

7、aABCabccabCCb22例2:21在中，已知在中，已知（）求的大小.求的大小.0601,3,.sinsinsinABCAbabcSABCABC在中，求例 :的值3233,2 (0)aaaaa a2例4 已知23,求三:角形的最大角23x已知銳角三角形的兩邊長為 和 ，求第三邊長 的取例5:值范圍. 例例5. 5.ABCABC中，若已知三邊為連續(xù)正中，若已知三邊為連續(xù)正整數，最大角為鈍角，解此三角形整數，最大角為鈍角，解此三角形. . C為鈍角為鈍角 0) 1(242cos222kkaccbaC解得解得41 k Nk或或3,3,但但2k2k時不能構成三角形應舍去時不能構成三角形應舍去余弦定

8、理3例例1、在長江某渡口處，江水以、在長江某渡口處，江水以km/h的速度的速度向東流。一渡船在江南岸的碼頭出發(fā)，預定向東流。一渡船在江南岸的碼頭出發(fā)，預定要在要在0.1h后到達江北岸碼頭，設為正北后到達江北岸碼頭，設為正北方向，已知碼頭在碼頭的北偏東方向，已知碼頭在碼頭的北偏東，并與碼頭相距并與碼頭相距1.2km該渡船應按什么方向該渡船應按什么方向航行？速度是多少千米小時？（角度精確到航行？速度是多少千米小時？（角度精確到0.1 ，速度精確到，速度精確到0.1km/h）船按方向開出船按方向開出解：如圖，取方向為水流方向，以為解：如圖，取方向為水流方向，以為一邊、為對角線作平行四邊形，一邊、為對

9、角線作平行四邊形，其中其中1.2(km),AC=50.1=0.5(km),在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得38. 1)1590cos(5 . 02 . 125 . 02 . 1222BC所以所以（km)因此，船的航行速度為因此，船的航行速度為1.170.1=11.7(km/h)在在中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得4128. 017. 175sin5 . 0sinsinBCBACACABC所以所以所以所以 答：渡船按北偏西答：渡船按北偏西 的方向，并以的方向，并以km/h的速度航行的速度航行例例2、如圖，是三角形中邊上、如圖，是三角形中邊上的中線，求證：的中線，求證：.)(221222BCACABAM證：設證：設ABM ，則，則AMC 在在ABM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得.cos2222BMAMBMAMAB在在ACM中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得2222cos(180).AMMCACMCAM因為因為cos(180 ）cos ,BM=MC=1/2BC,所以所以,2122222BCAMACAB因此，因此，.)(221222BCACABAM2,()(- )43, 2.77abc abABACBCACabDBcA在 ABC中，已知，邊練習：在 ABC中的中線，求1求思考：證明：coscosabCcB02322xx1)cos(2 BAa，