必修一函數(shù)經(jīng)典例題

1、解： logm4n4，飛當(dāng)m1,n 1時(shí)，得0 log4 nlog 4 m, m當(dāng)0m1, 0 n 1 時(shí)，- log4 nlog 4 m, 0當(dāng)0m1, n 1 時(shí),得1 0m1, n 1 , 0綜上所述，m,n的大小關(guān)系為n得m4 m1例4 logm4 logn4，比擬m ,1nlog 4 m mmlog 4 m1.1n的大小。1log 4 m1 .0,n .1或0log4 nlog4 n ,例5求以下函數(shù)的值域：1y log 2(x 3) ； 2y log2(3解：1令 t x 3，那么 y log2t , t 0 , y R，即函數(shù)值域?yàn)?令 t 3 x2，那么 0 t 3 , y l

2、og 2 3 ,即函數(shù)值域?yàn)?x2) ;3,log 23.loga(x24x 7) a 0 且 a 1 丨.3令 t當(dāng)a當(dāng)0x2 4x1時(shí)，y1時(shí),例6判斷函數(shù)f(x)7 (x 2)233,loga 3 ,即值域?yàn)閘og a 3,y loga 3 ,即值域?yàn)?,log a 3. log2. x21 x)的奇偶性。解：x恒成立，故f (x)的定義域?yàn)?f(x21x) log2(. x2 1 x)1gx2x_X2_1(x_1)log 2log 2 x21f (x)為奇函數(shù)。f(x),所以，例7求函數(shù)y 2log 1 (x233x2)的單調(diào)區(qū)間。解：令 u x2 3x 2 (x又 x2 3x 2 0

3、 , 故 u x2 3x 2 在(2,-在-,42 x 2或 x)上遞增，在()上遞增，在1，,1)上遞減,自上遞減,又 y 2logj u為減函數(shù),3所以，函數(shù)y 2log1(x233x2)在(2,)上遞增，在(,1)上遞減。例&假設(shè)函數(shù)y解：令u g(x)log2(x22x ax a,ax a)在區(qū)間(,1-3)上是增函數(shù)，a的取值范圍。函數(shù) y log 2 u為減函數(shù)， u g(x) x2 ax a在區(qū)間(,1.3)上遞減，且滿足u 0,a 1 3- 2 ，解得 2 2.3 a 2 ,g(i 3)0所以，a的取值范圍為2 2.3, 2.2xx例1函數(shù)f(x) x bx c滿足f (1 x

4、) f(1 x)，且f(0)3，那么f(b)與f (c )的大小關(guān)系是.分析：先求b, c的值再比擬大小，要注意 bx, cx的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).解：T f(1 x) f (1 x),函數(shù)f (x)的對(duì)稱軸是x 1.故 b 2，又 f (0)3 , c 3 .函數(shù)f (x)在 s,上遞減，在1, s 上遞增.假設(shè) x 0，那么 3x 2x 1 , f(3x) f (2x)；假設(shè) x 0，那么 3x 2x 1 , f(3x)f (2x).綜上可得 f(3x) f(2x)，即 f(cx) f(bx).評(píng)注：比擬大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等對(duì)于含有參數(shù) 的大小

5、比擬問題，有時(shí)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.2求解有關(guān)指數(shù)不等式例2(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，那么x的取值范圍是 .分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，注意底數(shù)的取值范圍.解：丁2 a2a5(a1)24 41 ,函數(shù)y(a22a5)x在(s , s)上是增函數(shù)， 3x1x ,解得1x -1x的取值范圍是一，s44評(píng)注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對(duì)于含有參數(shù)的要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.3. 求定義域及值域問題例3求函數(shù)y 16x 2的定義域和值域.解：由題意可得16x 2 0 ,即6x 2 1 , x 2 0，故x 2 .函數(shù)

6、f(x)的定義域是s,.令t 6x2，那么 y.Lf ,又 x 2，二 x 2 0./ 06x 2 1，即 0 t 1 . 0 1 t 1 , 即 0 y 1 .函數(shù)的值域是 0,1 .評(píng)注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域時(shí)，要注意定義域?qū)λ挠绊?4. 最值問題例4函數(shù)y a2x 2ax 1(a0且a 1)在區(qū)間1,上有最大值14,那么a的值是分析：令t ax可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后t的取值范圍.x2 xx2解：令t a,那么t 0,函數(shù)y a 2a 1可化為y (t 1)2，其對(duì)稱軸為t 1 .二當(dāng) a 1 時(shí)，：x1,1 ,二W ax W a，即W t W a aa二當(dāng)

7、 t a 時(shí)，ymax (a 1)214 .解得a 3或a 5舍去;當(dāng) 0 a 1 時(shí)，丁 x1,1 ,ax W丄t 時(shí)，ymax a2 14 ,1解得a 一或a3一舍去，二a的值是3或-.53評(píng)注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值時(shí)注意一些方法的運(yùn)用，比方：換元法，整體代入等.5. 解指數(shù)方程例5解方程3x 232 x 80 .解：原方程可化為9 (3x)280 3x 90,令tx3 (t20)，上述方程可化為9t280t90,1解得t 9或t -舍去，二3x 9，二x 2，經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解是 x 2 .9評(píng)注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗(yàn)根.6. 圖象變換及應(yīng)用問題例6為

8、了得到函數(shù)y 9 3x 5的圖象，可以把函數(shù)y 3x的圖象.A 向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度B 向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度C 向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度D 向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 5個(gè)單位長(zhǎng)度分析：注意先將函數(shù)3x 5轉(zhuǎn)化為t 3x 25，再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷.位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)3x5，二把函數(shù)y5的圖象，應(yīng)選x3的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單C.評(píng)注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基 本函數(shù)的圖象，并掌握?qǐng)D象的變化規(guī)律，比方：平移、伸縮、對(duì)稱等.習(xí)題1、

9、比擬以下各組數(shù)的大小：124假設(shè)，假設(shè)假設(shè)W 假設(shè)一匸 -1假設(shè)-f :- 7- ，比擬H 與w丿；，比擬訂與;，比擬2與；;，且-：p ，比擬a與b; 且- ，比擬a與b.1- E 1)解：1由，故-Vfl丫1.又C ，故.從而* -1因，故 1應(yīng)有：.因假設(shè)廠 ，那么從而廠i：，4因，故1.又；，故 這與?_ l：r矛盾.1矛盾.35應(yīng)有1 ：，.因假設(shè)-，那么.又*，故因，且-，故：，：，.從而，這與小結(jié)：比擬通常借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象來求解.2曲線分別是指數(shù)函數(shù)y -和 =已帶的圖象,貝那么與1的大小關(guān)系是().a b c d(艮)a. 6 1 d? c(Q t 3 1 c

10、 0且y工1.(2)y = 4x+2x+1+1 的定義域?yàn)?R. / 20, .y = 4x+2x+1+1 = (2x)2+2 2x+1 = (2x+1)21. .y = 4x+2x+1+1 的值域?yàn)?y |4 -1 x 2,求函數(shù) f(x)=3+2解：設(shè)t=3x，因?yàn)?1 x1. 3x+1-9x的最大值和最小值1t 9，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當(dāng) t=3 即 x=1 時(shí)，f(x)取最大3值12，當(dāng)t=9即x=2時(shí)f(x)取最小值-24。5、設(shè)一一，求函數(shù)丁丄-一一-的最大值和最小值.分析：注意到一-一 “，設(shè) “，那么原來的函數(shù)成為利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法，可

11、求得函數(shù)的最值.解：設(shè)* ，由.知，一苧扣-護(hù)丄J心 1 ，函數(shù)成為，對(duì)稱軸-32-3 3+5=-1飛,故函數(shù)最小值為. ,因端點(diǎn)-I較心一-距對(duì)稱軸- 遠(yuǎn),1 1-I2 -3 1+5 = 2故函數(shù)的最大值為2 2 69分函數(shù)2x2ax 1a 1在區(qū)間【一1,1上的最大值是14,求a的值.解：y a2x2ax1(a1)， 換元為y t22t11 ( t a)，對(duì)稱軸為t 1. a當(dāng) a 1，t解得a=3 (a= - 5舍去)a，即x=i時(shí)取最大值，略7函數(shù)?_ _ - 一 且-1求的最小值； 2假設(shè)J用，求K 取值范圍.解:1打兀二0-免戻+2二0-九 1y/ V Ef 11/T-1的即-時(shí)，

12、有最小值為v/W =廬 _ 対 + 2 =(宀 1)( - 2) 0 . / ；2當(dāng)-：1時(shí)，當(dāng) 031 時(shí)，bg2 龍 co8 10分1fX 丄m是奇函數(shù)，求常數(shù)31m的值;x2畫出函數(shù)y |311的圖象,并利用圖象答復(fù):乂k為何值時(shí)，方程|3-11 = k無解？有一解？有兩解?解：1常數(shù)m=12當(dāng)k0時(shí)，直線y=k與函數(shù)y | 3x1 |的圖象無交點(diǎn)，即方程無解；當(dāng)k=0或k 1時(shí)，直線y=k與函數(shù)y131 1的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解當(dāng)0k1時(shí)，直線y=k與函數(shù)y I 3x 11的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩解。9假設(shè)函數(shù)一是奇函數(shù)，求*的值.為奇函數(shù),解:R /W .1 1

13、；十&二仃即/ 1 店 =1 l-2r l-2r2a那么1_ 1 _10. 9x_10.3x+9w 0，求函數(shù) y=解：由得3x2-10 3x+9 01 3x 9 故 0 x 211x-1-4 一x+2的最大值和最小值42得3x-9 3x-1 012x_4 一x+22111而 y=()x-1-4 (一 )x+2= 4 _4一一11令t=丄2那么 y=f t=4t2-4t+2=4t-122+11當(dāng) t= 即 X=1 時(shí)，ymin = 12當(dāng) t=1 即 X=0 時(shí)，ymax=2 2厲片莖丄廣；11.解：由y -，求函數(shù)的值域.12.9分求函數(shù)y得J；- / 0 且 a工 1).1(1)求f(x)

14、的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調(diào)性. 解: (1)易得f(x)的定義域?yàn)?x | x R.- 設(shè) y = a_-a1,解得ax1y_1t ax0當(dāng)且僅當(dāng)-1一1 0時(shí)，方程有解y 1y 1y 1.解-0 得-1y1.y 1: f(x)的值域?yàn)?y|-1 1時(shí)，t ax+1為增函數(shù)，且ax+10.-為減函數(shù)，從而 f(x)11-a、 1xaxa1為增函數(shù).2 當(dāng)0a11時(shí)，類似地可得 f(x)xaxa15、函數(shù)f x(1)(2)1證明:=ax2 1求證：對(duì)任何a R,a R,f X為增函數(shù).假設(shè)f x為奇函數(shù)時(shí)，求a的值。 設(shè) X1 02x1)(1 2x2)故對(duì)任何a R, fx2T x R，又 f為增函數(shù).X為奇函數(shù)f (0)0 得到 a 10。即 a 116、定義在R上的奇函數(shù)f (x)有最小正周期為2,且x (0,1)時(shí),1求f (x)在1, 1 上的解析式；2判斷f(x)在0, 3當(dāng)為何值時(shí)，方程f (x)=1,1上有實(shí)數(shù)解.解1： x R上的奇函數(shù) /. f(0)又T 2為最小正周期- f(1)f(2 1)設(shè) x 1, 0，那么x 0, 1， f( x)f( 1)2 x4 x 12X4