特殊平行四邊形：證明題完整版本

1、基礎(chǔ)篇特殊平行四邊形之證明題題型一：菱形的證明1、如圖，在三角形ABC中，ABAC,D、E分別是AB、AC上的點，ADE沿線段DE翻 折，使點A落在邊BC上，記為A若四邊形ADAE是菱形，則下列說法正確的是()A.DE是厶ABC的中位線B.AA是BC邊上的中線C.AA是BC邊上的高D.AA是厶ABC的角平分線2. 已知：如圖，在YABCD中，AE 是 BC 邊上的高，將ABE沿BC方向平移，使點E與點 C 重 合，得GFC (1)求證：BE DG;(2)若B 60當 AB 與 BC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.3、將平行四邊形紙片 ABCD 按如圖方式折疊，使點 C

2、 與 A 重合，點 D 落到 D處, 折痕為EF .(1) 求證： ABE AD F;(2) 連接 CF，判斷四邊形 AECF 是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.4.如圖， ABC 中，AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于點 D,交 AC 于點 O, CE/ AB 交 MN 于 E,連結(jié) AE、CD . ( 1)求證：AD = CE; ( 2)填空：四邊形 ADCE 的形狀是 _5 如圖，在ABC中,ABAC D是BC的中點，連結(jié)AD在AD的延長線上取一點E,連結(jié)BE CE(1)求證： ABE ACEABEC 是菱形？并說明理由6 如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把ACD沿CA方向平移

3、得到ACD(1)證明AAD CCB;(2)若ACB 30，試問當點C在線段AC上的什么位置時，四邊形ABCD是菱形，并請說明理由.7 在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB 5, AC 6.點BC的延長線于點E.(1)求BDE的周長；（第 B198 如圖，在ABC中，/A、/B的平分線交于點D DE AC交BC于點E，DF”BC交AC于點F. (1 )點D是厶ABC勺_心；(2)求證：四邊形DEC為菱形.9、如圖，已知：在四邊形 ABFC 中,ACB=90, BC的垂直平分線 EF 交 BC 于點 D,交 AB 于點 E,且 CF=AE(1)試探究，四邊形 BECF 是什么特殊的四

4、邊形；當A的大小滿足什么條件時，四邊形 BECF 是正方形？請回答并證明你的結(jié)論 (特別提醒：表示角最好用數(shù)字)10、如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB，CD的延長線分別 交于E，AA(2)點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q求證：BPQ.DACPCF. (1)求證：BOEDOF；(2)當EF與AC滿足什么關(guān)系時，以A, E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論.C4、如圖 12，B、C E 是同一直線上的三個點，四邊形ABCD 與四邊形 CEFG 是都是正方形連接 BG DE. (1)觀察猜想 BG 與 DE 之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .

5、(2)在圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指岀，并說岀旋轉(zhuǎn)過程；若不存在,請說明理由5.如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點 G 是 BC 上任意一點，DE 丄 AG 于點 E，BF 丄 AG 于點 F.(1) 求證：DEBF = EF .(2) 當點 G 為 BC 邊中點時，試探究線段 EF 與 GF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3) 若點 G 為 CB 延長線上一點，其余條件不變.請你在圖中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF 之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).型二：正方形的證明題1、四邊形(1)求證：AE=CG;( 2)觀察圖形，猜想 AE 與 CG 之間的位置關(guān)系，并

6、證明你的猜想2、把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H(如圖)試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜 想.(2)圖7、已知：如圖，在正方形 ABCD 中, G 是 CD 上一點，延長 BC 到 E，使 CE= CQ 連接 BG 并延長交 DE 于 F.(1)求證： BCG DCE(2)將厶 DCE 繞點 D 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到 DAE，判斷四邊形 E BGD 是什么特殊四邊形？并說明理由.9.如圖：已知在ABC中，AB AC,D為BC邊的中點，過點D作DE丄AB, DF丄AC, 垂足分別為E,F.(1) 求證：BED CFD;

7、(2) 若A 90求證：四邊形DFAE是正方形.D題型五：矩形的證明題1.如圖， 在 ABC 中， D 是 BC 邊上的一點， E 是 AD 的中點， 過 A 點作 BC 的平行線交 CE 的延長線于點 F， 且 AF=BD，連結(jié) BF。(1)求證：BD = CD;(2)如果 AB=AC，試判斷四邊形 AFBD 的形狀，并證明你的結(jié)論。2.如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB/DE，AF/DC，E、F兩點在邊BC上，且 四邊形AEFD是平行四邊形.(1)AD與BC有何等量關(guān)系？請說明理由；(2)當AB DC時，求證：YABCD是矩形.3如圖，四邊形 ABCD 是矩形， PBC 和厶 QCD

8、 都是等邊三角形，且點 P 在矩形上方，點 Q 在矩形內(nèi). 求證：(1)ZPBA= / PCQ=30 ;( 2) PA=PQ.4.如圖， ABC 中，AB=AC, AD、AE 分別是/ BAC 和/ BAC 和 外角的平分線，BE 丄 AE .( 1)求證：DA 丄AE;( 2)試判斷 AB 與 DE 是否相等？并證明你的結(jié)論.6、如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的 延長線于F，且AF DC，連接CF.(1)求證：D是BC的中點；(2)如果AB AC，試猜測四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.5、如圖，在ABC中，點O是A(邊上的一個動點，過點

9、 /BCA勺外角平分線于點F.(1)求證：EOFO( 2)當點O運動到何處時，四邊形O乍直線MNBC設(shè)M交/BC的角平分線于點E，交AEC是矩形？并證明你的結(jié)論.B題型六：綜合證明題2.如圖所示，在RtABC中，/ABC 90.將RtABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到DEC,點E在AC上，再將RtABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到ABF.連接AD.(1) 求證：四邊形AFCD是菱形；(2)連接BE并延長交AD于G,連接CG,請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什 么？FBC3如圖，ABC中，點0是邊AC上一個動點，過0作直線MN/BC,設(shè)MN交BCA的 平分線于點E，交BCA的外角平

10、分線于點F.(1) 探究：線段0E與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2)當點0在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；(3) 當點o運動到何處，且ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？5、如圖 15,平行四邊形ABCD中，AB AC，AB 1，BC.5對角線AC，BD相交 于點0，將直線AC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC,AD于點E,F.(1) 證明：當旋轉(zhuǎn)角為90o時，四邊形ABEF是平行四邊形；(2) 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；(3) 在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞

11、點0順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).3.如圖，ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與提高篇選講四邊形證明經(jīng)典題1.在口ABCD 中，AC、BD 交于點 0,過點 0 作直線 EF、GH，分別交平行四邊形的四條 E、G、F、H 四點，連結(jié) EG、GF、FH、HE.如圖，試判斷四邊形 EGFH 的形狀，并說明理由；如圖，當 EF 丄 GH 時，四邊形 EGFH 的形狀是 _ ;如圖，在（2）的條件下，若 AC=BD，四邊形 EGFH 的形狀是 如圖，在（3）的條件下，若 AC 丄 BD,邊于(1)(2)(3)(4)F C圖（第 1 題圖）2. 已知：如圖，在正方形ABCDK點E、F

12、分別在BC和CD,AE=AF.（1）求證：BE=DF;（2）連接AC交EF于點Q延長0C至點M使0M=0A連接EM FM判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.ODHHBF C圖試判斷四邊形 EGFH 的形狀，并說明理由.點B重合)，連結(jié)AD,作BE AD,垂足為E,連結(jié)CE,過點E作EF CE，交BD于F( 1)求證：BF FD;(2)A在什么范圍內(nèi)變化時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；1(3)A在什么范圍內(nèi)變化時，線段DE上存在點G，滿足條件DG - DA，并說明理4由.(1)試探索四邊形 EGFH 的形狀，并說明理由.當點 E 運動到什么位置時，四邊形EGFH 是菱形？并

13、加以證明.(3)若 中的菱形 EGFH 是正方形，請?zhí)剿骶€段 EF 與線段 BC 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(第25題圖5.如圖所示，在ABC中，分別以AB AC BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD等邊ACE等邊BCF6如圖，已知正方形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于點 O, E 是 AC 上一點，過 A 作 AG 丄 EB 于 G ,AG 交 BD 于點 F,貝 U OE= OF,對上述命題，若點 E 在 AC 的延長線上，AG 丄 EB，交 EB 的延長線(1)求證：四邊形DAEF!平行四邊形；(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)1當AABC滿足_ 條件時,2當AABC滿足

14、_ 條件時,3當ABE足_ 條件時,存在.DAEF是矩形;四邊形四邊形DAEF是菱形;以DA、E、F為頂點的四邊形不于點 G , AG 的延長線交 DB 的延長線于點 F,其它條件不變，則結(jié) 論OE= OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。AD(1)(3) 若SPQS:SAOD= 4 : 5，求 CD : AB 的值。9、如圖，等腰梯形 ABCDP、Q 分別是 0D、OA、BC 的中點。求證： PQS 是等邊三角形;若 AB = 8, CD = 6，求SPQS的值。7、在四邊形AE FCABCD 中，E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 上的點，且 =BE BF

15、GC AH=k(k 0)，閱讀下列材料，DG HD然后回答下面的問題:如上圖，連結(jié) BDFC GCBE1連結(jié) AC，則 EF 與 GH 是否2當k值為_時，3在的情形下，對角線4在的情形下，對角線AE AHHD 定平行，答：_EFGH 是平行四邊形;只需滿足_只需滿足BF DG EH / BD , FG /BD四邊形AC 和AC 和BDBD條件時， EFGH 為矩形; 條件時，EFGH 為菱形;8如圖，E、F 分別是正方形取一點 G,使 AG = AD , EG 與 DF 相交于點 H。求證：AH = AD。ABCD 的邊AB、BC 上的點，且 EF / AC，在 DA的延長線上(2)問題一圖 1HG第 2 題圖DC10將一把三角尺放在邊長為 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角頂點 P 在對角線 AC 上滑 行，直角的一邊始終經(jīng)過點 B，另一邊與射線 DC 相交于點 Q。探究：設(shè) A、P 兩點間的距離為x。（1）當點 Q 在邊 CD 上時，線段 PQ 與線段 PB 之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得 到的結(jié)論；（2）當點 Q 在邊 CD 上時，設(shè)四邊形 PBCQ 的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出函數(shù)的定義域；（3）當點 P 在線段 AC 上滑行時， PCQ 是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出 所有