廣東省深圳市2013年高三數(shù)學(xué)第一次調(diào)研考試試題理(2013深圳一模)新人教A版

1、4 |廣東省深圳市2013年高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題本試卷共 21 小題，滿(mǎn)分 150 分 考試用時(shí) 120 分鐘 注意事項(xiàng):1答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無(wú)缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務(wù)必用 0.5 毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫(xiě)自己的學(xué)校、 姓名和考生號(hào)，同時(shí)，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼 區(qū)，請(qǐng)保持條形碼整潔、不污損。2選擇題每小題選出答案后， 用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上不按要求填涂的，答 案無(wú)效。3.非選擇題必須用 0 5 毫米黑色字跡的

2、簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請(qǐng)注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái) 的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無(wú) 效。4.作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用 2B 鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答漏涂、錯(cuò)涂、多涂的答案無(wú)效5考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回。 參考公式：3.圖 I 是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積、體積分別是128-兀332Ji31若錐體的底面積為 S,高為 h,則錐體的體積為 V = -Sh.3S=4 二氏，體積為 V=4二3若球的半徑為R,則球的表面積為2R,回歸方

3、程為y=bx a, 其中:n、X=xyiyH呻U(xiǎn) n-亍,a=y_bx.送(x-x)i A8 個(gè)小題；每小題一、選擇題：本大題共且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 化簡(jiǎn)A .2. 已知A .5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,sin 2013o的結(jié)果是 sin33oB.i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)l+iB.cos33oi13(1+i )l iA. -sin 33oB. -cos33C. -1+1D. -I iA. 32 二、B . 16 二、H4h-4-H4. 1 ? )4.雙曲線x2-my2=1 的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的 2 倍，貝 U rn=11A .B.C. 2D. 4425.等差數(shù)列ad

4、中，a , a2, as分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1, a?, as中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列。第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913則 a4的值為A . 18B.15C. 12D. 206.我們把各位數(shù)字之和為6 的四位數(shù)稱(chēng)為“六合數(shù)”(如 2013 是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為 2 的“六合數(shù)”共有A . 18 個(gè)B. 15 個(gè)C. 12 個(gè)D. 9 個(gè)7.函數(shù) y = 1n|x 1|的圖像與函數(shù) y=-2 cos 二 x (-2 x1)個(gè)小矩形，若其中一個(gè)小12 二、16Tt3D. 8 二、16JI3C. 4D.221矩形的面積等于其余

5、n -1 個(gè)小矩形面積和的，則這個(gè)小矩形對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是511.已知= (x, y) |x+ y w 6, x0, y 0, A= ( x, y) |x 0 , xy2 0，若向區(qū)域 11 上隨機(jī)投一點(diǎn) P,則點(diǎn) P 落入?yún)^(qū)域 A 的概率是 _.12._若執(zhí)行圖 2 中的框圖，輸入N=13,則輸出的數(shù)等于 _。(注: “S=0”，C討2即為“ S- 0”或?yàn)镾=o”.)222213.設(shè)集合 A= (x, y) | (x 一 4) +y =1, B= (x, y) | (x t ) + (y-at+ 2 ) =l,如果命題“tR, A|B =.”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _。（二）選做題：第

6、14、1 5 題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題的 得分.14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy 中，以原點(diǎn) 0 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為 極軸建立極坐標(biāo)系.曲線 C 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），曲線 C2的卜十1極坐標(biāo)方程為 sin v -cos v =3，貝 U C 與 C2交點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 為。15. （幾何證明選講選做題）如圖 3，在 O O 中，直徑 AB 與弦 CD 垂直，垂足為 E，EF 丄 BC 垂足為 F，若 AB=6 CF- CB=5 貝 U AE=_。三、解答題：本大題共 6 小題，滿(mǎn)分 80 分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步

7、驟.16. （本小題滿(mǎn)分 12 分）f、I応x訂已知函數(shù) f （x） =2 sin + If （0:的終邊上，求 tan （-2：）的值.17.（本小題滿(mǎn)分 12 分）一次考試中，五名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)缦卤硭?陽(yáng)J學(xué)生AA2A3AA數(shù)學(xué)（x 分8991939597物理（y 分）8789899293(1)請(qǐng)?jiān)趫D 4 的直角坐標(biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并求出這些數(shù)據(jù)的同歸方程；(2)要從 4 名數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?90 分以上的同學(xué)中選 2 人參加一項(xiàng)活動(dòng)，以 X 表示選中的同 學(xué)的物理成績(jī)高于 90 分的人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E(X)的值.18.(木小題滿(mǎn)分 14 分)如圖

8、5,0 O 的直徑 AB=4,點(diǎn) C D 為 O O 上兩點(diǎn)，且/ CA B=4，/ DAB=60, F 為BC的中點(diǎn).沿直徑 AB 折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖6).(1) 求證：0F/平面 ACD(2) 求二面角 C- AD-B 的余弦值；(3)在BD上是否存在點(diǎn) G,使得 FG/平面 ACD 若存在，試指出點(diǎn) G 的位置，并求直 線 AG與平面 ACD 所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(本小題滿(mǎn)分 14 分)VC陽(yáng)62已知數(shù)列an滿(mǎn)足：ai=1，a2=(a 0), an+2=p 主 L (其中 P 為非零常數(shù)，n N*)anna當(dāng) a=1 時(shí)，令 bn=, S 為數(shù)

9、列bn的前 n 項(xiàng)和，求 Sn。an20.(本小題滿(mǎn)分 14 分)已知兩點(diǎn) Fl(-1 , 0) 及 F2(1 , 0),點(diǎn) P 在以 Fl、F2為焦點(diǎn)的橢圓 C 上，且|PFi|、|FiF2|、 IPF2I構(gòu)成等差數(shù)列.(1) 求橢圓 C 的方程；(2)如圖 7,動(dòng)直線I:y=kx+m 與橢圓 C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M N 是直線l上的 兩點(diǎn)，且 F1ML l, F2N 丄丨.求四邊形 F1MNF 面積 S 的最大值.(1)判斷數(shù)列邑是不是等比數(shù)列?an(2)求 an；(3)21.(本小題滿(mǎn)分 14 分)a已知 f(x)=x- (a0), g (x) =2lnx+bx 且直線 y=2x

10、2 與曲線 y=g (x)相切.x(1)若對(duì)1 ,+)內(nèi)的一切實(shí)數(shù) x，小等式 f(x)g ( x)恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；(2)當(dāng) a=l 時(shí)，求最大的正整數(shù) k,使得對(duì)e，3 (e=2. 71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))內(nèi)的任意 k 個(gè)實(shí)數(shù) X1, X2，,Xk都有f(xj f(x2)f(xk)二16g(xk)成立;(3)求證：n4i*1n(2nD(n N).參考答案圖7說(shuō)明：1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.2.對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影

11、響的程度決定給分， 但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3 .解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4 .只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù).一、選擇題：本大題每小題 5 分，滿(mǎn)分 40 分.12345678CCCDABBD換，以及平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí), 考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題每小題5 分，滿(mǎn)分 30 分.9.80；1010；118.271212.13413. 0 _ a _3三、解答題16.(本小題滿(mǎn)分 12 分)14(2,5);15.1.已知函數(shù)f(x) =2sin(高點(diǎn)和最低點(diǎn).(1)

12、求點(diǎn)A、(2) 設(shè)點(diǎn)A、+n)(0蘭x蘭5)，點(diǎn)63A、B 分別是函數(shù) y = f(x)圖像上的最B的坐標(biāo)以及OA OB的值；B分別在角:- :的終邊上，求tan(；.；-2：)的值.兀nn 7 n- + .36 361 / nxnsin()_1 .263TOC冗 冗n“ - r冗_(dá)，即x= 1時(shí)，sin()=1,f (x)取得最大值2;63263n(丄n 7 n _ .,n, n-l =-636nxn1，即x=5時(shí)，sinm匚,f(x)取得最小值-1.因此，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(1,2)、B(5, -1).OA OB =15 2 (-1)=3.(2點(diǎn)A(1, 2)、B(5, -1)分別在角

13、1tan匚-2,tan：51o2g)5tan251心)2125102-()tan匕-2 )12作詩(shī))29212【說(shuō)明】本小題主要考查了三角函數(shù)f (x)二As in Cx 的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，以及平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí), 考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.17.(本小題滿(mǎn)分 12 分)一次考試中，五名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)缦卤硭?學(xué)生A1A2A3A4A5數(shù)學(xué)(x 分)8991939597物理(y分)8789899293(1)請(qǐng)?jiān)趫D 4 的直角坐標(biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并求出這些數(shù)據(jù)的回歸方程；(2)要從4名數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)中選2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，以X表示選中的同學(xué)的物理成績(jī)高

14、于90分的人數(shù)，求隨機(jī)變量-89 91 93 95 97 x=5-87 89 89 92 93 y=55 (Xi-x)2=(-4)2(-2)202i 42242= 40,x(xi-X)(yi-y()(一3) (-2) (-1)0 (-1) 2 2 4 3 =30,i 130一_b0.75,bx = 69.75,a = y-bX = 20.25 .5 分40故這些數(shù)據(jù)的回歸方程是：0.75x 20.25 .6 分(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2.121 E(X)=0+1+2=1 .636【說(shuō)明】本題主要考察讀圖表、 線性回歸方程、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)

15、知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)據(jù)處理能力.18.(本小題滿(mǎn)分 14 分)解：(1)散點(diǎn)圖如右圖所示. .1=93,P(Xc；yP(X二1)=警2c|3；P(X=2咤10 分故X的分布列為:X012P12163611 分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)的值.C；C；如圖5,OO的直徑AB =4，點(diǎn)C、D為OO上兩點(diǎn)，且.CAB =45,/DAB=60,F為BC的中點(diǎn).沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直 （如 圖6）.（1）求證：OF/平面ACD;（2 ）求二面角C-AD- B的余弦值；（3）在BD上是否存在點(diǎn)G，使得FG平面ACD?若存在，試指出點(diǎn)G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正

16、弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.77圖5（法一）：證明：（1）如右圖，連接- CAB =45,CO _ AB,又；F為BC的中點(diǎn)，.FOB=45,.OF / AC.OF二平面ACD,AC平面ACDOF/平面ACD. .3解：(2)過(guò)O作OE_AD于E，連CE.CO _ AB，平面ABC丄平面ABD.CO丄平面ABD.又AD平面ABD,CO _ AD, AD_ 平面CEO,AD _CE, 則/CEO是二面角C- AD- B的平面角.5J-OAD =60,OA = 2,OE =一3.由CO丄平面ABD,OE平面ABD，得CEO為直角三角形,CO =2,CE二 一7.(3)設(shè)在BD上存在點(diǎn)G，使得FG平

17、面ACD,- OF/平面ACD,.平面OFG/平面ACD,OG/AD,. BOG= BAD =60.因此，在BD上存在點(diǎn)G，使得FG/平面ACD，且點(diǎn)G為BD的中點(diǎn).10 分 連AG，設(shè)AG與平面ACD所成角為：，點(diǎn)G到平面ACD的距離為h.AA_Af_SACD=2AD CE=2、一7=. 7,SGAD二SOAD=召2 ,3=.3,112 J21由VG-ACD=VC-AGD，得7 h=3 2，得h. 12 分337在=AOG中，AO=OG=2,AOG =120，由余弦定理得AG=2、3，13 分OF =(0, .2,、2).v點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，.點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,2,. 2,OTJAC，即OF/

18、AC.2OF二平面ACD,AC平面ACD,OF/平面ACD .3 分解：(2)DAB =60，點(diǎn)D的坐標(biāo)D .3,-1,0, 扃=(J3,1,0).設(shè)二面角C-AD-B的大小為二，m = x, y, z為平面ACD的一個(gè)法向量.由占0有“z12,2=0,即2y2-口AD =0, x,y,z.3,1,0 =0,“3x y=0.取x =1，解得y - - 3,z = . 3.m= i,3,、3.取平面ADB的一個(gè)法向量n2=0,0,1,（3）設(shè)在BD上存在點(diǎn)G，使得FG平面ACD,- OF/平面ACD，.平面OFG /平面ACD，則有OGAD.設(shè)OG= AD（，0）,: 7D=（血1,0），二OG

19、（屈入0）.又|OG=2 , . （ 3 ） 202，解得九=：1（舍去-1）.OG h叫3,1,0，則G為BD的中點(diǎn).因此，在BD上存在點(diǎn)G，使得FG/平面ACD，且點(diǎn)G為BD的中點(diǎn).11 分設(shè)直線AG與平面ACD所成角為，:AG十3,1,0） -（0, -2,0）十3,3,0）,根據(jù)（2）的計(jì)算m = 1,-、3,、.3為平面ACD的一個(gè)法向量,【說(shuō)明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知 識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能 力.19.（本小題滿(mǎn)分 14 分）2已知數(shù)列aj滿(mǎn)足：a1 =1,a?二a（a =0）,an

20、= pnN）.n1n2l, cos6 =-_Ji-|ni| hl1沃o+（-J3sin：AG，二cos（90-二）二|AG|山|口卜|的心十3漢（一73）十0漢772、3 .7因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為14 分an(1np2n 1_(1-p2)2p2-1(1)判斷數(shù)列空是不是等比數(shù)列?an(2)求an；當(dāng)a=1時(shí)，令bn二匹圧an2解：（1）由an .2= P,an(3)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求Sn.an 2an 1一=p an 1an令 6 =-，貝V G =a,Cn 1 =pCn.an:a = 0,. q = 0,Cn丄二p(非零常數(shù))，Cn.數(shù)列色是等比數(shù)列.an（2

21、）；數(shù)列Cn是首項(xiàng)為n 1CnP a pa，公比為p的等比數(shù)列，即也二apn.an當(dāng)n -2時(shí)，ananan J0 |1|皂a1（即心）（ap2）川（ap）1an _2a1n2.3n 22:ai滿(mǎn)足上式，nan =apn2m：；2*2,n N.(3)an 2 _an 2anan +2 2n)=a p，當(dāng)a = 1時(shí)，bnnan 22ndnppanSn=1p3III n p2nJp2Sn二1 p3 |l(n -1) p2nJ n p2n 1即P = -1時(shí)，-得:2nd2n 1p np= 9p_np2n1,1 - p2n11而當(dāng)p =1時(shí)，Sn =1 2川衛(wèi)2當(dāng)p一1時(shí)，厲=(-1) (-2)川

22、(-n) =求和等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的思想.20.（本小題滿(mǎn)分 14 分）已知兩點(diǎn)F,-1,0）及F2（1,0），點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上，且PF1、F1F2、PF2構(gòu)成等差數(shù)列.（1）求橢圓 C 的方程；（2） 如圖 7,動(dòng)直線丨：y二kx m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 點(diǎn)M , N是直線l上n（n +1） -d,P=，2n（n 1）.2，p= -1，2n、2n 1P（1-P）_np_卩嚴(yán)1（1 -P2）21-P2_.【說(shuō)明】 考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、 等比數(shù)列求和公式、綜上所述，S.M*14 分簡(jiǎn)單遞推數(shù)列求通項(xiàng)、錯(cuò)位將直線I的方程y = k

23、xm弋入橢圓C的方程3x24y12中，得2 2 2(4k3)x 8kmx 4m -12=0.由直線I與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，& =64k2m2m2= 4k23,-當(dāng)k= 0時(shí)，m、3, 當(dāng)k=0時(shí)，四邊形F1MNF2是矩形，S =23所以四邊形FiMNF?面積S的最大值為2. 3.22-4(4k3)(4m -12)=0,化簡(jiǎn)得：m2=4k23.設(shè)di二FiM =|k +mk2 /刖，（法一）當(dāng)k = 0時(shí)，設(shè)直線I的傾斜角為-,則di d2= MN x tan日，d- d2(did2)二a2-d222k2|m|_k212|m8+分分MxF1O11 分F2（法二）；d1d2k +2Ik

24、 + m|2= (.k21)(k21)2(m2k2)k212(5k23)_2，k mm2k2，”.k2123k 3門(mén)223-汗也2-a赳）24匚2d2-2d1d2)，k2四邊形F,MNF2的面積S = *|MN +d2) =d2),11 分=16 4( J 2)212k2+1當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，S2=12,S=：2、,3，故Smax=2-、3.所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2、3. 1分【說(shuō)明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.21.(本小題滿(mǎn)分 14

25、分)a已知f (x) = x (a 0),g (x) = 21 n x bx,且直線y = 2x - 2與曲線y = g(x)相x切.(1) 若對(duì)1,=)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，不等式f(x)_g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 當(dāng)a=1時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對(duì)e,3(e = 2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)X1,X2，Xk都有f (xj f(X2) f(Xk_J6g(Xk)成立;解：(1 )設(shè)點(diǎn)(x, y)為直線y =2x - 2與曲線y = g(x)的切點(diǎn)，則有21n x0bx0二2x0- 2.(*)22g (x) b,b=2.(*)xx由(* )、(* )兩式，解得b

26、= 0,g(x) = 21 n x.2 分由f (x)一g(x)整理，得 _x - 21 n x,x；x_1, 要使不等式f(x)_g(x)恒成立，必須a二X2-2x1 nx恒成立.2 *1設(shè)h(x)=x -2x1 nx,h(x)=2x-2(1 nx x )=2x-21 nx-2,x2h (x2，當(dāng)x一1時(shí)，h (x)一0,貝U h (x)是增函數(shù)，x-h (x)h(1)=0,h(x)是增函數(shù)，h(x) h(1)=1,a1. .5分因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0：a乞1.S21k21(dd22d!d2)16k212(k21)213 分(3)求證:4i4i2-1.In (2n 1) (n N1(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x) =x-一,x1f (x) 0,f (x)在e,3上是增函數(shù)，f(x)在e,3