高中數(shù)學必修一知識點總結(jié)

1、高一數(shù)學知識總結(jié)必修一一、集合一、集合有關(guān)概念1。集合的含義2。集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性如：世界上最高的山（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H，A,P,Y（3）元素的無序性: 如：a,b，c和a,c，b是表示同一個集合3。集合的表示： 如：我校的籃球隊員，太平洋，大西洋，印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1，2，3，4，5(2）集合的表示方法：列舉法與描述法。u 注意:常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集(即自然數(shù)集） 記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R(1）列舉法:把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示

2、集合的方法。例如:a,b，c (2）描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。xR| x-32 ，x x32（3）語言描述法：例：不是直角三角形的三角形(4）Venn圖: 韋恩圖（文氏圖）是用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法。 4、集合的分類：（1）有限集 含有有限個元素的集合(2)無限集 含有無限個元素的集合(3）空集 不含任何元素的集合例：xx2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關(guān)系：A

3、=B （55,且55,則5=5）實例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等即： 任何一個集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果 AB, BC ，那么 AC 如果AB 同時 BA 那么A=B3。 不含任何元素的集合叫做空集,記為規(guī)定： 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。含有n個元素的集合的子集的共有個;真子集共有個:非空真子集共有.集合的基本運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A，B的交集記作AB（讀作A交B）,即AB=xxA,且xB由所有屬于集

4、合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A，B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB）設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集）SA記作,即CSA=韋恩圖示SA性 質(zhì)AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)（CuA） (CuB)= Cu（AB）A （CuA)=UA （CuA)= 容斥原理有限集A的元素個數(shù)記作card（A).對于兩個有限集A，B，有card（AB)= card（A）+card（B)- card（AB)重點習題：注意：求兩個集合的交

5、集、并集時，往往先將集合化簡,兩個數(shù)集的交集、并集,可通過數(shù)軸直觀顯示；利用韋恩圖表示兩個或多個集合的交集，有助于解題1. 求方程的解集;2。設(shè)，,已知,則實數(shù) 。3.設(shè)關(guān)于的方程，的解集分別為A，B，若，求的值。4.設(shè)A=xx2+ax+b=0，B=x|x2+cx+15=0，又AB=3，5,AB=3，求實數(shù)a，b，c的值。5.設(shè)。若,求p,q的值。6。設(shè)，B（）若,求的值；()若，求的值7.某地對農(nóng)戶抽樣調(diào)查,結(jié)果如下:電冰箱擁有率為49，電視機擁有率為85,洗衣機擁有率為44，至少擁有上述三種電器中兩種以上的占63，三種電器齊全的為25，那么一種電器也沒有的相對貧困戶所占比例為多少？二、函數(shù)

6、（一）函數(shù)定義域、值域求法綜合設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function),記作，其中x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain)，與x的值相隊對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).定義域、值域、對應法則，稱為函數(shù)的三個要素,缺一不可；(1）對應法則f(x)是一個函數(shù)符號，表示為“y是x的函數(shù)”，絕對不能理解為“y等于f與x的乘積”，在不同的函數(shù)中,f的具體含義不一樣; y=f(x)不一定是解析式，在不少問題中,對

7、應法則f可能不便使用或不能使用解析式,這時就必須采用其它方式，如數(shù)表和圖象,在研究函數(shù)時，除用符號f（x)表示外，還常用g(x)、F(x）、G（x）等符號來表示；自變量x在其定義域內(nèi)任取一個確定的值a時，對應的函數(shù)值用符號f（a）來表示.如函數(shù)f（x）=x2+3x+1，當x=2時的函數(shù)值是：f（2）=22+32+1=11。注意：f（a）是常量，f(x)是變量，f(a)是函數(shù)f（x)中當自變量x=a時的函數(shù)值.(2）定義域是自變量x的取值范圍； 注意:定義域不同，而對應法則相同的函數(shù)，應看作兩個不同函數(shù);如：y=x2(xy=x2(x0）； y=1與y=x0 若未加以特別說明，函數(shù)的定義域就是指使

8、這個式子有意義的所有實數(shù)x的集合；在實際中,還必須考慮x所代表的具體量的允許值范圍；如：一個矩形的寬為xm，長是寬的2倍,其面積為y=2x2，此函數(shù)的定義域為x0,而不是.（3）值域是全體函數(shù)值所組成的集合,在大多數(shù)情況下，一旦定義域和對應法則確定，函數(shù)的值域也隨之確定。（求值域通常用觀察法、配方法、代換法）定義域的求法:當確定用解析式y(tǒng)=f（x）表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況：（1）如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;（2）如果f(x）是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合;（3）如果f(x）是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子不小于零的實數(shù)的集合；

9、（4)如果f（x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合（即使每個部分有意義的實數(shù)的集合的交集)；(5）如果f（x）是由實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集合。函數(shù)的三種表示方法（1）解析法（將兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用一個等式表示）：如等。（2）列表法（列出表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系）： 如：平方表，三角函數(shù)表，利息表，列車時刻表，國民生產(chǎn)總值表等。優(yōu)點：不需要計算，就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值。（3)圖象法（用圖象來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系)。(二）函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略一般地，設(shè)函數(shù)f（x)

10、的定義域為I：如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1x2時都有f（x1) f（x2）。那么就說f（x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)(increasing function）.如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1x2時都有f(x1）f(x2）。那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)(decreasing function)。如果函數(shù)y=f(x）在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函說y=f（x）在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)的圖象是下降的。1函數(shù)最大值與最小值的含義一般地，設(shè)

11、函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在,使得.那么，我們稱是函數(shù)的最大值(maximum value）.2二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值對二次函數(shù)來說，若給定區(qū)間是，則當時，函數(shù)有最小值是，當時,函數(shù)有最大值是;若給定區(qū)間是，則必須先判斷函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)性，然后再求最值。利用圖像求函數(shù)的最值利用函數(shù)的單調(diào)性求最值3.一般地，（板書）如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x）= f（x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)（even function)。（圖像關(guān)于y軸對稱)4。一般地,（板書）如果對于函數(shù)f(x）的定義域內(nèi)任意一個x

12、，都有 ，那么函數(shù)f（x)就叫做奇函數(shù)(odd function）。(圖像關(guān)于原點對稱）注意：奇函數(shù)在兩個對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相同的；偶函數(shù)在兩個對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相反的；（三）函數(shù)解析式的表達求函數(shù)解析式的常用方法有：1、待定系數(shù)法例1、（1)已知二次函數(shù)滿足，圖象過原點，求； （2）已知二次函數(shù),其圖象的頂點是，且經(jīng)過原點,解：(1)由題意設(shè) ， ，,且圖象過原點, （2）由題意設(shè) ， 又圖象經(jīng)過原點,， 得，說明：（1）已知函數(shù)類型,求函數(shù)解析式,常用“待定系數(shù)法”； （2）基本步驟：設(shè)出函數(shù)的一般式（或頂點式或兩根式等）,代入已知條件,通過解方程（組)確定未知系數(shù)。2、代入法例2、根

13、據(jù)已知條件，求函數(shù)表達式(1）已知,求（2）已知，求和。解：（1）（2），說明：已知求，常用“代入法”.基本方法：將函數(shù)f(x）中的x用g(x）來代替，化簡得函數(shù)表達式3、配湊法與換元法：例3、（1）已知,求。（2)已知，求解：(1）法一配湊法: 法二換元法：令,則， （2）設(shè)，則=,于是即。說明：已知求的解析式,常用配湊法、換元法；換元時，如果中間量涉及到定義域的問題，必須要確定中間量的取值范圍4、構(gòu)造方程法例3、已知f（x)滿足，求.解： -將中換成得 -2-得說明:已知與，或與之間的關(guān)系式,求的解析式，可通過“互換”關(guān)系構(gòu)造方程的方法,消去或，解出.（三）恒成立問題的求解策略 主要討論二

14、次函數(shù)問題（四)反函數(shù)的幾種題型及方法反函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系,用y把x表示出,得到x=(y）. 若對于y在C中的任何一個值，通過x=（y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么,x=（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=（y） (yC)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成1。求反函數(shù)的基本步驟：一求值域：求原函數(shù)的值域二反解：視y為常量，從中解出唯一表達式，三對換:將與互換，得,并注明定義域.2。反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系:性質(zhì)1、的定義域、值域分別為的值域、定義域。性質(zhì)2、若存在反函數(shù)，且為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)。性質(zhì)3、若為單調(diào)函數(shù),則

15、同有相同的單調(diào)性。性質(zhì)4、和在同一直角坐標系中，圖像關(guān)于對稱.探討1：所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？為什么？反函數(shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義,從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)來說，不一定有反函數(shù)，如，只有“一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)，有反函數(shù)是探討2：互為反函數(shù)定義域、值域的關(guān)系從映射的定義可知，函數(shù)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)的定義域正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域正好是它的反函數(shù)的定義域(如下表)：函數(shù)反函數(shù)定義域AC值 域CA探討3：的反函數(shù)是？若函數(shù)有反函數(shù)，那么函數(shù)的反函數(shù)就是，這就是說，函數(shù)與互為反函數(shù)例1：已知，求 (對數(shù)函數(shù)形式）

16、解：的值域為R, 令，則 例2:已知求 (指數(shù)函數(shù)形式）解：令，的值域為，例3：已知，求 (根式形式）解:令 例4：求的反函數(shù) （分式形式）解:由題意知，反解為原函數(shù)的反函數(shù)為例5、已知，求的反函數(shù) （二次函數(shù)形式）解： 所以原函數(shù)可化為 即 (）（)所以的反函數(shù)例6、求的反函數(shù) (分段函數(shù)形式）解：時, 則 （） 則y的反函數(shù)為時, 則（）則y的反函數(shù)為所以原函數(shù)的泛函數(shù)注：求分段函數(shù)的反函數(shù)要分段求,最后要用分段函數(shù)的形式表示出來利用反函數(shù)求值 （性質(zhì)一的應用）例7、已知的值解一：先求反函數(shù)解：令，得 且故的反函數(shù)為 解二：根據(jù)性質(zhì)一解： 即例8、已知的圖像過點，其反函數(shù)的圖像過點，求的表

17、達式.解:的圖像過點，的圖像過點， 又的圖像過點，利用圖像 （性質(zhì)四的應用）例9：已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，求a 的值解:由題意的圖像關(guān)于直線對稱，則 令 所以 由 得= 解得（五）二次函數(shù)根的問題一題多解指數(shù)函數(shù)y=ax運算規(guī)律：aa*ab=aa+b（a0,a、b屬于Q）（aa）b=aab（a0,a、b屬于Q)(ab）a=aa*ba（a0,a、b屬于Q)指數(shù)函數(shù)圖像對稱規(guī)律:1、函數(shù)y=ax與y=ax關(guān)于y軸對稱2、函數(shù)y=ax與y=-ax關(guān)于x軸對稱3、函數(shù)y=ax與y=a-x關(guān)于坐標原點對稱指數(shù)函數(shù)問題解決方法:1比較大小例1已知函數(shù)滿足，且，則與的大小關(guān)系是_分析：先求的值再比較大小

18、,要注意的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)解：，函數(shù)的對稱軸是故，又，函數(shù)在上遞減，在上遞增若，則，；若，則，綜上可得，即評注:比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等對于含有參數(shù)的大小比較問題，有時需要對參數(shù)進行討論2求解有關(guān)指數(shù)不等式例2已知,則x的取值范圍是_分析:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，注意底數(shù)的取值范圍解:，函數(shù)在上是增函數(shù)，,解得x的取值范圍是評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式,并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論3求定義域及值域問題例3求函數(shù)的定義域和值域解：由題意可得，即，,故 函數(shù)的定義域是令,則，又

19、, ，即，即函數(shù)的值域是評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域時，要注意定義域?qū)λ挠绊?最值問題例4函數(shù)在區(qū)間上有最大值14，則a的值是_分析：令可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題,需注意換元后的取值范圍解：令，則，函數(shù)可化為,其對稱軸為當時,，即當時,解得或（舍去）;當時,，即， 時，,解得或(舍去），a的值是3或評注:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值時注意一些方法的運用，比如：換元法，整體代入等5解指數(shù)方程例5解方程解：原方程可化為，令，上述方程可化為,解得或（舍去），經(jīng)檢驗原方程的解是評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗根6圖象變換及應用問題例6為了得到函數(shù)的圖象,可以把函數(shù)的

20、圖象(）A向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度分析:注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷解：，把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度,可得到函數(shù)的圖象，故選（C）評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學數(shù)學的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象,并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等&對數(shù)函數(shù)y=logax如果，且，,那么： ; ； u 注意:換底公式(，且;，且；）冪函數(shù)y=xa(a屬于R）1

21、、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點(1，1)；（2）時,冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地,當時,冪函數(shù)的圖象下凸;當時，冪函數(shù)的圖象上凸;（3）時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸三、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點3、

22、函數(shù)零點的求法： （代數(shù)法）求方程的實數(shù)根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點4、二次函數(shù)的零點:二次函數(shù)（1)，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點(2)，方程有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點（3）,方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點重點習題：1。下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象的是 （ ） y （A） （B） (C) （D）2.函數(shù)y=（0.2)-x+1的反函數(shù)是( )A。y=log5x+1B。y=klogx5+1C.y=log5(x-1)D.y=log5x13。曲線 分別是指數(shù)函數(shù) ， 和 的圖象,則 與1的大小關(guān)系是 ( )。 （ 4.當a1時，函數(shù)y=logax和y=（1-a）x的圖像只可能是（ B ）5.若函數(shù)y=f（x）的定義域是2，4，則y=f