第4章-根軌跡

1、14.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念4.1.1 根軌跡根軌跡4.1.2 根軌跡方程根軌跡方程2前已述及，前已述及，閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與閉環(huán)極點(diǎn)在閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與閉環(huán)極點(diǎn)在 s 平面上的位置密切相關(guān)。平面上的位置密切相關(guān)。所以在分析系統(tǒng)的性能所以在分析系統(tǒng)的性能時(shí)，往往要求確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的位置。另外，時(shí)，往往要求確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的位置。另外，在分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常要研究一個(gè)或幾個(gè)參在分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常要研究一個(gè)或幾個(gè)參量在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的位置以及量在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的位置以及系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)極點(diǎn)就是特征根，為了求系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)極點(diǎn)就是特征

2、根，為了求解特征根，需將特征多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。解特征根，需將特征多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。3但對(duì)于高階系統(tǒng)不太容易，特別當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)但對(duì)于高階系統(tǒng)不太容易，特別當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)變化時(shí)，需要反復(fù)地進(jìn)行計(jì)算，更是不現(xiàn)實(shí)。所變化時(shí)，需要反復(fù)地進(jìn)行計(jì)算，更是不現(xiàn)實(shí)。所以伊萬斯首先提出了求解特征根的圖解方法以伊萬斯首先提出了求解特征根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法。所謂根軌跡就是指當(dāng)系統(tǒng)中某個(gè)參量由零到無窮所謂根軌跡就是指當(dāng)系統(tǒng)中某個(gè)參量由零到無窮大變化時(shí)，其閉環(huán)特征根（極點(diǎn)）在大變化時(shí)，其閉環(huán)特征根（極點(diǎn)）在s平面上移平面上移動(dòng)的軌跡。動(dòng)的軌跡。 根軌跡法是在已知系統(tǒng)的根軌跡法是在已知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)條件

3、開環(huán)零、極點(diǎn)條件下，下，繪制出系統(tǒng)繪制出系統(tǒng)閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根在在 s 平面上隨參數(shù)變化平面上隨參數(shù)變化時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡。時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 本章序言(續(xù))4 設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。其中，設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。其中，為零、極點(diǎn)形式下為零、極點(diǎn)形式下開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)，也稱為根軌跡增益開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)，也稱為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程式為閉環(huán)特征方程式為特征根為特征根為rrKssKsRsC2)()(2220rssKrKs112 . 14.1.1根軌跡根軌跡5 1 1）時(shí)，系統(tǒng)）時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，呈過有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，呈過阻尼狀態(tài)。阻尼狀態(tài)

4、?？傻贸鲆韵聨c(diǎn)：可得出以下幾點(diǎn)： 2 2）當(dāng)時(shí)，特征根）當(dāng)時(shí)，特征根為兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，系統(tǒng)呈為兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀態(tài)。臨界阻尼狀態(tài)。 3 3）值）值時(shí)，特時(shí)，特征根為兩個(gè)復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠征根為兩個(gè)復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，即輸出呈衰減振蕩阻尼狀態(tài)，即輸出呈衰減振蕩形式。特征根的實(shí)部形式。特征根的實(shí)部為衰減為衰減系數(shù)，虛部系數(shù)，虛部為振蕩頻率。為振蕩頻率?？梢姡焊壽E圖全面的描可見：根軌跡圖全面的描述了述了Kr對(duì)對(duì)S1,2分布的影響。分布的影響。64.1.2 根軌跡方程根軌跡方程設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。系統(tǒng)的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)為為開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)

5、傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式為的零、極點(diǎn)表達(dá)式為 式中，式中，為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，為開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，為根軌跡增益。為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為)()(1)()()(sHsGsGsRsCnjjmiirpszsKsHsG11)()()()(0)()(1sHsG1)()(sHsG即即 7定義根軌跡方程為定義根軌跡方程為 因?yàn)閺?fù)變量，根軌跡方程又可分解為幅值方程和相因?yàn)閺?fù)變量，根軌跡方程又可分解為幅值方程和相角方程。角方程。相角方程為相角方程為1)()(11njjmiirpszsK幅值方程為幅值方程為 1)()(11njjmi

6、irpszsK或或 rnjjmiiKpszs1)()(1111()()(21)(0,1,2)mnijijszspkk 8若若s平面上的點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)，則它與平面上的點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)，則它與zi、pj所組成所組成的相量必定滿足上述兩方程，而且的相量必定滿足上述兩方程，而且幅值方程與幅值方程與Kr有有關(guān)，而相角方程與關(guān)，而相角方程與Kr無關(guān)。無關(guān)。所以滿足相角方程的所以滿足相角方程的s值值代入幅值方程中，總能求得一個(gè)對(duì)應(yīng)的代入幅值方程中，總能求得一個(gè)對(duì)應(yīng)的Kr，即即s若滿若滿足相角方程，必定就滿足幅值方程。足相角方程，必定就滿足幅值方程。 繪制根軌跡只要依據(jù)相角方程足以，而幅值方程繪制根軌跡只要依據(jù)相角

7、方程足以，而幅值方程 用來確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的用來確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kr值。值。相角方程是決定閉環(huán)根軌跡的充要條件。相角方程是決定閉環(huán)根軌跡的充要條件。94.2 繪制根軌跡的方法繪制根軌跡的方法l4.2.1 繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則l4.2.2 根軌跡繪制舉例根軌跡繪制舉例101. 根軌跡的對(duì)稱性和分支數(shù)根軌跡的對(duì)稱性和分支數(shù)4.2.1 繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則 閉環(huán)特征根如果是實(shí)數(shù)根，閉環(huán)特征根如果是實(shí)數(shù)根，則分布在平面的實(shí)軸上；如果則分布在平面的實(shí)軸上；如果是復(fù)數(shù)根，則成對(duì)出現(xiàn)，實(shí)部相是復(fù)數(shù)根，則成對(duì)出現(xiàn)，實(shí)部相等，虛部大小相等符號(hào)相反，如等，虛部大小

8、相等符號(hào)相反，如圖所示。因此，圖所示。因此，形成的根軌跡必形成的根軌跡必定對(duì)稱于實(shí)軸。定對(duì)稱于實(shí)軸。 當(dāng)取某一數(shù)值時(shí)，階特征方程式有個(gè)確定的根。當(dāng)取某一數(shù)值時(shí)，階特征方程式有個(gè)確定的根。當(dāng)當(dāng)變化時(shí)，每一個(gè)根由始點(diǎn)連續(xù)地向其終點(diǎn)移變化時(shí)，每一個(gè)根由始點(diǎn)連續(xù)地向其終點(diǎn)移動(dòng)，形成一條根軌跡，個(gè)根也就形成條根軌跡。動(dòng)，形成一條根軌跡，個(gè)根也就形成條根軌跡。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，其分支數(shù)等于開環(huán)根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，其分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)極點(diǎn)數(shù)n n和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m m中的最大數(shù)。中的最大數(shù)。 112. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)考慮到根軌跡起始處考慮到根軌跡起始處Kr，故根軌跡幅值方程為，

9、故根軌跡幅值方程為 而根軌跡終點(diǎn)處而根軌跡終點(diǎn)處Kr r,有有m條根軌跡終條根軌跡終止于開環(huán)傳遞止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，n-m條終止于條終止于無窮遠(yuǎn)。無窮遠(yuǎn)。 根軌跡起始于根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)。終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)。 11()1()miinrjjszKsp 使等式成立的條件是使等式成立的條件是 jps 12例例- - 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定系統(tǒng)的根軌跡圖。試確定系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 : : 系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為 p1=0, p2=-1, p3=-2，z

10、1= -1+ j, z2= -1- j，根軌跡如圖根軌跡如圖- -所示。所示。 圖中，圖中，“”表示開環(huán)傳遞表示開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，函數(shù)的極點(diǎn)，“”表示開環(huán)傳表示開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。系統(tǒng)的三條根軌遞函數(shù)的零點(diǎn)。系統(tǒng)的三條根軌跡起始于三個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)的極跡起始于三個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，其中兩條根軌跡終止于開環(huán)點(diǎn)，其中兩條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，另一條趨傳遞函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，另一條趨于無窮遠(yuǎn)。于無窮遠(yuǎn)。)2)(1()22()()(2sssssKsHsGr133. 實(shí)軸上的根軌跡段實(shí)軸上的根軌跡段實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，實(shí)軸上的開實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)

11、。環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。 在實(shí)軸上在實(shí)軸上p1p1與與p2p2之間任取一之間任取一點(diǎn)點(diǎn)s1s1，s1s1與開環(huán)零、極點(diǎn)的矢量如與開環(huán)零、極點(diǎn)的矢量如圖圖- -中的箭頭線所示。中的箭頭線所示。s1s1對(duì)應(yīng)的相角為對(duì)應(yīng)的相角為 4121)()(jjiipszs12123412180 滿足相角滿足相角相角方程，即該區(qū)段是根軌跡段。相角方程，即該區(qū)段是根軌跡段。14例例4-2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖。試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖。)1()1()()(TsssKsHsGr圖圖4-7 T4-

12、7 T時(shí)的根軌跡時(shí)的根軌跡 圖圖4-8 T4-8 T時(shí)的根軌跡時(shí)的根軌跡15漸近線包括兩個(gè)內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。q 傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn) ，則s平面上所有得開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到 的相角都相等，即為漸近線的傾角 。代入根軌跡的相角條件得：ksks11()()(21)mnijijszspmnk (21),(0,1,1)kknmnm 約定：相角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。ks1p2p3p若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg時(shí)趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。1618001mn909002mn454518004m

13、n606018003mn) 1, 1 , 0( ,) 12(mnkmnk17q 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)假設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn) ，則s平面上所有開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到 的矢量長(zhǎng)度都相等。可以認(rèn)為：對(duì)無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn) 而言，所有的開環(huán)有限零點(diǎn) 、極點(diǎn) 都匯集在一起，其位置為 ，這就是漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。ksksksizip）（：，零極點(diǎn)的重心認(rèn)為時(shí)當(dāng)jikpzss11111111()()()1()()()mmmmmiiiiiinnnnnrjjjjjjszszszKspspsp幅值條件：18,)(11miinjjzpmn：比較系數(shù)得11nmjijipznm1n-m11111()()().s()().n

14、mn mn mnmn mjijissnmspzs ：等式左為1等式右為11111111()()()1()()()mmmmmiiiiiinnnnnrjjjjjjszszszKspspsp19結(jié)論結(jié)論趨于無窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線由下式確定：趨于無窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線由下式確定：漸近線與實(shí)軸的夾角漸近線與實(shí)軸的夾角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)例例4-3 4-3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖(21)0,1,2,3.kknmmnzpmiinjj11)2)(1()()(sssKsHsGr205 5、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和

15、分離點(diǎn)： 若干支根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。有開環(huán)極點(diǎn) ，零點(diǎn) 從 即 處出發(fā)在A點(diǎn)相遇分離，到B點(diǎn)相遇會(huì)合。當(dāng) 時(shí)根軌跡一支走向 另一支走向 ，A、B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。12,p p, z0,rk 12,p prk , z 一般，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)是可能是無限大零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。例：AB1p2pz0rk 0rk rk rk 21設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為根據(jù)重根的條件，必須同時(shí)滿足以下兩式

16、根據(jù)重根的條件，必須同時(shí)滿足以下兩式則則整理后，得分離會(huì)合點(diǎn)的必要條件式為整理后，得分離會(huì)合點(diǎn)的必要條件式為)()()()(sAsBKsHsGr0)()(sAsBKr0)()(sAsBKr( )( )0rK B sA s)()(sBsAKr)()()()(sBsAsBsA只有位于根軌跡上的重根只有位于根軌跡上的重根才是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)才是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)22例例4-4 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解解 (1) (1) 開環(huán)零、極點(diǎn)為開環(huán)零、極點(diǎn)為p1=-1p1=-1，p2=-2p2=-2，z1=-3z1=-3。(2) (2) 實(shí)軸上的根軌

17、跡段為實(shí)軸上的根軌跡段為p1p1p2p2段和段和z1z1-段。段。(3) (3) n-m=1，故有一條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)。，故有一條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸的夾角為漸近線與實(shí)軸的夾角為(4) (4) 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)為分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)為s1s1為根軌跡的分離點(diǎn)，為根軌跡的分離點(diǎn)，s2s2為根軌跡的會(huì)合點(diǎn)。為根軌跡的會(huì)合點(diǎn)。) 2)(1() 3()()(sssKsHsGr(21)1801k )()()()(sBsAsBsA) 3)(32()23(2ssss解方程得解方程得 121.6,4.4ss 236. 根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角出射角出射角: :為根軌跡在為根軌跡在復(fù)數(shù)起點(diǎn)

18、復(fù)數(shù)起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。處的切線與正實(shí)軸的夾角。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，有零、極點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，有零、極點(diǎn)z1,p1z1,p1，p2p2，p3p3，p4p4。411111) 12()()(jjiikpszs 設(shè)設(shè)p3p3的出射角為的出射角為33，如圖所示。，如圖所示。假設(shè)假設(shè)s1s1為根軌跡上的一點(diǎn)，則為根軌跡上的一點(diǎn)，則s1s1應(yīng)應(yīng)滿足相角方程滿足相角方程由此可推得出射角的一般表達(dá)式由此可推得出射角的一般表達(dá)式1111()()mnmnlliljijijijj lj lpzpp 24入射角的一般表達(dá)式為入射角的一般表達(dá)式為例例4-64-6 已知系統(tǒng)的開環(huán)

19、傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為入射角入射角: :為根軌跡在為根軌跡在復(fù)數(shù)終點(diǎn)復(fù)數(shù)終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。處的切線與正實(shí)軸的夾角。1111()()mnmnlliljijijiji li lzzzp 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。)5 . 1)(5 . 2()54)(5 . 1()()(22sssssssKsHsGr共軛復(fù)數(shù)的開環(huán)零極點(diǎn)才需計(jì)算出射共軛復(fù)數(shù)的開環(huán)零極點(diǎn)才需計(jì)算出射角和入射角，實(shí)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)不用計(jì)角和入射角，實(shí)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)不用計(jì)算，一般為：算，一般為：0, 180, 90, 60與與120, 45與與135等等. 257. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

20、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)，常根軌跡與虛軸的交點(diǎn)是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)，常常需要求得這一交點(diǎn)和相應(yīng)的常需要求得這一交點(diǎn)和相應(yīng)的Kr值。值。例例4-74-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點(diǎn)為設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點(diǎn)為=j=j，代入閉環(huán)特征方程得：，代入閉環(huán)特征方程得：解方程即可求得解方程即可求得，0)()(1jHjG)22)(3()2()()(2sssssKsHsGr268. 開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系 在一定條件下，開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間有著固定的關(guān)系，在一定條件下，開環(huán)極點(diǎn)

21、與閉環(huán)極點(diǎn)間有著固定的關(guān)系，可利用這種關(guān)系來判別閉環(huán)特征根在平面上的走向，并為可利用這種關(guān)系來判別閉環(huán)特征根在平面上的走向，并為確定閉環(huán)極點(diǎn)帶來方便。確定閉環(huán)極點(diǎn)帶來方便。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，次高項(xiàng)系數(shù)根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，次高項(xiàng)系數(shù) 設(shè)階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為設(shè)階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為miirnjjzsKps11)()(nnnnnasasasas12211)()(121nnssssssssnjjsa11如果滿足條件如果滿足條件n-mn-m2 2 ，則，則 njnjjjps1127因此，因此，Kr時(shí)（或時(shí)（或Kr時(shí)），若一部分閉環(huán)極時(shí)），若一部分閉環(huán)極點(diǎn)在點(diǎn)在s平面上

22、向右平面上向右 移，則另一部分閉環(huán)極點(diǎn)必移，則另一部分閉環(huán)極點(diǎn)必向左移；對(duì)于任一向左移；對(duì)于任一Kr，閉環(huán)極點(diǎn)之和保持不變。，閉環(huán)極點(diǎn)之和保持不變。（用以判斷根軌跡在（用以判斷根軌跡在s平面上的走向）。平面上的走向）。284.2.2 根軌跡繪制舉例根軌跡繪制舉例例例4-84-8 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 )208()()(2sssKsHsGr解解 （1 1）開環(huán)極點(diǎn)為）開環(huán)極點(diǎn)為p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 （2 2）實(shí)軸上的根

23、軌跡段）實(shí)軸上的根軌跡段 p1 - （3 3）根軌跡的漸近線）根軌跡的漸近線 (21)60 ,1803k 67. 2344（4 4）根軌跡的出射角）根軌跡的出射角 2112mnijijj 153.49063.4 4 .63329（5 5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)）根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 020823rKsss將將js 帶入上式得帶入上式得 328200rjjK160rK47. 43 . 2 （6 6）根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)）根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) )()()()(sBsAsBsA解得解得 由由 得得 12,s 33. 32s 系統(tǒng)的根軌跡圖如圖系統(tǒng)的根軌跡圖如圖.

24、. j3p1p2pj2-j4-2-4-j20201632ss解得解得 3031 前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 為可變參數(shù)的，為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個(gè)系統(tǒng)了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個(gè)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)( (如時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等如時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等) )對(duì)系統(tǒng)性能對(duì)系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益以非開環(huán)根

25、軌增益 作為作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡( (或廣或廣義根軌跡義根軌跡) )。rKrK4.3 參量根軌跡參量根軌跡32設(shè)系統(tǒng)根軌跡方程為設(shè)系統(tǒng)根軌跡方程為1)()(sHsG( )10( )K P sQ s1)()(sQsPK( )( )( )( )K P sG s H sQ s 或或 為為等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)。經(jīng)整理可變換為經(jīng)整理可變換為稱稱 根據(jù)前述繪制根軌跡的規(guī)則，由等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)根據(jù)前述繪制根軌跡的規(guī)則，由等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布情況就可繪制和零點(diǎn)的分布情況就可繪制參量參量K=0K=0的參量根軌跡圖。的參量根軌跡圖

26、。 33注意：注意：經(jīng)整理后，當(dāng)系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的經(jīng)整理后，當(dāng)系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)小于零點(diǎn)數(shù)時(shí)，即極點(diǎn)數(shù)小于零點(diǎn)數(shù)時(shí)，即nm。與。與nm情況類情況類似，這時(shí)可認(rèn)為有似，這時(shí)可認(rèn)為有m-n條根軌跡起始于條根軌跡起始于S平面的無平面的無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。34例例4-104-10 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)試?yán)L制系統(tǒng)變化時(shí)的根軌跡圖。變化時(shí)的根軌跡圖。整理得：整理得：) 14)(1(1)()(ssKssHsG解解 系統(tǒng)的特征方程式為系統(tǒng)的特征方程式為 01) 14)(1(ssKs22(41)1041K ssss 等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開

27、環(huán)傳遞函數(shù)為2222(41)(0.25)( )( )410.250.25K ssK ssG s H sssss 35（）開環(huán)零、極點(diǎn)為（）開環(huán)零、極點(diǎn)為（）實(shí)軸上的根軌跡段為（）實(shí)軸上的根軌跡段為z3z3-段。段。（）根軌跡的出射角和入射角（）根軌跡的出射角和入射角（）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)（）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為由根軌跡繪制規(guī)則作該系統(tǒng)的根軌跡圖：由根軌跡繪制規(guī)則作該系統(tǒng)的根軌跡圖： 48.142114.484,3K 433. 03,.2 364.4 零度根軌跡零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 1- G(s) H(s) = 0 根軌

28、跡方程為根軌跡方程為 G(s) H(s) = 1 其幅值方程與負(fù)反饋系統(tǒng)相同，而相角方程則為其幅值方程與負(fù)反饋系統(tǒng)相同，而相角方程則為11()()2(0,1,2.)mnijijszspkk 因?yàn)橄嘟菞l件常規(guī)根軌跡的不同為因?yàn)橄嘟菞l件常規(guī)根軌跡的不同為 ，故稱之，故稱之為零度根軌跡。為零度根軌跡。k20雖然控制系統(tǒng)均采用負(fù)反饋以使系統(tǒng)正常工作，但雖然控制系統(tǒng)均采用負(fù)反饋以使系統(tǒng)正常工作，但對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)局部正反饋，有時(shí)是控制對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)局部正反饋，有時(shí)是控制對(duì)象本身的特性，有時(shí)是為滿足某種性能而附加的。對(duì)象本身的特性，有時(shí)是為滿足某種性能而附加的。37）實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開

29、環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。）實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的夾角為）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的夾角為）根軌跡的出射角和入射角的計(jì)算公式為）根軌跡的出射角和入射角的計(jì)算公式為 在繪制根零度根軌跡的規(guī)則中，不同于負(fù)反饋系統(tǒng)的在繪制根零度根軌跡的規(guī)則中，不同于負(fù)反饋系統(tǒng)的有以下幾點(diǎn)：有以下幾點(diǎn)：2(0,1,2,.)kknm)()(11nljjjlmiillppzp)()(11njjlmliiillpzzz38例例4-114-11 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解解 將開環(huán)傳遞函數(shù)改

30、寫成零、極點(diǎn)形式將開環(huán)傳遞函數(shù)改寫成零、極點(diǎn)形式，式中，式中 除具有正反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)之外，有些非最小相位系統(tǒng)除具有正反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)之外，有些非最小相位系統(tǒng)雖是負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，但其開環(huán)傳遞函數(shù)的分子或分母多項(xiàng)式雖是負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，但其開環(huán)傳遞函數(shù)的分子或分母多項(xiàng)式中，中， 的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，因而系統(tǒng)具有正反饋性質(zhì)。的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，因而系統(tǒng)具有正反饋性質(zhì)。因而要用繪制零度根軌跡的規(guī)則來作根軌跡圖。因而要用繪制零度根軌跡的規(guī)則來作根軌跡圖。) 1()5 . 01 ()()(1sssKsHsG10.5(2)(2)( )( )(1)(1)rK sKsG s H ss ss s15 . 0 KKr 滿足

31、零度根軌跡繪制條件。滿足零度根軌跡繪制條件。 39圖4-19 例4-11根軌跡 404.5 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能用根軌跡法分析系統(tǒng)性能l4.5.1 已知根軌跡增益確定閉環(huán)極點(diǎn)已知根軌跡增益確定閉環(huán)極點(diǎn)l4.5.2 已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極 點(diǎn)和點(diǎn)和l4.5.3 增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響414.5.1 已知根軌跡增益已知根軌跡增益Kr確定閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn) 閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)來決定，系閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)來決定，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)可通過根軌跡圖來確定，而閉環(huán)零點(diǎn)為前向通統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)可

32、通過根軌跡圖來確定，而閉環(huán)零點(diǎn)為前向通道傳遞函數(shù)道傳遞函數(shù)G(S)的零點(diǎn)和反饋通道傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的極點(diǎn)組成。的極點(diǎn)組成。 由控制系統(tǒng)的根軌跡圖可以確定根軌跡增益與控制系統(tǒng)由控制系統(tǒng)的根軌跡圖可以確定根軌跡增益與控制系統(tǒng)的性能的關(guān)系。的性能的關(guān)系。（1 1） 穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件 由根軌跡圖可以確定根軌跡都由根軌跡圖可以確定根軌跡都位于位于s s左平面時(shí)增益左平面時(shí)增益Kr的取值范圍。的取值范圍。（2 2）運(yùn)動(dòng)形式運(yùn)動(dòng)形式 由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)變由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)變化或衰減振蕩形式時(shí)的化或衰減振蕩形式時(shí)的Kr數(shù)值范圍。數(shù)值范圍。（3

33、 3）暫態(tài)性能指標(biāo)暫態(tài)性能指標(biāo) 可由根軌跡確定的主導(dǎo)極點(diǎn)來估算?？捎筛壽E確定的主導(dǎo)極點(diǎn)來估算。 42例例-12 -12 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )( )(1)(2)rKG s H ss ss試采用根軌跡法分析：試采用根軌跡法分析： （1 1）系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)）系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)KrKr的取值范圍。的取值范圍。（2 2）系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩形式時(shí)）系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩形式時(shí)KrKr的取值范圍。的取值范圍。（3 3）試估算）試估算Kr =1時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。 解解 繪制系統(tǒng)根軌跡如圖，由圖知：繪制系統(tǒng)根軌跡如圖，由圖知： （1 1）系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)：）

34、系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)：0 Kr 6（2 2）系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩形式時(shí)）系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩形式時(shí): : （3 3）試估算時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)）試估算時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。間。 0.3586rK43 （3）因因Kr=1處于處于0.358Kr6范圍，所以系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)范圍，所以系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)。根據(jù)幅值方程求出負(fù)實(shí)軸為一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)。根據(jù)幅值方程求出負(fù)實(shí)軸試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)Kr的值，最終可找到的值，最終可找到Kr=1=1時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn): : 然后，根據(jù)閉環(huán)特征方程和長(zhǎng)除法，可求得另兩個(gè)極點(diǎn)然后，根據(jù)閉環(huán)特征方程和長(zhǎng)除法，可求得另兩個(gè)極點(diǎn)是一對(duì)主

35、導(dǎo)極點(diǎn)。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為是一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2210.43( )(2.325)(0.6750.43)0.6750.43ssssss則則 0.656,n0.514 所以系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間為所以系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間為 15.2%,8.911.9psts325. 23s1,20.3380.56sj 444.5.2 已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極點(diǎn)和已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極點(diǎn)和 采用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能，有時(shí)也需要根據(jù)對(duì)系統(tǒng)采用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能，有時(shí)也需要根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置和對(duì)應(yīng)的的性能指標(biāo)要求，確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置和對(duì)應(yīng)的Kr

36、值，使得值，使得系統(tǒng)的性能滿足要求。系統(tǒng)的性能滿足要求。例例4-134-13 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)性能指標(biāo)要求，根據(jù)性能指標(biāo)要求，=0.5=0.5，試確定滿足條件的閉環(huán)極，試確定滿足條件的閉環(huán)極點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的Kr。( )( )(1)(2)rKG s H ss ss解解 系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。 1cos60 在根軌跡圖上作在根軌跡圖上作60600 0的射線。從圖的射線。從圖上可確定該線和根軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)：上可確定該線和根軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)：58. 033. 02.,1js453312130.33 22.34jjspss 333122.34 1.34 0.341.066rKsss2258. 0)33. 0()34. 2(066. 1)(sss則有則有 故系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為故系統(tǒng)的閉環(huán)傳