高一數(shù)學必修一知識點與習題講解

1、必修1第一章集合與函數(shù)基礎(chǔ)知識點整理第1講 §1.1.1 集合的含義與表示¤學習目標：通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個特征.¤知識要點：1. 把一些元素組成的總體叫作集合（set），其元素具有三個特征，即確定性、互異性、無序性.2. 集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來，基本形式為，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集. 描述法，即用集合所含元素的共

2、同特征來表示，基本形式為，既要關(guān)注代表元素x，也要把握其屬性，適用于無限集.3. 通常用大寫拉丁字母表示集合. 要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集N，正整數(shù)集或，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R.4. 元素與集合之間的關(guān)系是屬于（belong to）與不屬于（not belong to），分別用符號、表示，例如，.¤例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有實數(shù)根組成的集合；（2）大于2且小于7的整數(shù).解：（1）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.（2）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.【例2】用適當?shù)姆柼羁眨阂阎?，則有： 17 A； 5 A； 17

3、 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海ń滩腜6 練習題2， P13 A組題4）（1）一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合； （2）二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合；（3）反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合.解：（1）.（2）.（3）.點評：以上代表元素，分別是點、函數(shù)值、自變量. 在解題中不能把點的坐標混淆為，也注意對比（2）與（3）中的兩個集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質(zhì)上不同，分析時一定要細心.*【例4】已知集合，試用列舉法表示集合A解：化方程為：應(yīng)分以下三種情況：方程有等根且不是：由 =0，得，此時的解為，合方程有一解為，而另一解

4、不是：將代入得，此時另一解，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解為，合綜上可知，點評：運用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示. 注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.第2講 §1.1.2 集合間的基本關(guān)系¤學習目標：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義；能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系.¤知識要點：1. 一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，則說兩個集合有包含關(guān)系，其中集合A是集合B的子集（subset），記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）.2.

5、如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A與集合B的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，記作. 3. 如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset），記作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.5. 性質(zhì)：；若，則； 若，則；若，則.¤例題精講：【例1】用適當?shù)姆柼羁眨海?）菱形 平行四邊形； 等腰三角形 等邊三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】設(shè)集合，則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是（

6、）.解：簡單列舉兩個集合的一些元素，易知BA，故答案選A另解：由，易知BA，故答案選A【例3】若集合，且，求實數(shù)的值.解：由，因此，.（i）若時，得，此時，；（ii）若時，得. 若,滿足，解得.故所求實數(shù)的值為或或.點評：在考察“”這一關(guān)系時，不要忘記“” ，因為時存在. 從而需要分情況討論. 題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若A=B，求實數(shù)x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.當a=0時，集合B中的元素均為0，故舍去；當x=1時，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a

7、=0.因為a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.經(jīng)檢驗，此時A=B成立. 綜上所述.點評：抓住集合相等的定義，分情況進行討論. 融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合.第3講 §1.1.3 集合的基本運算（一）¤學習目標：理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.¤知識要點：集合的基本運算有三種，即交、并、補，學習時先理解概念，并掌握符號等，再結(jié)合解題的訓練，而達到掌握的

8、層次. 下面以表格的形式歸納三種基本運算如下.并集交集補集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（union set）由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集（intersection set）對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集（complementary set）記號（讀作“A并B”）（讀作“A交B”）（讀作“A的補集”）符號圖形表示UA¤例題精講：【例1】設(shè)集合.AB-1359x解：在數(shù)軸上表示出集合A、B，如右圖所示：，【例2】設(shè)，求：（1）； （2）.解：.（1）又，；

9、（2）又，得. .【例3】已知集合，且，求實數(shù)m的取值范圍.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在數(shù)軸上表示集合A與集合B，如右圖所示：由圖形可知，.點評：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關(guān)系，得到各端點之間的關(guān)系，特別要注意是否含端點的問題.【例4】已知全集，求， ，并比較它們的關(guān)系. 解：由，則. 由，則 由，則，.由計算結(jié)果可以知道，.另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.點評：可用Venn圖研究與 ，在理解的基礎(chǔ)記住此結(jié)論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第4講 §1.1.3 集合的基本運算（二）¤學習目標：掌握集合、

10、交集、并集、補集的有關(guān)性質(zhì)，運行性質(zhì)解決一些簡單的問題；掌握集合運算中的一些數(shù)學思想方法.¤知識要點：1. 含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域，分別對應(yīng)著這兩個集合運算的結(jié)果. 我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運算. 通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：,.2. 集合元素個數(shù)公式：.3. 在研究集合問題時，常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等. 也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.¤例題精講：【例1】設(shè)集合，若，求實數(shù)的值.解：由于，且，則有：當解得，此時，不合題意，故舍去；當時，解得.不合題意，故舍去；，合題意.所以，.【例2】設(shè)集

11、合，求, .（教材P14 B組題2）解：.當時，則，；當時，則，；當時，則，；當且且時，則，.點評：集合A含有參數(shù)a，需要對參數(shù)a進行分情況討論. 羅列參數(shù)a的各種情況時，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運算結(jié)果的可能而進行分析，不多不少是分類的原則.【例3】設(shè)集合A =|， B =|，若AB=B，求實數(shù)的值解：先化簡集合A=. 由AB=B，則BA，可知集合B可為，或為0，或4，或.(i)若B=，則，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，當=1時，B=A，符合題意；當=時，B=0A，也符合題意(iii)若4B，代入得=7或=1，當=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當=7時，B=12，4，不符合題意綜上可得，

12、=1或點評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用. 通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系，可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學中的化歸思想，是重要數(shù)學思想方法解該題時，特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了A=B和B=的情形，從而造成錯誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題. 【例4】對集合A與B，若定義，當集合，集合時，有= . （由教材P12 補集定義“集合A相對于全集U的補集為”而拓展）解：根據(jù)題意可知，由定義，則.點評：運用新定義解題是學習能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓練，關(guān)鍵是理解定義的實質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含義是從A中排除B的元素. 如果再給定全集U，則也相

13、當于.第5講 §1.2.1 函數(shù)的概念¤學習目標：通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型，在此基礎(chǔ)上學習用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.¤知識要點：1. 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作=，其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域（range

14、）.2. 設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b，則：x|axba,b 叫閉區(qū)間； x|a<x<b(a,b) 叫開區(qū)間；x|ax<b， x|a<xb，都叫半開半閉區(qū)間.符號：“”讀“無窮大”；“”讀“負無窮大”；“+”讀“正無窮大”. 則，.3. 決定函數(shù)的三個要素是定義域、值域和對應(yīng)法則. 當且僅當函數(shù)定義域、對應(yīng)法則分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù). ¤例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域： （1）；（2）.解：（1）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.（2）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.【例2】求下列函數(shù)的定義域與值域：（1）； （2）.解：（1）要使函數(shù)有意義，

15、則，解得. 所以原函數(shù)的定義域是.，所以值域為.（2）. 所以原函數(shù)的定義域是R，值域是.【例3】已知函數(shù). 求：（1）的值； （2）的表達式 解：（1）由，解得，所以.（2）設(shè)，解得，所以，即.點評：此題解法中突出了換元法的思想. 這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結(jié)合換元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函數(shù).（1）求的值；（2）計算：.解：（1）由.（2）原式點評：對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實施巧算. 正確探索出前一問的結(jié)論，是解答后一問的關(guān)鍵.第6講 §1.2.2 函數(shù)的表示法¤學習目標：在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎ▓D象法、

16、列表法、解析法）表示函數(shù)；通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；了解映射的概念.¤知識要點：1. 函數(shù)有三種表示方法：解析法（用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：簡明，給自變量可求函數(shù)值）；圖象法（用圖象表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢）；列表法（列出表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值）.2. 分段函數(shù)的表示法與意義（一個函數(shù)，不同范圍的x，對應(yīng)法則不同）.3. 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)為從集合A

17、到集合B的一個映射（mapping）記作“”. 判別一個對應(yīng)是否映射的關(guān)鍵：A中任意，B中唯一；對應(yīng)法則f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_，這個函數(shù)的定義域為_ 解：盒子的高為x，長、寬為，所以體積為V. 又由，解得. 所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是，定義域為.【例2】已知f(x)= ，求ff(0)的值.解： ， f(0)=. 又 >1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】畫出下列函數(shù)的圖象：（1）； （教材P26 練習題3）（2

18、）. 解：（1）由絕對值的概念，有.所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.（2），所以，函數(shù)的圖象如右圖所示. 點評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，當時，寫出的解析式，并作出函數(shù)的圖象. 解：. 函數(shù)圖象如右：點評：解題關(guān)鍵是理解符號的概念，抓住分段函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)式.第7講 §1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性¤學習目標：通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解增區(qū)間、減區(qū)間等概

19、念，掌握增（減）函數(shù)的證明和判別.¤知識要點：1. 增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）. 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數(shù)的圖象從左向右是下降的（如右圖2）. 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變

20、化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x、x給定區(qū)間，且x<x；計算f(x)f(x) 判斷符號下結(jié)論.¤例題精講：【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解：任取(0,1)，且. 則. 由于，故，即. 所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù). 【例2】求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.解：設(shè)任意，且. 則 .若，當時，有，即，從而，即，所以在上單調(diào)遞增. 同理可得在上單調(diào)遞減.【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右. 由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在

21、、上是減函數(shù).點評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù). 第2小題也可以由偶函數(shù)的對稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè)，得到的圖象. 由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.【例4】已知，指出的單調(diào)區(qū)間.解： ， 把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.點評：變形后結(jié)合平移知識，由平移變換得到一類分式函數(shù)的圖象. 需知平移變換規(guī)律. 第8講 §1.3.1 函數(shù)最大（小）值¤學習目標：通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的最大（?。?/p>

22、值及其幾何意義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲?¤知識要點：1. 定義最大值：設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，稱M是函數(shù)的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定義，可以給出最小值（Minimum Value）的定義.2. 配方法：研究二次函數(shù)的最大（小）值，先配方成后，當時，函數(shù)取最小值為；當時，函數(shù)取最大值.3. 單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4. 圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，

23、然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.¤例題精講：【例1】求函數(shù)的最大值.解：配方為，由，得.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可售出100件. 現(xiàn)在他采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤. 解：設(shè)他將售出價定為x元，則提高了元，減少了件，所賺得的利潤為.即. 當時，.所以，他將售出價定為14元時，才能使每天所賺得的利潤最大, 最大利潤為360元.【例3】求函數(shù)的最小值. 解：此函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在定義域上

24、是增函數(shù)， 所以當時，函數(shù)的最小值為2.點評：形如的函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，則，所以，在時是增函數(shù)，當時，故函數(shù)的最小值為2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函數(shù)的對稱軸為，即.畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當時，； 當時，. 所以函數(shù)的最大值為4,最小值為.（2）.作出函數(shù)的圖象，由圖可知，. 所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為-3.點評：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖象進行分析. 含絕對值的函數(shù)，常分零點討論去絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進行研究. 分段函數(shù)的圖象注意分段作出.第

25、9講 §1.3.2 函數(shù)的奇偶性¤學習目標：結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性.¤知識要點：1. 定義：一般地，對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有，那么函數(shù)叫偶函數(shù)（even function）. 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有），那么函數(shù)叫奇函數(shù)（odd function）.2. 具有奇偶性的函數(shù)其定義域關(guān)于原點對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對稱.3. 判別方法：先考察定義域是否關(guān)于原點對稱，再用比較法、計算和差、比商法等判別與的關(guān)系.&#

26、164;例題精講：【例1】判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）； （2）；（3）.解：（1）原函數(shù)定義域為，對于定義域的每一個x，都有 ， 所以為奇函數(shù).（2）原函數(shù)定義域為R，對于定義域的每一個x，都有 ，所以為偶函數(shù).（3）由于，所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【例2】已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.解： 是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， ，. 則，即.兩式相減，解得；兩式相加，解得.【例3】已知是偶函數(shù)，時，求時的解析式.解：作出函數(shù)的圖象，其頂點為. 是偶函數(shù)， 其圖象關(guān)于y軸對稱. 作出時的圖象，其頂點為，且與右側(cè)形狀一致， 時，.點評：此題中的函數(shù)實質(zhì)就是. 注意兩拋物線形狀一致，則二次項系數(shù)a的絕對值相

27、同. 此類問題，我們也可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來求，過程如下.【另解】當時，又由于是偶函數(shù)，則，所以，當時，.【例4】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，實數(shù)a滿足不等式，求實數(shù)a的取值范圍.解： 在區(qū)間上是減函數(shù)， 的圖象在y軸左側(cè)遞減.又 是奇函數(shù)， 的圖象關(guān)于原點中心對稱，則在y軸右側(cè)同樣遞減.又 ，解得， 所以的圖象在R上遞減. ， ，解得.點評：定義在R上的奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點. 由圖象對稱性可以得到，奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.集合與函數(shù)基礎(chǔ)測試一、選擇題(共12小題，每題5分，四個選項中只有一個符合要求)1函數(shù)yx26x10在區(qū)間（2，4）上是（）A遞減函數(shù)B遞增函數(shù)C先遞減再遞增D選遞增再遞減2方程組的解構(gòu)成的集合是 （ ）A B C（1，1） D3已知集合A=a，b，c,下列可以作為集合A的子集的是 （ ）A. a B. a，c C. a，e D.a，b，c，d4下列圖形中，表示的是 （ ）MNDNMCMNBMNA5下列表述正確的是 （ ）A. B. C. D. 6、設(shè)集合Ax|x參加自由泳的運動員，Bx|x參加蛙泳的運動員，對于“既參 加自由泳又參加蛙泳的運動員”用集合運算表示為 ( )A.AB B.AB C.AB D.AB7.集合A=x ,B=