(完整版)高中數(shù)學(xué)必修一三角函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)(精華版)

1、.正弦、余弦、正切函數(shù)圖象和性質(zhì)函 數(shù)正弦函數(shù)y sinx,x R余弦函數(shù)y cos x, x R正切函數(shù) y tan x, x k 一 2有 界 性有界有界無界定 義 域(,)(,)x | x k , k Z2值 域1,1當(dāng) X 2k (k Z)時，ymax 1 2當(dāng) x 2k (k Z)時， 2ymin11,1當(dāng) x 2k (k Z)時，ymax 1當(dāng) x2k (k Z)時,ymin1(,)周 期 性是周期函數(shù)，最小正周期 T 2是周期函數(shù)，最小正周期 T 2T奇 偶 性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y軸對稱奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱單 調(diào) 性在2k，- 2k ,(k Z) 22

2、上是單調(diào)增函數(shù)在- 2k ,3 2k , (k Z) 22上是單調(diào)減函數(shù)在 2k ,2 2k , (k Z)上 是單調(diào)增函數(shù)在2k , 2k , (k Z)上是單 調(diào)減函數(shù)在(-k ,- k ),(k Z)22上是單調(diào)增函數(shù)對 稱 軸x k 一，(k Z) 2x k ,(k Z)對 稱 中 心(k ,0) (k Z)(k ,0) (k Z) 2k(y,0) (k Z)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖既yy=sinx:/c、-5-2-1$37-4 -7 -3-2-3 .TT-1o_J 2 53、/ 叫2T三角函數(shù)的性質(zhì)1、定義域與值域2、奇偶性(1)基本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：y = sinx ,

3、y=tanx；偶函數(shù)：y=cosx.(2) /(航+如型三角函數(shù)的奇偶性(i ) g (x) = /沏(顏+如(x R)(X)為偶函數(shù)的U 力(而+ 出=j4sin(-<at + 爐)(x W 氏)0 sin 曲匚*0=。(工 W R)7Tcos 卯=。=上7T+一1左 e Z)由此得2,同理，式夫4皿皈+雙相的 為奇函數(shù) =順=0/3=上網(wǎng)海2)(五) 飆方=從£心式的+ 冰式e R)妖N = .Aa式題+鈉為偶函數(shù)見雙t")；就=式以+如為奇函數(shù)7T=中=無產(chǎn)+ (k e Z)3、周期性(1)基本公式(i )基本三角函數(shù)的周期 的周期為；丁.y=sinx , y=

4、cosx 的周期為 之并 ；y = tanx , y = cotx(ii) 皈+氏型三角函數(shù)的周期的周期為y =工加(s+夜)+乜/=本0式困 + 何 +£“如血的+朗+9=心服如+溝+用的周期為何.（2）認知創(chuàng)型函數(shù)的周期y = |月劭（枷+或）| j = A匚。5（西+勵|的周期為7T0y = （助+切1_r= |達匚祖（姍+闔|的周期為7T0（五） =|八耽+如+同3"）的周期1y二|金£血（為工卜8妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上 J = |總二加儂大+的+.的周期為祠；,7T的周期為:.均同它們不加絕對值時的周期相同，即對 數(shù)的周期不變.

5、注意這一點與（i ）的區(qū)別.y=八加+上的解析式施加絕對值后，該函（ii）若函數(shù)為收斗劭 型兩位函數(shù)之和，則探求周期適于“最小公倍數(shù)法”.（iii）探求其它“雜”三角函數(shù)的周期，基本策略是試驗一一猜想一一證明.（3）特殊情形研究(i ) y = tanx cotx的最小正周期為2/ .、 V = SUI 2l + COS X(11) J 1 1的最小正周期為2 ；（iii） y = sin 4x + cos4x的最小正周期為 , ._由此領(lǐng)悟“最小公倍數(shù)法”的適用類型，以防施錯對象 .4、單調(diào)性（1）基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（族）依從三角函數(shù)圖象識證“三部曲”：選周期：在原點附近選取那個包含全部

6、銳角，單調(diào)區(qū)間完整，并且最好關(guān)于原點對稱的 一個周期；寫特解：在所選周期內(nèi)寫出函數(shù)的增區(qū)問（或減區(qū)問）；獲通解：在中所得特解區(qū)間兩端加上有關(guān)函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù) 的增區(qū)間族（或減區(qū)間族）循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)范的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域（2） y=/（而+初 型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)問此類三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的尋求“三部曲”為 換元、分解：令u=如 +砂，將所給函數(shù)分解為內(nèi)、外兩層：y = f (u) , u=®x+卯;套用公式：根據(jù)對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的認知，確定出 f (u)的單調(diào)性，而后利用(

7、1)中公 式寫出關(guān)于u的不等式；還原、結(jié)論：將u=+W代入中u的不等式，解出x的取值范圍，并用集合或區(qū)間形成結(jié)論.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):/y sinxy cosxy tanxy cotxy Asin x(A、>0)定義域RRx | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R且x k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)單調(diào)性2 2k ,2k 2上為增函數(shù)；2 2k , 32k 2上為減函數(shù)(k Z )2k 1 ,. 2k 上為增函 數(shù)2k , 2k 1 上為減函 數(shù)(k Z )一k ,一 k 2

8、2上為增函數(shù)(k Z )k , k 1上為減函數(shù)(k Z )2k2(A),2k -2( A)上為增函數(shù)；2k 一2 (A),2k2(A)上為減函數(shù)(k Z )注意：y sinx與y sinx的單調(diào)性正好相反；y cosx與y cosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若y f(x)在a,b上遞增(減),則y f (x)在a,b上遞減(增).y忖n x與y cosx的周期是. y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2,xtan 一2的周期為2(T _ T如圖，翻折無效).y sin( x )的對稱軸方程是x k - ( k Z ),對稱中心(k ,0) ; y cos( x)的對稱

9、軸方程是x k (k z),對稱中心(k 1 0); y tan( x )的對稱中心(工,0).k 2 ,02y cos 2 x原點對稱cos( 2x)cos 2x 當(dāng) tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z). y cosx 與 y sin x 2k 是同一函數(shù)，而y ( x )是偶函數(shù)，則 21 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2函數(shù)y tanx在R上為增函數(shù).(耳只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域, y tanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的.定義域關(guān)于原點對稱是f (x)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個條

10、件：一是定義域關(guān)于原點對稱(奇偶都要)，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f( x) f(x),奇函數(shù)：f( x) f(x)奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y tanx是奇函數(shù)，y tan(x 1 )是非奇非偶.(定義域不 3關(guān)于原點對稱)奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0 x的定義域，則f(x)一定有f(0) 0. (0 x的定義域，則無此性質(zhì))y sinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)(Tcosx是周期函數(shù)(如圖)；ycos x為周期函數(shù)(Ty= cos|x| 圖象cos2x1的周期為 (如圖)，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,例如:f(x) 5f (x k),k R.二,1/2y a cos22bsin

11、 . a b sin()cos b 有 da2 b2y .ay=| cos2x+1/2|圖象、形如y Asin( x)的函數(shù):11、幾個物理量：A一振幅；f 1頻率(周期的倒數(shù))；x 一相包；一初相；2、函數(shù)y Asin( x )表達式的確定：A由最值確定； 由周期確定； 由圖象上的特殊點確| "0的圖象如圖所小，則f (x)(答：f(x)152sin(-2x );定，如 f (x) Asin( x )(A 0,0, |3.函數(shù) y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T ,最小正周期T 六頻率是f 一，相位是x ,初相是 ；其圖象的對稱

12、軸是直線x k (k Z),凡22是該圖象與直線y B的交點都是該圖象的對稱中心4、研究函數(shù)y Asin( x )性質(zhì)的方法：類比于研究y sin x的性質(zhì)，只需將y Asin( x ) 中的x 看成y sinx中的x,但在求y Asin( x )的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意 A和 的 符號，通過誘導(dǎo)公式先將 化正。如(1)函數(shù)y sin( 2x )的遞減區(qū)間是(答：k ,k一(k Z);31212_x33(2) y log i cos(一 一)的遞減區(qū)間是(答：6k- ，6k( k Z);234445、函數(shù)y Asin( x )圖象的畫法：(1)利用“五點法”作函數(shù) y Asin( x ),x

13、R (其中A 0,0)的簡圖，是將x看著一個整體，先令 x 0,-, ,2列表求出對應(yīng)的x的值22與y的值，用平滑曲線連結(jié)各點，即可得到其在一個周期內(nèi)的圖象。圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法=由ysinx圖象推y Asin( x ) k的圖象6,函數(shù) y Asin( x)k的圖象與y sinx圖象間的關(guān)系：圖象變換振幅變換(2)周期變換(3)相位變換ysin x,xRysin x,xRysin x,xR所有點的縱坐標(biāo)伸長(A 1)或縮短(0 A 1)到原來的A倍y A sin x, x R1 .所有點的橫坐標(biāo)縮短(1)或伸長(01)到原來的一倍y sin x, x R所有點向左(0)或向右(

14、0)平移| |個單位長度y sin(x ),x R(4) 上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的.k>0,上移；k<0,下移具體變換方法：三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)y Asin( x ) k的圖象與函數(shù)y sinx的圖象之間可以通過變化A , , k來相互轉(zhuǎn)化.A影響圖象的形狀，k影響圖象與x軸交點的位置.由A引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由 引起的變換稱相位變換，由k引起的變換稱上下平移變換, 移后伸縮也可以將其先伸縮后平移.(一)先平移后伸縮它們都是平移變換.既可以將三角函數(shù)的圖象先平y(tǒng) sinx的圖象y sin(x )的圖象y sin

15、( x )的圖象y Asin( x )的圖象得 y sin( x )得 y Asin( x )得y Asin(x ) k圖象向左(>0)或向右(0)平移| |個單位長度 得y sin(x )橫坐標(biāo)伸長(0< <1)或縮短(>1)一，一，一 1 到原來的一(縱坐標(biāo)不變)縱坐標(biāo)伸長(A 1)或縮短(0<A<1)為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)向上(k 0)或向下(k 0)平移k個單位長度(二)先伸縮后平移縱坐標(biāo)伸長（A 1）或縮短（0 A 1）y sin x的圖象 為原來的a倍（橫坐標(biāo)不變） 得y Asin x橫坐標(biāo)伸長（01）或縮短（1）八,/y Asinx的圖象到

16、原來的1（縱坐標(biāo)不變） 得y Asin（ x）y Asin( x)的圖象向左（0）或向右（o）平移一個單位得 y Asin x( x向上（k 0）或向下（k 0）.y Asin x（ x ）的圖象平移啊個單位長度得y Asin（ x ） k圖象無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 特別注意，若由y sin x得到y(tǒng) sin x的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移| |個單位，例如:函數(shù)y 2sin（2x -） 1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng) sinx 的圖象？（答：y 2sin（2 x-）1向上平移1個單位得y 2sin（2 x-

17、）的圖象，再向 4左平移一個單位得y 2sin2x的圖象,8橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍得y 2sin x的圖象，最后將縱1 一一入坐標(biāo)縮小到原來的-即得y sin x的圖象）；2（1）定義域：x|x三、正切函數(shù)y tanx的圖象和性質(zhì)：2 k ,k Z。值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小化（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線y a的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期 絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其 周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。如y sin2 x, ysinx的周期都是，但ysin xcosx的周期為一，而21y |2sin(3x -) -|,y |2sin(3x -) 2|, y |tanx|的周期不變; . k .（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是k2-,0 k Z對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線與,特別提醒：正（余）切型函數(shù)的x軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的