在估算的過程中培養(yǎng)和提高估算能力

1、在估算的過程中培養(yǎng)和提高估算能力【摘要】數(shù)學能力是數(shù)學素養(yǎng)的核心構成要素，加強數(shù)學能力的培養(yǎng)至關重要.估算能力是數(shù)學能力不可或缺的重要組成成分.數(shù)學估算能力是在數(shù)學知識的學習和應用知識解決問題的過程中形成、開展和提高的，離開“過程無法培養(yǎng)學生的估算能力，這些過程主要指掌握知識的過程、形成能力的過程和問題解決的過程.【關鍵詞】估算能力;數(shù)學概念;方程解法;問題解決?義務教育數(shù)學課程標準2021年版?以下簡稱?課標2021年版?指出“數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的根本素養(yǎng)【1】.數(shù)學教學必須立足和落腳于培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力是提高數(shù)學素養(yǎng)的重要舉措.估算的意思是大致推算，近

2、義詞是預算、估計等，估算是一種能力，是計算能力的重要組成局部.?課標2021年版?非常重視對學生“估算能力的培養(yǎng)，共提及“估算13次，“估計61次.估算意識的形成、估算能力的培養(yǎng)和開展都離不開“過程，這里的過程可概括為下面三個.1掌握數(shù)學知識的過程?課標2021年版?界定的“課程內容，主要包括數(shù)學概念、數(shù)學命題和數(shù)學論證，我們不妨把這些內容統(tǒng)稱為“數(shù)學知識，教材對這些知識的設計展現(xiàn)了“知識背景知識形成揭示聯(lián)系【1】的過程，教學中也要努力表達這個過程，這樣有助于學生理解知識的產生和開展過程，揭示出知識之間的相互聯(lián)系，從而把握數(shù)學的本質【2】.數(shù)學概念是揭示現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關系本質屬性的思維

3、形式【3】.數(shù)學概念是重要的根底知識，是學生學習數(shù)學的重要內容，學生對概念的掌握情況直接影響著學習的效果.初中數(shù)學教材中的很多概念都有其產生的過程，教學中，教師可創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，以此引導學生在探索活動的過程中學習概念，學生在經(jīng)歷這些過程當中，有時需要進行適當?shù)摹肮浪?，從這個意義上講，“估算有助于數(shù)學概念的建立.案例1無理數(shù)概念的建立過程.無理數(shù)的引進是學習實數(shù)的關鍵，學生往往有這樣的疑問：既然“無理，為什么還叫“數(shù)呢？為了讓學生接受這個數(shù)，首先應設法讓學生感到這個數(shù)是客觀存在的，同時意識到它是無限的.根據(jù)?課標2021年版?提出的數(shù)學教學應“激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考

4、【1】的理念，筆者設計了下面的這個“故事情節(jié).巴霍姆想到大草原上買一塊地，他問賣地人價錢如何，聰明的賣地人說：每天1000盧比，就是你給我1000盧比，太陽初升時你可以出發(fā)，到日落時走過的路所圍成的土地就歸你.賣地人還提醒說，如果在日落之前返回不到原來的出發(fā)點，你就一點地也買不了，這1000盧比就算白花了.巴霍姆認為這樣很合算，就付給了賣地人1000盧比.第二天早早地來到了草原，等太陽一出來，他就瘋狂的奔跑.他先向正南筆直跑了10千米，然后拐彎向東又跑了13千米，再拐彎向正北跑了2千米.突然，他發(fā)現(xiàn)時間不早了，戀戀不舍的直奔早上的出發(fā)點跑去，用盡力氣拼命的跑，總算在太陽完全落山之前趕到了出發(fā)點

5、，只見他向前一撲，口吐鮮血.堅守信譽的賣地人把地留給了巴霍姆的后人.【數(shù)學思考】根據(jù)故事提供的信息，思考并解答下面兩個問題：1畫出巴霍姆跑過的路線圖，你認為這是一個什么圖形？2求出巴霍姆所跑的路程保存根號，相互交流自己的思考方法.設計意圖學生對課堂是否有“興趣直接影響著課堂教學的效果，教師在備課中一定要認真研讀課程內容，精心設計能使學生感興趣的問題系列.讓學生感興趣的方法很多，如“講故事“做游戲就是常用的方法之一，目的是讓學生在聽故事、做游戲的同時，產生自覺探究數(shù)學知識的“欲望.為激發(fā)學生投入到積極學習無理數(shù)的過程中，我們設計了這個令人惋惜的故事.在學生聽完故事后，設計了兩個問題，幾乎所有學生

6、通過分析、思考都能給出問題1的解答，畫出圖1所示巴霍姆跑過的路線圖，也知道這是個梯形.對于第2個問題，大局部學生也能給出下面的解答：如圖2，在RtACB中，AB=BC2+AC2=132+10-22=233，從而求出這一天巴霍姆所跑的路程為25+AB=25+233千米.【探究發(fā)現(xiàn)】233是個特殊的數(shù)，為了“搞清楚這個數(shù)，請同學們探究下面問題：1233可能是整數(shù)嗎？如果不是整數(shù)，你能估計233在哪兩個連續(xù)自然數(shù)之間嗎？2233可能是整數(shù)15，16之間的某一個分數(shù)嗎？相互討論.3233可能是有限小數(shù)嗎？可能是循環(huán)小數(shù)嗎？4由此你判斷233是一個怎樣的數(shù)呢？設計意圖本案例起始于一個故事，在學生聽完故事

7、后，給出了“數(shù)學思考與“探究發(fā)現(xiàn)兩個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)的目的是讓學生通過計算巴霍姆所跑的路程得到一個新數(shù)直角三角形的斜邊長233表達出擴充數(shù)系的合理性，這是學生探究第二個環(huán)節(jié)中問題的根底.對問題1大局部學生都能根據(jù)225學生通過對問題3的探究，發(fā)現(xiàn)233是一個無限不循環(huán)小數(shù).給出問題4的答案：這是一個與有理數(shù)不同的新數(shù)表達出建立無理數(shù)概念的必要性.教學時，教師及時指出：為了數(shù)學自身的開展，必須引進一個新的概念.按照這樣的設計，引進無理數(shù)概念，學生經(jīng)歷了“聽故事思考問題感受新數(shù)反映了擴充數(shù)系的必要性探究新數(shù)特點表達出擴充數(shù)系的合理性給出定義的過程.這種把知識學習寓于故事之中的教學，能激發(fā)學生積極的

8、進行觀察、猜測、計算、推理、驗證等活動，在這些活動的過程中學習了無理數(shù)概念，培養(yǎng)和提高了學生的估算能力，落實了?課標2021年版?提出的“能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)大致范圍的目標，同時培養(yǎng)和開展了學生的數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力等數(shù)學素養(yǎng).這種設計能表達出?課標2021年版?倡導的“面向全體學生的理念，尊重了學生的個體差異，對于第一個環(huán)節(jié)的問題，學生都能解答.第二個環(huán)節(jié)的問題是為“學有余力的學生設計的.這種設計表達了?課標2021年版?提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的開展的課程根本理念.教師應當精心設計問題情境，引導學生圍繞“問題積極開展實驗、計算、探究、交

9、流、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學活動，在活動的過程中，學生不僅能掌握知識，形成能力，還能體驗到數(shù)學活動中充滿著探索性與創(chuàng)造性，以“喚醒學生的求知欲和好奇心，不斷提高學生的思維品質和思維水平.2數(shù)學能力的形成過程?課標2021年版?在“課程總目標中提出的第二條要求是：學生能“體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力【1】.這實際上是?課標2021年版?對學生數(shù)學能力目標提出的宏觀要求.認真研讀和分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學能力至少包含如下10種能力【4】：1運算能力;2幾何直觀能力;3數(shù)據(jù)分析能力;4感受隨機現(xiàn)象的能力;5合情推理

10、能力;6演繹推理能力;7觀察能力;8數(shù)學建模能力;9合作交流能力;10數(shù)學思考能力與表達能力等.具體到每一種能力又可以包括假設干種“子能力，例如數(shù)學運算能力就包含估算能力，教學中培養(yǎng)估算能力的“載體太多了，如實數(shù)的運算，角度的測量、含有的計算、估算一個無理數(shù)如233的值，估計方根的范圍等等.這些知識都可以有效的培養(yǎng)學生的估算能力，借助于解方程也可以培養(yǎng)估算能力.方程是?課標2021年版?界定的重要課程內容，在初中階段學生將先后學習一元一次方程、一次方程組、分式方程和一元二次方程.其根本流程分為“方程概念方程解法方程應用三局部【5】圖3：理解方程概念是關鍵，靈活解方程是根底，解決實際問題是“落腳

11、點對于解方程，?課標2021年版?在第三學段的“課程內容中提出了四條具體要求【1】：1經(jīng)歷估計方程解的過程;2能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程;3掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組;4能解簡單的三元一次方程組.大多數(shù)老師在教學中非常重視后三條，而對于第1條那么重視不夠.這樣就失去了一個培養(yǎng)學生估算能力的好時機.為了全面培養(yǎng)學生的數(shù)感、符號意識、運算能力等素養(yǎng)，建議教師在教學中，利用好“解方程載體，強化對學生“估算能力的培養(yǎng).案例2用估算的方法解方程3x+1=64.3x+1=64是一個簡單的一元一次方程，常規(guī)解法非常簡單，對于學生而言，用估算法解方程是一種新的“方法，教

12、學時引導學生這樣估算：1首先估計一個數(shù)，例如驗證x=15是不是方程的解，把x=15代入方程，左邊=46，右邊是64，顯然估計值x=15偏小了，所示x=15不是方程的解;2然后換一個比15大的數(shù)重新估計，例如x=25，把x=25代入方程，左邊=76，右邊是64，估計值x=25偏大了，所示x=25不是方程的解;3由12可知，方程3x+1=64的解應該在15到25之間，可以在這個范圍內再取一個整數(shù)進行嘗試，你準備取怎樣的一個數(shù)進行嘗試？你能得到怎樣的結論？4請根據(jù)下面表格中的步驟，估算方程3x+1=64的解，并進行檢驗：你得到這個方程的解了嗎？是多少？5你對這種“估算檢驗的方法有什么體會？請相互交流

13、.設計意圖對于一個方程，如果把一個數(shù)a1代入它的左邊，左邊小于右邊，同時把另外一個數(shù)a2代入它的左邊，左邊大于右邊，那么方程的解一定會在a1與a2這兩個數(shù)之間.只要逐漸增大a1的值，同時縮小a2的值，即逐漸縮小a1與a2這兩個數(shù)的差，就會越來越接近或者求出方程的解.經(jīng)歷這樣的估算過程，學生不僅能找出方程的解，而且還能感悟到逐漸逼近的數(shù)學思想.基于這樣的想法，我們在給出一元一次方程的有關定義后，設計了這個案例.為引導學生體驗并掌握估算方程解的一般方法，我們以方程3x+1=64為例，設計了5個具有“遞進層次的小問題，目的是讓學生經(jīng)歷估算方程解的一般過程，學會通過嘗試、逐步調整和填表等數(shù)學活動，直至

14、估算出方程3x+1=64的解.問題12給出了判斷一個數(shù)是否為方程解的“全過程，這是用估算法解方程的根底，學生有了解答問題12的經(jīng)驗，不難給出問題34的解答，并且給出對問題5的體會.估算方程的解不是一次、兩次就能估算出來的，往往需要經(jīng)歷屢次估算才能“找出方程的解，因此，估算方程的解是一個過程.在這個過程中，學生的知識、能力和方法都能“伴隨著估算的進行得到培養(yǎng)和提高，并且還能不斷積累估算的經(jīng)驗，這些都是學生數(shù)學素養(yǎng)中不可或缺的因素.3解決問題的過程學習數(shù)學的任務之一是利用數(shù)學知識解決實際問題，在這個過程中，既要用到具體的根底知識，又能反映出學生的數(shù)學能力.所以?課標2021年版?指出，數(shù)學教學應根

15、據(jù)課程內容，設計運用數(shù)學知識解決問題的活動.這樣的活動應表達“問題情境建立模型求解驗證【1】的過程.在解決有些實際問題時，估算比精確計算更有意義.案例3你能估計折紙的高度嗎？為了引出“估算的概念，從而使學生感受到學習估算的必要性，逐步培養(yǎng)他們的估算意識，教學中可以借助實驗操作，引導學生進行折紙活動：取一張報紙，將它對折，再對折，你估計最多能將它折幾次？并提出兩個問題讓學生思考與探究：1你能將它對折8次嗎？為什么？2如果能將一張報紙連續(xù)對折30次，你估計它的厚度是多少？相互交流設計意圖估算是根據(jù)具體條件及有關知識對事物的數(shù)量或算式的結果作出的大概推斷或估計.在解決有些實際問題時，估算比精確計算更

16、有意義，為了盡早的讓學生意識到“估算在日常生活以及學習中有著廣泛的應用，初步了解估算的意義，養(yǎng)成估算的意識，筆者在七年級上冊學習了“有理數(shù)的乘方后，設計了這個案例.教學中，在學生探索、思考、交流之后，可以這樣引導學生估算：一張普通報紙的厚度大約為0.01厘米，把一張紙連續(xù)對折8次后，它的厚度約為0.0128=0.01256=2.56厘米，這相當于把一本256頁的書對折一次，這幾乎是不可能的.如果能將一張報紙連續(xù)對折30次，那么它的厚度約為：由此可以估計出將一張報紙連續(xù)對折30次后的厚度將是100千米，這個厚度將超過珠穆朗瑪峰的海拔高度11倍之多，這顯然是不可能的.學生通過對這個問題的探究，能感

17、受到0.01230是一個大數(shù)，體會到估算在解決現(xiàn)實生活問題中的意義，初步了解到估算的策略和價值，有助于開展學生的數(shù)感，逐步樹立起“估算的意識.根據(jù)?課標2021年版?提出的“呈現(xiàn)內容的素材應貼近學生現(xiàn)實【1】的建議，我們在教學中應從學生實際出發(fā)，精心選擇教學素材，讓學生去閱讀、理解，從而意識到有些問題需要準確計算，有些問題只要通過估算得到近似值就可以.案例4設計一個估算值的方案.圓周率是圓的周長與直徑的比值，也等于圓形的面積與半徑平方之比.它是精確計算圓周長、圓面積、球體積的關鍵值.在日常生活中，我們通常都用3.14作為的近似值，去進行近似計算.是一個無理數(shù)，估算值的方法有多種，下面是利用概率

18、知識進行估算的方案：【操作發(fā)現(xiàn)】1在一張紙上畫一個正方形ABCD及其內切圓O如圖4，那么正方形ABCD的邊長a與內切圓O的半徑r的關系是_;2隨機向圖4中撒10粒小米，那么落在O內的小米有_粒，落在正方形ABCD內的米有粒;如果撒20粒小米，那么落在O內的小米有_粒，落在正方形ABCD內的米有_粒.3由此可得，隨機向正方形內投一粒小米，那么小米落在圓內的概率是_.【實驗探究】4隨機向圖4中撒一把小米，統(tǒng)計落在O內的米粒數(shù)m，以及落在正方形ABCD內的米粒數(shù)n，并計算比值mn;5你認為mn和前面問題3的結果有怎樣的關系？相互交流自己的看法.你能利用這個關系估計出的值嗎？6相互交流如何能提高對于的估計精確度？設計意圖在學生學習了用頻率估計概率的知識后，學生已經(jīng)明確知道，如果在一次試驗過程中，用A表示事件“試驗落在區(qū)域D中的一個小區(qū)域M中，那么事件A發(fā)生的概率為.為了讓學生真正理解