高中數(shù)學(xué)必修4教案：1.4.2單位圓與周期性

1、§ 4.2單位圓與周期性教學(xué)目標(biāo)1 .知識(shí)與技能(1) 會(huì)利用單位圓認(rèn)識(shí)和理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性；(2)理解周期函數(shù)的定義。2 .過(guò)程與方法由于我們已將角推廣到任意角的情況，而且一般都是把角放在平面直角坐標(biāo) 系中，利用單位圓的獨(dú)特性，充分理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性。 同時(shí)感受 利用單位圓研究三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一種重要方法。3 .情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)的概念有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)； 在由銳角 的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)的過(guò)程中， 體會(huì)特殊與一般的關(guān)系，形成一 種辯證統(tǒng)一的思想；通過(guò)單位圓的學(xué)習(xí)，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí) 積極性；培養(yǎng)

2、學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教材分析在直角坐標(biāo)系的單位圓中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的位置隨"的變化 而變化，由此可看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性。教材在分析了正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化而呈周期性變化后， 歸納出了周期函數(shù)的概念，并給出了定義。教材重點(diǎn)研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù) 的周期性，而對(duì)一般的周期函數(shù)不作研究。教學(xué)重點(diǎn)1 .任意角的三角函數(shù)兩個(gè)定義的應(yīng)用；2 .周期函數(shù)的概念教學(xué)難點(diǎn)1 .三角函數(shù)定義的靈活應(yīng)用；2 .理解周期函數(shù)的概念教學(xué)方法與手段學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的靈活應(yīng)用有一定難度， 教師應(yīng)以數(shù)形結(jié)合為引導(dǎo)，啟 發(fā)學(xué)生利用定義解題的關(guān)鍵是求出角 a終邊與單位圓的

3、交點(diǎn)坐標(biāo)。另外，周期函 數(shù)的概念的理解對(duì)學(xué)生有較高的要求， 建議教師從特殊出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自己獨(dú)立 發(fā)現(xiàn)規(guī)定自變量的任意性的合理性。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)回顧：1 .任意角的三角函數(shù)是如何定義的？體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想？2 .利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的正、余弦函數(shù)有什么優(yōu)點(diǎn)？體現(xiàn)什么數(shù) 學(xué)思想？從中可以發(fā)現(xiàn)正、余弦函數(shù)有什么關(guān)系？利用角木終邊上一點(diǎn)P(5, -12)分別求sin%coss,tancc來(lái)回答問(wèn)題1和問(wèn)題2.(1)改為已知角口終邊上一點(diǎn)P(5k, -12k)(k >0),如何求sin a, cos a ?(2)改為已知角口終邊上一點(diǎn)P(5k, -12k)(k <0),如何求si

4、n a , cos a ?(3)改為已知角a終邊上一點(diǎn)P(5k,-12k)(k ¥ 0),如何求sin a , cos a ?3 .正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么？你是如何得到三角函數(shù)定義域的？4 .正弦、余弦函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)是怎樣的？正弦一二為正三四為負(fù)，余弦一四為正二三為負(fù)。二、進(jìn)行新課：例1已知角"的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊落在函數(shù)y =3x(x «0)的圖像上，求2sin久-cosa的值。解： 2sin 二 一cos：=- 2若將題改為：已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊落在函數(shù)y=3x的圖像上，如何求2sina-

5、cosa的值？例2確定下列函數(shù)值的符號(hào)：(1) cos 72"(2)sin(-4650).解：略.(全為負(fù))動(dòng)手實(shí)踐：獨(dú)立完成課本17頁(yè)表15,然后快速搶答.觀察、歸納、總結(jié)計(jì)算下列兩組算式，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ JTJTJT(1) sin ,sin(4 k +),sin( -6n： +) -6663TJTJT(2) cos ,cos( -6n +),cos(10n +二) 333思考：根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系 ？顯然：終邊相同的角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值相等.即有公式一：sin(a +2kn) =sina , cos(a + 2kn ) = cos

6、ot ( 其中 kZ)例3.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算器驗(yàn)證：9二 .,二、(1) cos-; (2) sin(-);利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到21 (或0 口到360 b角的三角函數(shù)值.另外可以直接利用計(jì)算器求三角函數(shù)值，但要注意角度制的問(wèn)題.閱讀與提升閱讀課本16頁(yè)4.3單位圓與周期性一節(jié)的內(nèi)容，然后思考并回答下列問(wèn)題： 什么叫周期函數(shù)？周期函數(shù)必須滿足哪幾個(gè)條件？定義中為什么要限定T為非零常數(shù)？為什么要限定自變量的任意性？周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在非零常數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)的任 意一個(gè)值x,都有f(x+T)=f(x),就把f(x)稱為周期

7、函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的 周期。從定義中不難發(fā)現(xiàn)，周期函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：(1)非零常數(shù)T的存在性； (2)自變量x的任意性；(3)關(guān)系式f(x+T) = f (x)的包成立性。限定T為非零常數(shù)，主要考慮周期函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，而限定自變量的任 意性，關(guān)鍵在于數(shù)量化的定義必須滿足存在性與唯一性，兩者缺一不可。練習(xí)：完成課本17頁(yè)練習(xí)15題，然后依次作答。三、總結(jié)與提升：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想？四、布置作業(yè)：課本P24,第5, 6, 7題五、教學(xué)反思正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，學(xué)生借助單位圓比較好理解，因此本節(jié)課 的教學(xué)我重點(diǎn)突出了圖形的作用。正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)等基本初等 函數(shù)后的又一個(gè)基本初等函數(shù)，同時(shí)還是學(xué)生在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的各類函