一個新的基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)及其電路實現

1、一個新的基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)及其電路實現一個新的基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)及其電路實現尹 瑋 宏1,王 麗 丹1, 段 書 凱11西南大學 物理科學與技術學院 電子信息工程學院 重慶 中國 400715摘摘 要要 憶阻器被認為是第四個基本電路元件， 它除了是下一代非易失性存儲中有競爭力的候選器件外，由于擁有超越其它元件的超級性能，還能構建具有復雜動力學的非線性電路。特別地， 新的基于憶阻器的混沌振蕩器的實現已成為非線性電路設計的范例。 本文首先推導兩個基于磁控憶阻器模型的串聯憶阻器的特性及磁通電荷關系。 然后通過使用這個憶阻系統(tǒng)獲得一個新穎的四維超混沌系統(tǒng)，它有兩個正的李雅普諾夫指數。通過觀察各

2、種混沌吸引子、功率譜和分岔圖可看到豐富的動力學現象。最后，建立了模擬該系統(tǒng)的 SPICE 電路。SPICE仿真結果與數值分析一致，這進一步顯示了該超混沌系統(tǒng)的混沌產生能力。關鍵詞關鍵詞:憶阻器,超混沌系統(tǒng),混沌吸引子,電路實現1 1 引引言言憶阻器（Memristor）是一種非線性無源元件，具有非線性和非易失性。幾年來的研究工作取得了可喜的進展，各種基于憶阻器的應用成為了研究的熱點。 2008 年，惠普實驗室的科學家在Nature上發(fā)表論文宣稱，成功制成了第一個物理實現的憶阻器1，證實了 37年前加州大學蔡少棠（Leon O. Chua）教授的推測2。此后，憶阻器受到了廣泛的關注和研究。憶阻器

3、的體積小，功耗低，因此憶阻器是混沌中非線性電路部分的理想選擇3， 各種基于憶阻器的混沌系統(tǒng)得到了研究人員的密切關注4-7?；趹涀杵鞯幕煦缦到y(tǒng)應當具有以下四個方面的優(yōu)勢:（1）憶阻器有著納米級的尺寸,其作為混沌系統(tǒng)的非線性部分，系統(tǒng)的物本項目受到新世紀優(yōu)秀人才支持計劃 （教技函 2013 47 號） , 國家自然科學基金(61372139, 61101233,60972155)，教育部“春暉計劃”科研項目（z2011148）,留學人員科技活動項目擇優(yōu)資助經費（國家級, 優(yōu)秀類, 渝人社辦2012186 號）, 重慶市高等學校優(yōu)秀人才支持計劃（渝教人201165 號）,重慶市高等學校青年骨干教師

4、資助計劃（渝教人201165 號）,中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(XDJK2014A009,XDJK2013B011）的資助。作者簡介：尹瑋宏（1987-） ，男，湖南邵陽人，研究生，主要從事非線性電路與系統(tǒng)的研究。通信作者: 王麗丹，教授，碩士生導師，現任電子信息工程學院副院長，重慶市高等學校青年骨干教師資助計劃獲得者。主要從事智能信息處理、智能控制器、非線性電路與系統(tǒng)、憶阻器件及憶阻系統(tǒng)等領域研究，先后主持主研國家自然科學基金、中國博士后基金特別資助項目等項目 20 余項，發(fā)表SCI/EI 檢索論文 40 余篇，聯系郵箱：。理尺寸可以大大減?。?（2）憶阻器的阻值能隨著磁通或電荷的變化而

5、變化，其伏安特性曲線能夠通過零點，可以得到各種豐富的非線性曲線,提高混沌系統(tǒng)的復雜度和信號的隨機性；（3）大多憶阻材料與 CMOS 工藝兼容，可以將憶阻器和傳統(tǒng)電路緊密結合，通過簡單封裝就可提供豐富的隨機信號，能量的消耗必然會減??； （4）憶阻器是模擬電路元器件，其混沌系統(tǒng)可以產生真正的混沌模擬信號，從而用于混沌保密系統(tǒng)的設計和應用中?；煦缦到y(tǒng)被普遍認為在信息加密領域具有廣闊的應用前景。 在軍事科技領域， 混沌不僅可以用于保密通信還可以用于雷達波型的設計等8。近些年，研究人員對各種混沌做出了研究9-14。超混沌概念由 Rossler 提出，并給出了超混沌 Rossler 系統(tǒng)15。超混沌系統(tǒng)有

6、兩個或兩個以上正的 Lyapunov 指數，其吸引子具有難以識別的拓撲結構，動力學行為要比一般的混沌系統(tǒng)更加復雜難以預測，其在通信加密及信息安全領域具有更高的實用價值。 高維混沌系統(tǒng)具有更復雜的動力學行為以及更好的隨機性，一般低維的破譯方法，如相空間重構、回歸映像和非線性預測等很難破譯超混沌加密的信息。不同于有源磁控憶阻混沌電路16，本文基于有著真實的物理模型的 HP 憶阻器17，在L系統(tǒng)基礎上，構建了一個全新的超混沌系統(tǒng)。此混沌系統(tǒng)依賴于憶阻器的初始狀態(tài)，有著復雜的特殊的動力學現象， 如狀態(tài)轉移等非線性物理現象。 本文先分析了憶阻器的基本模型，然后構建新的混沌系統(tǒng)，對該系統(tǒng)進行了數值分析。建

7、立了磁控憶阻器的 SPICE 模型，通過 SPICE 軟件設計混沌電路，對前面數值進行分析驗證。2 2HPHP 憶阻器基本模型憶阻器基本模型HP 憶阻器是由兩層二氧化鈦薄膜夾在兩個鉑片（Pt）電極之間構成的：一層是絕緣的二氧化鈦層（TiO2） ，鈦氧元素比是 1:2。另一層是有導電能力的缺失了部分氧原子的二氧化鈦層（TiO2-X） 。當有外加偏壓時,缺氧原子的那層會在電場的作用下發(fā)生離子漂移，從而引起絕緣層和導電層中厚度的變換，也從而改變了憶阻器的有效阻值。圖圖 1 1 HP 實驗室的憶阻器物理模型實驗室的憶阻器物理模型HP 憶阻器的數學模型有電荷控制模型和磁通控制模型14，其中電荷控制模型可

8、表示為2211)(,)(),()0()(,)(atqRatqatkqMatqRtMONOFF(1)其中,q (t)表示的是電荷的值，a1,a2,a3,a4和 K 的表達式如下：22222314221222256(0)(0),22C(0),C(0),22(0)(0),)22.OFFONOFFONOFFOONOFFVONNRMRMakkkkaMRaMRRaRMRMaaRu RkDkk (2)此外，磁通控制的憶阻器模型可以表示為66525)(,)(, )0()(2)(,)(atRataMtkatRtMONOFF(3)其中，(t)表示磁通的值，電荷和磁通的關系如下：6465253)(,)()(,)0(

9、)0()(2)(,)()(atRatatakMMtkatRattqONOFF(4)從（1）到（4） ，其中 M (t)表示憶阻器的值，RON和 ROFF分別表示憶阻器的極限值，M(0)表示初始值，W(t)是依時間而變化的 TiO2-X厚度，而 D 是薄膜的厚度。RON是當 W (t)等于 0 時候的值，ROFF是當 W(t)等于 D 時候的值，Uv表示氧空缺的平均移動量。(a)(b)圖圖 2 2 兩個串聯憶阻器電路模型兩個串聯憶阻器電路模型-1-0.500.51x 10-400.511.52x 104q,CM1, Ohm-1-0.500.51x 10-400.511.52x 104q,CM2,

10、 Ohm(a)(b)-1-0.500.51x 10-401234x 104q,CM1+M2, Ohm-1-0.500.51x 10-411.522.53x 104q,CM1-M2, Ohm(c)(d)圖圖 3 3 憶阻器阻值隨電荷變化的關系曲線憶阻器阻值隨電荷變化的關系曲線3 3 基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)L系統(tǒng)18的狀態(tài)方程為x(),a yxybyxzzxycz(5)式中a=36, b=20, c=3,系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數。 在L系統(tǒng)的狀態(tài)方程上做些變換，并加入憶阻器的磁通變量， 得到一個新的四維超混沌系統(tǒng)。 基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(0.5 ),(

11、 |),xa yxwybxxzyzxyczwyqx(6)該系統(tǒng)由于憶阻器的加入， 加劇了各個變量間的相互影響， 平衡點要受到初始條件的影響，而且有著較大的混沌范圍，動力學特性變得更復雜。其中，x， y， z 和 w 是系統(tǒng)的狀態(tài)變量， a，b, c 是參數。表示的是輸入憶阻器的磁通， 從文獻14可知憶阻器的電荷和磁通有（7）式所示關系。35256462(0)(0)( )OFFONxaxaRkxMMq xaakxaaRxx(7)其中,222256(0)(0)22OFFONRMRMaakk，。當 a=15, b=5,c=0.9，憶阻器的初始狀態(tài)為 ROFF=20K， RON=100，M = 16K

12、，D =10nm，uv=10-14m2s-1v-1，并選擇初始狀態(tài)（x,y, z, w）=(0,1,0,0)，得到的混沌吸引子如圖 4 所示，圖中表示各狀態(tài)變量之間在平面上的投影，呈現出兩個渦卷混沌吸引子。-20-1001020-15-10-5051015xy-20-1001020-10-505101520 xz(a) x-y(b) x-z-20-1001020-30-20-100102030 xw-20020-20020-50050 xyw(c) x-w(d) x-y-w圖圖 4 4 圖圖(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)分別表示分別表示 x-yx-y，x-zx-z 和和 x-wx-w

13、 在相平面上的投影，在相平面上的投影，圖圖(d)(d)表示狀態(tài)變量表示狀態(tài)變量 x-y-wx-y-w 在相空間的投影。在相空間的投影。對混沌系統(tǒng)進行動力學分析是研究混沌的重要方法，該部分分析了系統(tǒng)的 Lyapunov 指數，功率譜和分岔圖。ALyapunov 指數及時域波形Lyapunov 指數是衡量系統(tǒng)動力學特性的一個重要定量指標，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數率。 對于系統(tǒng)是否存在動力學行為， 可以從最大 Lyapunov指數是否大于零，非常直觀的判斷出來，指數越大，混沌特性越明顯，混沌程度越高。該系統(tǒng)的 Lyapunov 指數譜如圖 5 所示。05001000150

14、02000-16-14-12-10-8-6-4-2024Lyapunov exponentst L1 = 2.0223 L2 = 0.4404 L3 = -2.6747 L4 = -14.6848圖圖 5 5 混沌系統(tǒng)混沌系統(tǒng) LyapunovLyapunov 指數指數在（6）式的混沌系統(tǒng)中,利用 Jacobi 方法計算出 Lyapunov 指數。這種方法的基本原理就是首先求解出連續(xù)系統(tǒng)微分方程的近似解， 然后對系統(tǒng)的 Jacobi 矩陣進行 QR 分解，計算 Jacobi 矩陣特征值的乘積，最后計算出 Lyapunov 指數和分數維。取 t=2000，得 L1= 2.0223，L2= 0.4

15、404，L3= -2.6747， L4= -14.6848，Lyapunov 維數 DL=2.9856。其中有兩個正的 Lyapunov 指數，從相軌跡圖、實域波形、以及 Lyapunov 指數和維數可以看出該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)。0100200300400500-20020 x0100200300400500-20020y0100200300400500-20020z0100200300400500-50050wt/s圖圖 6 6 各狀態(tài)變量在時域的波形各狀態(tài)變量在時域的波形得四個狀態(tài)變量的時域波形如圖 6 所示，它們都是非周期性的，而且有狀態(tài)轉移行為。這種跳變行為增加了混沌的復雜度，狀態(tài)轉移行

16、為也是超混沌系統(tǒng)一種特有的現象。B功率譜功率譜分析也是一個重要的觀察分叉和混沌的方法。一個混沌系統(tǒng)是非周期的，它的功率譜是連續(xù)的，還帶有一系列的峰值。圖 7 顯示了該憶阻混沌系統(tǒng)的功率譜。010002000300040005000-4-2024Power Spectrum dBFrequency Hz圖圖 7 7 混沌系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)（6 6）的功率譜）的功率譜C分岔圖分岔圖表示非線性系統(tǒng)一個差數變化時的系統(tǒng)動力學特性， 系統(tǒng)的狀態(tài)隨著參數狀態(tài)的變化而變化，例如雙周期混沌變化。讓參數 b= 0.5， c = 5 and d= 1 不變，改變參數 a。對應參數 a 變化的狀態(tài)變量 x 如圖 8 所

17、示。 圖中可以看出系統(tǒng)的混沌行為隨著參數 a 的變化而變化。24681012141618-15-10-505101520ax圖圖 8 8 混沌系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)（6 6）的分岔圖）的分岔圖4 4 混沌系統(tǒng)的電路設計與實現混沌系統(tǒng)的電路設計與實現為了驗證系統(tǒng)（6）的混沌行為，本部分設計了各狀態(tài)變量的混沌電路。該電路由四路模擬運算電路所組成，分別實現系統(tǒng)（6）中的狀態(tài) x，y，z，w 的運算。用到的元器件有LM348 運放、憶阻器、二極管、乘法器、電容、電阻等。加入電路中的電源 VCC=+30V，VEE= - 30V。圖圖 9 9 實現狀態(tài)變量實現狀態(tài)變量 x x 的第一通道電路的第一通道電路由電路中

18、 U1和 U2可以得到47445136211xxywR RRRVVVVdtR CR RRR （8）從而得到47443561251151xxywR RRRVVVVR R R CR R CR R C (9)比較系統(tǒng)（6） ，取 R1= 20k， R4=15k， R2= R3= R5= R6= R7= 10K 和 C1=10uF，可以滿足15(0.5)xyxwVVVV(10)圖圖 1010 實現狀態(tài)變量實現狀態(tài)變量 y y 的第二通道電路的第二通道電路通過 U4和 U5列電路方程可以得到1071010112869102111221yxxzyRR RRVVV VV dtR CRR R R CR R C

19、 (11)求導變換得1071010y81126911211122RR RRVxxzyR R CR R R CR R C(12)在（12）式中，R8= R10= R11= 20K， R9= R12= 100 k and C2= 10uF 可以得到5yxxzyVVV VV(13)圖圖 1111 實現狀態(tài)變量實現狀態(tài)變量 z z 的第三通道電路的第三通道電路由 U6和 U7得1417141531315161831zxyzR RRVV VV dtR CRR R R C (14)所以141417131531516183zxyzRR RVV VVR R CR R R C(15)圖圖 1212 實現絕對值的

20、電路實現絕對值的電路為了得到y(tǒng)xyzVV VV，可以取 R14= R15= R16= 20K，R13=R18=100 K和 C3=10uF。運放 U9和 U10可以實現絕對值電路，二極管使用的是 D10D2，電路可以得到 U10的輸出為192121242620102120()00 xxUxxR RRVVR RRVRVVR當 R19= R20= R21= R24= 20K，R26= 10K時，可得10UxVV。另外 R25= R19/R24=10K，R27= R20/R21/R26= 5K。 運放 U11的電壓輸出231122UxRVVR ， 取 R22= R23=1 K，得11UxVV 。圖圖

21、 1313 實現狀態(tài)變量實現狀態(tài)變量 w w 的第四通道電路的第四通道電路運放 U11的輸出作為磁控憶阻器 FLUX 端的輸入，憶阻器 CHARGE 端作為運放 U12的輸入。憶阻器滿足（7）式電荷磁通光系，還有著斜“8”字形的伏安特性曲線，比一般非線性電路更易產生混沌信號。 這樣省去了構建非線性電路的麻煩， 混沌系統(tǒng)電路結構更加簡單。設憶阻器初始值 ROFF= 20K， RON=100，M =16K，D = 10nm 和 uv = 10-14m2s-1v-1。由運放 U12和 U13得292930431281( )wyRRVVq xdtR CRR (16)從而29293031428304(|

22、)wyRRVVqxR R CR R C(17)比較系統(tǒng)（6）最后我們取 R29= R30= 20K， R28= R31= 100K和 C4= 10uF，可以得到( |)wyVVqx(18)在 SPICE 仿真中,設置仿真的時間從 0 到 2000 seconds 和仿真的最大步長 0.001seconds。得到的四階混沌系統(tǒng)的部分變量的相圖如圖 15 所示，圖中橫縱坐標表示的是運放 U3、U5和 U8的輸出電壓 Vx、 Vy 和 Vz，該仿真和數值仿真的結果相似，表明基于憶阻器的混沌系統(tǒng)可以在模擬電路中實現，再次說明了該系統(tǒng)的正確性。圖 14 為狀態(tài)變量 y 在時域中的波形，縱坐標 V（Vy:

23、OUT）表示的是運放 U5輸出的電壓，橫坐標表示的是時間 Time。由于憶阻器的加入， 該系統(tǒng)時域信號出現了狀態(tài)轉移行為。 產生的這些時域混沌信號可以作為保密通信的混沌信號源，也可以運用在圖像加密或者隨機比特發(fā)生器。圖圖 1414 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 Vy 在時域中的波形在時域中的波形(a)(b)圖圖 1515 SPICESPICE 仿真中部分狀態(tài)變量在平面的相圖仿真中部分狀態(tài)變量在平面的相圖5 5 結論結論本文先對憶阻器的基本模型進行了分析，然后在 L系統(tǒng)的基礎上加入憶阻器，構建一個新的四維超混沌系統(tǒng)，該混沌系統(tǒng)呈現著復雜的動力學行為。此外，通過 SPICE 電路實現了該混沌系統(tǒng)。論文前面對該

24、系統(tǒng)進行了數值分析，后面用 SPICE 設計電路進行了驗證，前后的結果一致,實驗表明該系統(tǒng)是超混沌的。憶阻器是個最新的元器件，體積小，功耗低，更有著一般元件沒有的特性，在混沌電路中有著很高的應用價值。參考文獻參考文獻1D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart, R. S. Williams. The missing memristor found.Nature,2008, 453(7191):8083.2L. O. Chua. Memristor - the missing circuit element. IEEE Trans. Circuit T

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