2020年高考文數(shù)(人教版)教學(xué)案第46講直接證明與間接證明

1、第 46 講直接證明與間接證明I at習(xí)目標(biāo)“1 理解綜合法和分析法的概念及區(qū)別，能熟練地運(yùn)用它們證題.2 理解反證法的概念，掌握反證法的證題步驟._知識梳理1 綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等 證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.綜合法是由已知推導(dǎo)出未知的證明方法， 又叫順推證法或由因?qū)Ч?可用框圖表示 為：2.分析法從要 證明的結(jié)論 出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件 ，直至最后，要把證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）這種證明的方法叫做分析法分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法.用 Q 表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框

2、圖表示為:3.反證法一般地，假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過 正確的推理，最后得出矛盾 ，因此說明 假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.熱身練習(xí)1.下面的兩個(gè)不等式：2 2 21a + b + c ab+ bc+ ca;2.3 + 2 22ab, b2+ c2 2bc, c2+ a2 2ca,三式相加除 2 即得;2成立用分析法證明：要證3 + 2 ,22 + . 7,只需證(，3+2 2)2(2+ .7)2,即證 11 + 4611 + 4.7,即證,6、：.；7,即證 67,而 60用分析法證明不等式，每一步都是尋找結(jié)論成立的充分條件件)，上述 A , B , C 都是結(jié)

3、論成立的必要條件，不是充分條件，D 是充要條件.故選 D.3 .如果 a0, b0，則有(B)2 2bbA.二 2b a B_ 2b aab2匕”Dw2ba ab2要比較一與 2b a 的大小，因?yàn)閍b22ab，所以 b22ab a2,b2從而2b a. a4.用反證法證明命題“設(shè)a, b 為實(shí)數(shù)，則方程 x3+ ax + b= 0 至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的反設(shè)是(A)A .方程 x3+ ax+ b = 0 沒有實(shí)根B .方程 x3+ ax+ b = 0 至多有一個(gè)實(shí)根C .方程 x3+ ax+ b = 0 至多有兩個(gè)實(shí)根D .方程 x3+ ax+ b = 0 恰好有兩個(gè)實(shí)根 “方程 x3+

4、 ax+ b= 0 至少有一個(gè)實(shí)根”？“方程 x3+ ax+ b = 0 的實(shí)根個(gè)數(shù)大于或等于 1”，因此，要作的反設(shè)是方程X3+ ax+ b = 0 沒有實(shí)根.5.已知函數(shù) f(x)在(-m,+m)上是減函數(shù)，則方程 f(x) = 0 的根的情況為(A)a2+ b2 1 a4+ b42(當(dāng)然也可是充要條 a-b2C.0，即比較 b 與 2ab a 的大小，因?yàn)锳 .至多有一個(gè)實(shí)根B .至少有一個(gè)實(shí)根C 有且只有一個(gè)實(shí)根D 無實(shí)根CZ3假設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)根 Xi, X2,不妨設(shè) X1f(X2)，矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程至多有一個(gè)實(shí)根.I 高頻 _蘭-綜合法畫在厶 ABC 中，三個(gè)內(nèi)角 A,

5、B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 A, B, C 成等差數(shù) 列，a，b，c成等比數(shù)列，求證： ABC 為等邊三角形.EO 由 A, B, C 成等差數(shù)列，有 2B= A + C.因?yàn)?A, B, C 為ABC 的內(nèi)角，所以 A+ B+ C =冗n由，得B=n由 a, b, c 成等比數(shù)列，有 b2= ac,由余弦定理，可得 b2= a2+ c2 2accos B= a2+ c2 ac.22再由，得 a + c ac= ac.2即(a c) = 0，因此 a= c,從而有 A= C.n所以 A = B = C = 3.所以ABC 為等邊三角形.綜合法又叫順推法，或者由因?qū)Ч?，是?shù)學(xué)中

6、最常用的證明方法.W KsSui&V1. (2018 山東聊城模擬)當(dāng)定義域?yàn)?,1的函數(shù) f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件時(shí)，稱f(x)為“友誼函數(shù)”：(1) 對任意的 x 0,1，總有 f(x)0;(2) f(1) = 1；(3) 若 X10 , X20 且 X1+ x2 f(X1)+ f(x2)成立.則下列判斷正確的是(填序號)1若 f(x)為“友誼函數(shù)”，貝 y f(0) = 0；2函數(shù) g(x) = x 在區(qū)間0,1上是“友誼函數(shù)”；3若 f(x)為“友誼函數(shù)”，且 0WX1X2 1,則 f(X1) f(0) + f(0)，即 f(0)w0,又 f(0) 0,所以 f(0) =

7、0，故正確.函數(shù) g(x) = x 在區(qū)間0,1上滿足：g(x) 0; g(1)= 1.若 X1 0 , X2 0 且 Xi+ X2 1 ,則有 g(X1+ X2) g(X1)+ g(X2) =(X1+ X2)(X1+ X2)= 0,滿足條件(3).故 g(X) = X 滿足條件(1),，(3),所以 g(X)= X 在區(qū)間0,1上是“友誼函數(shù)”，故正確.3因?yàn)?f(X)為“友誼函數(shù)”，0wX1X2 1，則 0X2 X1 f(X2 X1)+ f(X1) f(X1).故有 f(X1)wf(X2)，故正確.S0 設(shè) a, b, c 均為正數(shù)，且 a+ b + c= 1,求證：，a+ b + _ c

8、w3.要證 a + ,b+ cw3,只需證 a + b + c+ 2 . ab+ 2,bc + 2 , caw3,因?yàn)?a+ b+ c= 1,只需證.ab+ . bc+ caw1.一 a+b b + c 一 a+ c 而，abw2,bcw2，一 caw,上述三式相加得 ab + . bc+ caw2a+2b+c= 1 成立,故原不等式成立.分析法是從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步分析使結(jié)論成立的充分條件，因此，要特別注分析法意分析法的書寫格式.常采用“要證一一只需證一一而XXX成立，故原命題成立”這樣的書寫格式.2.已知 a, b R, abe(其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)ES3 因?yàn)?ba0, ab0,

9、所以要證 baab,只需證 aln bbln a，)，求證：baab.只需證In b In a、r In x記 f(x) = -,1 In x 因?yàn)閒(x)=廠,所以當(dāng) xe 時(shí)，f (x)be 時(shí)，有 f(b)f(a),即 罟罟故原不等式成立.反證法設(shè)an是公比為 q 的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo)an的前 n 項(xiàng)和公式;設(shè) q 工 1，證明數(shù)列an+ 1不是等比數(shù)列.(1)設(shè)an的前 n 項(xiàng)和為 S ,當(dāng) q = 1時(shí)，Sn=na1；n 1當(dāng) q豐1 時(shí)，Sn= a1+a1q+所以 Sn=* na11 qq= 1,所以 Sn= aifl qnx,q豐1.1 q證明：假設(shè)an+ 1是等比數(shù)列，則對任

10、意的k N*,2(ak+1+1) =(ak+ 1)(ak+ 2+1),2ak+1+ 2ak+1+ 1 = akak+ 2+ ak+ ak+ 2+1,2 2k c kk1k+1k1k+1a1q + 2a1q = agag+ ag+ ag+,因?yàn)?a1* 0，所以 2qk= qk-1+ qk+1,又 q豐0,所以 q2 2q+ 1 = 0,所以 q = 1這與已知矛盾.故假設(shè)不成立，故an+ 1不是等比數(shù)列. (1)當(dāng)遇到“否定性”“唯一性” “無限性”“至多” “至少時(shí)，常用反證法.(2)用反證法的一般步驟：反設(shè)否定結(jié)論；歸謬推導(dǎo)矛盾；結(jié)論結(jié)論成立.3.已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)的和為 Sn,且滿

11、足 an+ Sn= 2.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列.底霜(1)當(dāng) n= 1 時(shí)，a1+ Si = 2a1= 2，所以 a1= 1,又 an+ Sn= 2，所以 an +1+ Sn+ 1= 2 ,1兩式相減，得 an + 1= ?an,1所以an是首項(xiàng)為 1,公比為 2 的等比數(shù)列，nai,等類型的命題1所以 an=n2(2)證明：(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為ap +1, aq+ ii(pqP+1，所以 2 2r-q= 2r-p+ 1.(*)又因?yàn)?pqr, p, q, r R，所以 r- q, r p N ,所以(*)式左邊是偶函數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立.所以假設(shè)不成立，故原命題成立.i 鯉_,1 數(shù)學(xué)證明常用的方法有直接法和間接法綜合法和分析法是直接證明的常用方法， 也是解決數(shù)學(xué)問題的常用思維方式當(dāng)數(shù)學(xué)問題直接證明比較困難或直接證明無法進(jìn)行 時(shí)，可以采用間接證明，間接證明最主要的方法是反證法.2解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常將分析法和綜合法聯(lián)合使用，即“由已知看可知，由所求看需