2020年高考一輪文數(shù)練習：空間中的垂直關(guān)系

1、課時規(guī)范練A 組基礎對點練1如圖，在 Rt ABC 中，/ ABC = 90 P為厶ABC 所在平面外一點, PA 丄平面 ABC，則四面體 P ABC 中共有直角三角形個數(shù)為（）A . 4B . 3C. 2D . 1解析： 由 PA 丄平面 ABC 可得 PAC, AB 是直角三角形， 且 FA 丄 BC.又/ABC= 90即 ABP ABC 中共有 4 個直角三角形.a,3是兩個不同的平面，則能得出a 丄 b 的是（）B.a 丄a,b 丄3 , al 3D.a?a,bI 3, a丄3答案：C3.（2018 蘭州診斷考試）設a 3丫為不同的平面，m , n 為不同的直線,貝Um 丄3的一個充

2、 分條件是（）A. a丄3 , aA 3=n,mlnB. aAY=m, a丄Y3丄 丫C.a丄3, 3-L Ym 丄aD.n 丄a ,n 丄3,m a解析：A 不對，m 可能在平面3內(nèi)，也可能與3平行；B , C 不對，滿足條件的 m 和3可能相交，也可能平行；D 對，由 n 丄a, n 丄3可知a/ 3結(jié)合 ma知 m 丄3,故選 D.答案：D4.設 a , b , c 是空間的三條直線,a,3是空間的兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立 的是（）A .當 C 丄a時，若 C 丄3貝U al 3B .當 b?a時，若 b3,貝U a丄3C.當 b?a,且 c 是 a 在a內(nèi)的射影時，若 b

3、丄 c ,貝Ua 丄 bD .當 b?a,且 c?a時，若 cl a ,貝UbIc解析：A 的逆命題為：當 C 丄a時，若al 3則 C 丄3由線面垂直的性質(zhì)知 C 丄3故 A 正確;丄 BC,所以APBC 是直角三角形，且BC 丄平面 FAB,又 FB?平面FAB，所以 BC 丄 FB，即解析:對于 C 項，由al 3a?a可得a/ 3,又 b 丄3,得 a 丄 b,故選 C.BC 為直角三角形，故四面體答案：A2.設 a, b 是兩條不同的直線,A.a 丄a,bIIa丄3C.a?a,b 丄3,al3CB 的逆命題為：當 b?a時，若a丄3,貝Ub3,顯然錯誤，故 B 錯誤；C 的逆命題為：

4、當b?a,且 c 是 a 在a內(nèi)的射影時，若 a 丄 b,貝 U b c.由三垂線逆定理知 b c,故 C 正確；D的逆命題為：當 b?a，且 C?a時，若 b/C，則c/a由線面平行判定定理可得c/a,故 D 正確。答案：B5.如圖， 0是正方體 ABCD AiBiCiDi的底面 ABCD的中心，則下列直線 中與 BiO 垂直的是（）B . AAiD . AiCi解析：連接 BiDi（圖略），則 AiCi丄 BiDi,根據(jù)正方體特征可得BBiDiD, BiO?平面 BBiDiD，所以 BiO 丄 AiCi.答案：D6.如圖，在三棱錐 D ABC 中，若 AB = CB, AD = CD ,

5、E 是 AC 的中點,則下列命題中正確的有 _ （寫出全部正確命題的序號）.1平面 ABC 丄平面 ABD;2平面 ABD 丄平面 BCD;C. AiDiBBi丄 AiCi，故 AiCi丄平面平面 ABC 丄平面BDE，且平面 ACD 丄平面 BDE ;解析： 由 AB = CB, AD = CD 知 AC 丄 DE , AC 丄 BE，從而 AC 丄平面 BDE，所以平面 ABC答案：7.如圖，PA 丄O0 所在平面，AB 是O0 的直徑，C 是O0 上一點，AE 丄 PC,AF 丄 PB,給出下列結(jié)論： AE 丄 BC :EF 丄 PB :AF 丄 BC;AE 丄平 面PBC，其中正確的結(jié)

6、論有_ .解析：AE?平面 PAC, BC 丄 AC, BC 丄 FA? AE 丄 BC,故正確； AE丄 FC , AE 丄 BC, FB?平面 PBC? AE 丄 FB, AE 丄 FB, EF?平面 AEF? EF 丄 FB,故正確;3AF 丄 PB，若 AF 丄 BC? AF 丄平面 PBC，則 AF /AE 與已知矛盾，故錯誤；由可知正確.答案：8.如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ,且底面各邊都相等，M 是 PC 上的一動點，當點 M 滿足_ 時，平面 MBD 丄平面平面 ABC 丄平面 ACD，且平面 ACD 丄平面 BDE.丄平面 BDE，且平面 A

7、CD 丄平面 BDE，故正確.PCD （只要填寫一個你認為是正確的條件即可）解析：如圖，連接 AC, BD，貝 U AC 丄 BD ,vPA 丄底面 ABCD ,.PA 丄 BD.又 PAAAC = A,BD 丄平面 FAC, BD 丄 PC,當 DM 丄 PC（或 BM 丄 PC）時，即有 PC 丄平面 MBD.而 PC?平面PCD.答案：DM 丄 PC（或 BM 丄 PC 等）9.如圖，四棱錐 P ABCD 中，AP 丄平面 PCD , AD / BC, AB =1BC = 2AD , E, F 分別為線段 AD , PC 的中點.求證：（1）AP/ 平面 BEF;BE 丄平面 PAC.證

8、明：（1）設 ACABE = O,連接 OF , EC,如圖所示.1 由于 E 為 AD 的中點，AB=BC = 2AD , AD /BC,所以 AE/BC, AE= AB = BC,因此四邊形 ABCE 為菱形，所以 O 為 AC 的中點.又 F 為 PC 的中點, 因此在APAC 中，可得 AP/OF.又 OF?平面 BEF, AP?平面 BEF.所以 AP/平面 BEF.由題意知 ED /BC, ED = BC.所以四邊形 BCDE 為平行四邊形，因此 BE/CD.又 AP 丄平面 PCD ,所以 APICD，因此 APIBE.因為四邊形 ABCE 為菱形，所以 BE 丄 AC.又 AP

9、AAC = A, AP, AC?平面 PAC ,所以 BE 丄平面 PAC.PCD，平面 MBD 丄平面D10. (2018 唐山統(tǒng)考)已知四棱錐 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PD 丄底面 ABCD , E 為棱PD 的中點.(1)證明：PB/平面 AEC;若 PD = AD = 2, PB 丄 AC,求點 P 到平面 AEC 的距離.解析：證明：如圖，連接 BD，交 AC 于點 F，連接 EF ,B底面 ABCD 為矩形， F 為 BD 中點,又 E 為 PD 中點， EF /PB，又 PB?平面 AEC，EF?平面 AEC， PB /平面 AEC.(2) -.PD 丄平面 AB

10、CD，AC?平面 ABCD，.PD 丄 AC，又 PB 丄 AC，PBAPD = P，.AC 丄平面 PBD，BD?平面 PBD，.AC 丄 BD，四邊形 ABCD 為正方形.又 E 為 PD 的中點， P 到平面 AEC 的距離等于 D 到平面 AEC 的距離，設 D 到平面 AEC 的距離為 h，由題意可知 AE = EC= 5，AC= 2 2，SEC=2x2 . 2X3 = . 6，由 VD AEC=VE ADC得1SA1 6 6AECh = SADCED，解得 h=3，點 P 到平面 AEC 的距離為 虧.B 組能力提升練1 如圖，正方形 SG1G2G3中，E, F 分別是 G1G2,

11、 G2G3的中點，D 是 EF 與 SG2的交點,現(xiàn)沿 SE, SF 及 EF 把這個正方形折成一個四面體，使Gi, G2, G3三點重合，重合后的點記為 G,則在四面體 G SEF 中必有（）A . SD 丄平面 EFGB . SE 丄 GFC. EF 丄平面 SEGD . SE 丄 SF解析：對于 A，設正方形的棱長為 2a，則 DG =_22a, SD =32a, SG2 DG2+ SD2, SD 與 DG 不垂直， SD 不垂直于平面 EFG，故 A 錯誤；對于 B,v在折疊的過程中，始終有SG3丄 G3F , EG2丄 G2F,.SG 丄 GF, EG 丄 GF , SGAEG =

12、G,；GF 丄平面 SEG,vSE?平面 SEG,.SE 丄 GF，故 B 正確；對于 C,AEFG 中，：EG 丄 GF ,.EF 不與 GE 垂直， EF 不 垂直于平面 SEG,故 C 錯誤； 對于 D， 由正方形 SG1G2G3中， E, F 分別是 G1G2, G2G3的 中點， 得/ ESFZGiSG3=90 ASE 與 SF 不垂直，故 D 錯誤.故選 B.答案：B2.若 m, n 是兩條不同的直線，a,丫是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A .若 m?3 a丄伏貝Um 丄aB .若ad尸 m, 3門尸 n,m/n,貝U a /3C.若 m 3m/ a,貝U a丄3D .若

13、a丄Y,a丄3貝 V3丄Y解析：A 中 m 與a的位置關(guān)系不確定，故錯誤；B 中a, 3可能平行或相交，故錯誤；由面面垂直的判定定理可知 C 正確；D 中3,丫平行或相交，故錯誤.答案：C3如圖，直三棱柱 ABC A1B1C1中，側(cè)棱長為 2 , AC = BC= 1, / ACB =90 D 是 A1B1的中點，F(xiàn) 是 BB1上的動點，AB1, DF 交于點 E要使 AB1丄平面 C1DF ,則線段 B1F 的長為（）1A.2B . 13CQD . 24 由 OH AD = OD OA, 且 AD = . OD2+ OA2=寧,由于 AC 丄 ABi，所以i iOA = ?BiC = 2*解

14、析：設 BIF = x,因為 ABi平面 CiDF , DF?平面 CiDF ,所以 ABi DF.由已知可得 AiBi=.2,設 RtAAiBi斜邊 ABi上的高為 h，則 DE = gh又 2X2 = h 22+ . 22,所以 h =DE =彳在 RtQBiE 中，BiE =2-二3 2=卡由面積相等得x2+-22=22x, 得 x= g答案：A4.如圖，三棱柱 ABC A1B1C1中，側(cè)面 BBiCiC 為菱形，BiC 的中點為 0,且 A0 丄平面BBiCiC.(i)證明：BiC 丄 AB ;若 AC 丄 ABi，/ CBBi= 60 BC = i，求三棱柱 ABC AiBQi的高.

15、解析：(i)證明：如圖，連接 BCi，則 O 為 BiC 與 BCi的交點.因為側(cè)面 BBiCiC 為菱形，所以 BiC 丄 BCi.又 AO 丄平面 BBiCiC，所以 BiC 丄 AO，故 BiC 丄平面 ABO.由于 AB?平面 ABO，故 BiC 丄 AB.如圖，作 OD 丄 BC，垂足為 D，連接 AD.作 OH 丄 AD，垂足為 H.由于 BC 丄 AO，BC 丄 OD，故 BC 丄平面 AOD，所以 OH 丄 BC.又 OH 丄 AD，所以 OH 丄平面 ABC.因為/CBBi= 60 所以 CBBi為等邊三角形,又 BC= i，所以 ODB場B比,21得 OH = 又 O 為

16、BiC 的中點，所以點 Bi到平面 ABC 的距離為一尹.故三棱柱 ABC A1B1C1的高為 圣1.5.(2018 北京東城區(qū)模擬)如圖，在四棱錐 E ABCD 中，AE 丄 DE , CD 丄平面 ADE , AB 丄平面 ADE , CD = 3AB.(1) 求證：平面 ACE 丄平面 CDE ;(2) 在線段 DE 上是否存在一點 F，使 AF /平面 BCE ?若存在，求出|D 的值；若不存在，說明理由.解析：(1)證明：因為 CD 丄平面 ADE , AE?平面 ADE , 所以 CD 丄 AE.又 AE 丄 DE , CDADE = D ,所以 AE 丄平面 CDE ,因為 AE

17、?平面 ACE, 所以平面 ACE 丄平面 CDE.(2)在線段 DE 上存在一點 F，且 ED = * 使 AF /平面 BCE.設 F 為線段 DE 上一點，且帝=13.過點 F 作 FM /CD 交 CE 于點 M,1連接 BM , AF，貝 U FM = 3CD.因為 CD 丄平面 ADE , AB 丄平面 ADE，所以 CD /AB.又 FM /CD，所以 FM /AB.因為 CD = 3AB，所以 FM = AB.所以四邊形 ABMF 是平行四邊形, 所以 AF /BM.又 AF?平面 BCE, BM?平面 BCE,所以 AF /平面 BCE.E!)6.如圖，四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，F(xiàn)A = PD，/ BAD = 60 E 是 AD 的中點，點 Q 在側(cè)棱 FC 上.(1)求證：AD 丄平面 FBE;若 Q 是 FC 的中點，求證：PA/平面 BDQ ;若 VFBCDE= 2VQABCD，試求 CQ的值.解析：證明：由 E 是 AD 的中點，F(xiàn)A = FD 可得 AD 丄 FE.又底面 ABCD 是菱形，/ BAD = 60 所以