立體幾何知識點歸納和例題

1、P.F. Productions 1P.F. Productions 2問題(1)是否存在三條直線兩兩互相垂直？若存在，請舉出 實際例子。CADB兩直線沒有公共點， 則它們平行；(2)請判斷下列命題是否正確：垂直于同一條直線的兩 條直線平行。P.F. Productions 31、平面圖形與立體圖形的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：從集合論的角度看，兩者都是點的集合；區(qū)別：平面圖形由點、線構(gòu)成，而立體圖形是由點、 線、面構(gòu)成。平面圖形的點都在一個平面內(nèi)，而立體圖形 的點不全在一個平面內(nèi)；P.F. Productions 42、立體圖形的研究方法考慮問題時，要著眼于整個空間，而不是局限于某 一個平面；立體圖形

2、的問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決。P.F. Productions 53、學(xué)習(xí)要點 搞清平面圖形和立體圖形的聯(lián)系與區(qū)別； 發(fā)展空間想像能力； 提高推理論證能力。P.F. Productions 64、立體幾何的主要思想方法類比法：要善于與平面幾何做比較，認(rèn)識其相同點，發(fā)現(xiàn) 其不同點，這種思想方法稱之為類比思想。轉(zhuǎn)化法：把空間圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題去解決，這是學(xué)習(xí)立體幾何的很重要的數(shù)學(xué)思想方法。展開法：將可展的空間圖形展開為平面圖形，來處理問題的思想方法稱為展開思想。P.F. Productions 714.1(1) 平面的基本性質(zhì)P.F. Productions 8一、平面一個平面把空

3、間分成兩部分。 一條直線把平面分成兩部分。2、平面的特征：無厚度、無邊界、無長度、無寬度 (不能度量)；無限延展的；1、平面的概念：不定義的原始概念P.F. Productions 93、平面的畫法：通常用平行四邊形來表示平面。4、平面的表示方法：垂直放置水平放置平面 M平面 ABCDADBCM平面 CDBA傾斜放置DACBP.F. Productions 105、相交平面的畫法：注意：必須畫出其交線，被遮部分的線段畫成虛線 或者不畫。P.F. Productions 11二、點與線、點與面的位置關(guān)系（集合語言表示法）)( BA記記作作：點P在(不在)直線 l 上，)(lQlP 記記作作：lP

4、QAB點A在(不在)平面 上，P.F. Productions 12 l三、線與面的位置關(guān)系（集合語言表示法）三、線與面的位置關(guān)系（集合語言表示法）(1)直線直線 l 在平面在平面 上上(或平面或平面 經(jīng)過直線經(jīng)過直線 l )： 直線直線 l 上的所有點都在平面上的所有點都在平面 上。上。 l記記作作：P.F. Productions 13(2)直線直線 l 在平面在平面 外外 直線直線 l 與在平面與在平面 相交相交: 直線直線 l 與平面與平面 只有一個公共點。只有一個公共點。 Pl 記記作作：Pl P.F. Productions 14直線直線 l 與在平面與在平面 平行平行 : 直線直

5、線 l 與平面與平面 沒有公共點。沒有公共點。 lll或記作： /P.F. Productions 15直線與平面的位置關(guān)系（集合語言表示法）直線與平面的位置關(guān)系（集合語言表示法）(1)直線直線 l 在平面在平面 上上(或平面或平面 經(jīng)過直線經(jīng)過直線 l )： l記記作作：(2)直線直線 l 在平面在平面 外外 直線直線 l 與在平面與在平面 相交相交P: Pl 記記作作：直線直線 l 與在平面與在平面 平行平行 : ll 或或記記作作： /)(上上不在平面不在平面直線直線lP.F. Productions 16四、面與面的位置關(guān)系（集合語言表示法）四、面與面的位置關(guān)系（集合語言表示法）l 或

6、或記記作作： (1)平面平面 與平面與平面 相交：相交： 空間不同的兩個平面空間不同的兩個平面 有公共點有公共點P。 、P.F. Productions 17 /或或記記作作： (2)平面平面 與平面與平面 平行：平行： 兩個平面兩個平面 沒有公共點。沒有公共點。 、 P.F. Productions 18平面與平面的位置關(guān)系（集合語言表示法）平面與平面的位置關(guān)系（集合語言表示法）(1)平面平面 與平面與平面 相交于相交于直線直線 l： l 記記作作：(2)平面平面 與平面與平面 平行：平行： /或或記記作作： P.F. Productions 19 ABl公理公理1 如果直線如果直線 l 上

7、有上有兩個點兩個點在一個平面在一個平面 上上，那么，那么 直線直線 l 在平面上。在平面上。 l記記作作： BAlBlAl,，平面，平面已知：直線已知：直線 l結(jié)結(jié)論論：集合語言表述集合語言表述P.F. Productions 20例例1、判斷題、判斷題如果一條直線上所有的如果一條直線上所有的點都在某一個面內(nèi)，那點都在某一個面內(nèi)，那 么這個面一定是平面；么這個面一定是平面；一個平面一定可以把空間分成兩部分。一個平面一定可以把空間分成兩部分。直線直線 l 與平面與平面 的公共點的個數(shù)為的公共點的個數(shù)為 0、1、2； ？兩個平面可以把空間分成幾部分，三個平面呢？兩個平面可以把空間分成幾部分，三個平

8、面呢？P.F. Productions 21（唯一）（唯一）結(jié)論：結(jié)論：、已知：平面已知：平面lPlPP ,l 記作：記作：公理公理2 如果不同的兩個平面如果不同的兩個平面 有有一個公共一個公共點點P，那么，那么 的的交交集是集是過點過點P 的直線的直線 l 。 、 、P.F. Productions 22例例2、試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：、試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形： 點點A在平面在平面 上上，但不在平面，但不在平面上；上； 直線直線 l 經(jīng)過不屬于平面經(jīng)過不屬于平面 的點的點A；平面平面 與平面與平面 相相交于直線交于直線 l 且經(jīng)過點且經(jīng)過點P。 P.F. Pr

9、oductions 23CDBACDABCDBADCABDCBAABCD 平平面面求求作作：平平面面中中，、已已知知：正正方方體體例例3PQPQCDBADCAB 平平面面平平面面P.F. Productions 24的的交交點點。和和平平面面畫畫出出直直線線上上，在在棱棱中中，點點、已已知知正正方方體體例例ABCDPACCPDCBAABCD 4CDBACDABPQP.F. Productions 25ABCDEP 例例5、已知、已知D、E分別是分別是ABC的邊的邊AC、BC上的點，上的點， 平面平面 經(jīng)過經(jīng)過D、E兩點（如圖所示）兩點（如圖所示） 求作：直線求作：直線AB與平面與平面 的交點的

10、交點P P.F. Productions 26例例1、判斷題、判斷題如果一條直線上所有的如果一條直線上所有的點都在某一個面內(nèi)，那點都在某一個面內(nèi)，那 么這個面一定是平面；么這個面一定是平面；如果一條直線在如果一條直線在一個面上無論怎樣放置，都與這一個面上無論怎樣放置，都與這 個面有無數(shù)個公共點，那么這個面一定是平面；個面有無數(shù)個公共點，那么這個面一定是平面；一個平面一定可以把空間分成兩部分。一個平面一定可以把空間分成兩部分。直線直線 l 與平面與平面 的公共點的個數(shù)為的公共點的個數(shù)為 0、1、2； P.F. Productions 14.2(2) 平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)P.F. Prod

11、uctions 公理公理3 不在同一直線上的三點確定一個平面。不在同一直線上的三點確定一個平面。 “有且只有有且只有”、“存在且唯一存在且唯一”、“確定一個確定一個”表示表示 同一個意思同一個意思 ； 說明：說明： ACB 平面平面 與平面與平面 有三個不共線的公共點，那么有三個不共線的公共點，那么 與與 重合。重合。 CBACBA、，存在唯一平面存在唯一平面不共線不共線、P.F. Productions 推論推論1 1、一條直線和直線外的一點確定一個平面一條直線和直線外的一點確定一個平面。 Pl 確確定定一一個個平平面面、求求證證：、點點已已知知：直直線線lPlPPl ,BCP.F. Pro

12、ductions 推論推論2、 兩條相交直線確定一個平面。兩條相交直線確定一個平面。 Pab確確定定一一個個平平面面、求求證證：已已知知：baPba ABP.F. Productions 推論推論3、 兩條平行直線確定一個平面。兩條平行直線確定一個平面。 1l2l確確定定一一個個平平面面、求求證證：已已知知：2121/llllAP.F. Productions 例例1、回答下列問題、回答下列問題三條直線相交于一點，可以確定多少個平面？三條直線相交于一點，可以確定多少個平面？兩兩平行的三條直線，可以確定多少個平面？兩兩平行的三條直線，可以確定多少個平面？三點可以確定多少個平面？三點可以確定多少個

13、平面？四點可以確定多少個平面？四點可以確定多少個平面？1 或或 31 或或 31 或或 不確定不確定1 或或 4 或或不確定不確定三個平面將空間分成的部分可能有幾種？三個平面將空間分成的部分可能有幾種？4 或或 6 或或 7 或或 8P.F. Productions 例例2、判斷下列命題的真假，真的打、判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打，假的打“” (1)空間三點可以確定一個平面空間三點可以確定一個平面 (2)兩條直線可以確定一個平面兩條直線可以確定一個平面 (3)兩條相交直線可以確定一個平面兩條相交直線可以確定一個平面 (4)一條直線和一個點可以確定一個平面一條直線和一個點可以確定一個平

14、面 (5)三條平行直線可以確定三個平面三條平行直線可以確定三個平面 (6)兩兩相交的三條直線確定一個平面兩兩相交的三條直線確定一個平面 (7)兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合 (8)若四點不共面，那么每三個點一定不共線若四點不共面，那么每三個點一定不共線 P.F. Productions 例例3、已知不共點的三條直線兩兩相交，、已知不共點的三條直線兩兩相交， 求證：這三條直線共面。求證：這三條直線共面。 1l2l3lABCP.F. Productions 例例4、已知：一條直線和兩條平行線都相交，、已知：一條直線和兩條平行線都相交， 求證

15、：這三條直線共面。求證：這三條直線共面。BAabl 證明直線共面的常用方法：證明直線共面的常用方法：1、先由這些直線中的某些直線確定一個平面；、先由這些直線中的某些直線確定一個平面； 然后證明其他直線都在這個平面上。然后證明其他直線都在這個平面上。2、先證明這些直線分別在兩個（或幾個）平面上；、先證明這些直線分別在兩個（或幾個）平面上； 然后證明這兩個（或幾個）平面重合。然后證明這兩個（或幾個）平面重合。P.F. Productions P1Q1PQOabO1a1b1特征：方向相同特征：方向相同相相等等或或直直角角角角所所成成的的銳銳、或或直直角角所所成成的的銳銳角角、求求證證：，且且，已已知

16、知：直直線線)()(/,/,bababbaaObaOba P.F. Productions BCAACDDCBAABCD 求證：求證：中，中，、已知長方體、已知長方體例例3CDBCDABAP.F. Productions 14.2(2)空間直線與直線的位置關(guān)系空間直線與直線的位置關(guān)系P.F. Productions 問題：空間中的兩條直線有幾種位置關(guān)系？問題：空間中的兩條直線有幾種位置關(guān)系？P.F. Productions 1 1、空間兩條直線的位置關(guān)系、空間兩條直線的位置關(guān)系( (不重合）不重合）相交直線相交直線平行直線平行直線異面直線異面直線-有且僅有一個公共點有且僅有一個公共點-在同一平

17、面內(nèi)在同一平面內(nèi), ,沒有公共點沒有公共點不存在不存在任何任何一個平面；一個平面； 沒有公共點沒有公共點-不能置于同一個平面內(nèi)不能置于同一個平面內(nèi)P.F. Productions 同在一個平面內(nèi)同在一個平面內(nèi)相交直線相交直線平行直線平行直線 不同在任何一個平面內(nèi)：不同在任何一個平面內(nèi)： 異面直線異面直線 有一個公共點：有一個公共點：相交直線相交直線無無 公公 共共 點點平行直線平行直線異面直線異面直線按平面基本性質(zhì)分按平面基本性質(zhì)分按公共點個數(shù)分按公共點個數(shù)分P.F. Productions 2 2、異面直線的畫法、異面直線的畫法abbaab說明說明: 畫異面直線時畫異面直線時 , 為了體現(xiàn)它

18、們不共面的特點。為了體現(xiàn)它們不共面的特點。 常借助一個或兩個平面來襯托常借助一個或兩個平面來襯托.P.F. Productions 例例1 1、已知：直線、已知：直線 l 與平面與平面 相交于點相交于點A，直線，直線 m 在平面在平面 上，且不經(jīng)過點上，且不經(jīng)過點A， 求證：求證：直線直線 l 與直線與直線 m 是異面直線是異面直線 3 3、證明異面直線的方法、證明異面直線的方法 -反證法反證法和定義法和定義法abP.F. Productions ABDC例例2、已知、已知A、B、C、D是不在同一平面內(nèi)的空間四點，是不在同一平面內(nèi)的空間四點， 求證：求證：AB與與CD、 BD與與AC、 AD與

19、與BC是異面直線。是異面直線。P.F. Productions 練習(xí)練習(xí)1 1、選擇題、選擇題兩條直線兩條直線a、b分別和異面直線分別和異面直線c、d都相交，則直線都相交，則直線 a、b的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是 ( )A、一定是異面直線一定是異面直線 B、一定是相交直線一定是相交直線C、可能是平行直線可能是平行直線 D、可能是異面直線，也可能是相交直線可能是異面直線，也可能是相交直線一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另 一條的位置關(guān)系是一條的位置關(guān)系是 ( )A、平行平行B、相交相交 C、異面異面 D、相交或異面相交或異面P.F. Produ

20、ctions 練習(xí)練習(xí)2、已知長方體中、已知長方體中平行平行相交相交異面異面 BD和和FH是是 直線直線 EC和和BH是是 直線直線 BH和和DC是是 直線直線BACDEFHG(2)與棱與棱AB所在直線異面的棱共有所在直線異面的棱共有 條條?4分別是分別是 ：CG、HD、GF、HE思考題思考題：這個長方體的棱中共有多少對異面直線這個長方體的棱中共有多少對異面直線?(1)說出以下各對線段的位置關(guān)系說出以下各對線段的位置關(guān)系?24P.F. Productions 14.2(3)空間直線與直線的位置關(guān)系空間直線與直線的位置關(guān)系P.F. Productions 1、異面直線所成的角：、異面直線所成的角

21、：對于異面直線對于異面直線a和和b，在空間任取一點，在空間任取一點P，過，過P分別作分別作 a和和b的平行線的平行線 a和和b，我們把，我們把 a與與b所成的銳角所成的銳角（或（或直角）叫做異面直線直角）叫做異面直線a與與b所成的角。所成的角。abPabP PaP.F. Productions 異面直線所成角異面直線所成角的取值范圍：的取值范圍：當(dāng)兩條直線所成角為直角時，則當(dāng)兩條直線所成角為直角時，則a與與b垂直。垂直。記作：記作：ab說明：說明：當(dāng)兩條直線所成角為零角時，則當(dāng)兩條直線所成角為零角時，則a與與b平行或重合。平行或重合。 2, 0 P.F. Productions 例例1(1)直

22、線直線AA與哪些棱所在的直線是互相垂直的異面直線？與哪些棱所在的直線是互相垂直的異面直線？與與CD，CD，BC，BC是互相垂直的異面直線。是互相垂直的異面直線。(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直呢？另一條直線是否也與這條直線垂直呢？(3)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？ABCDABCD垂直垂直平行、異面、相交平行、異面、相交P.F. Productions 2、求異面直線所成角的一般方法、求異面直線所成角的一般方法找出異面直線所成的角找出異面直線所成的角簡單

23、說明理由簡單說明理由解含解含的三角形的三角形作、證、算作、證、算平移法（常用方法）平移法（常用方法）補形法補形法3、定角一般方法、定角一般方法P.F. Productions 正弦定理正弦定理ABCbc余弦定理余弦定理ABCbcabcacbA2cos222 預(yù)備知識預(yù)備知識CabSABCsin21 P.F. Productions 例例 2、在正方體、在正方體ABCDA1B1C1D1中，點中，點E、F分別是線分別是線段段A1B1，BB1的中點，的中點，出下列各對線段所成的角。出下列各對線段所成的角。(1)AB與與CC1(2)A1 B1與與AC(3)A1B與與D1B1B1CC1ABDA1D1=

24、9 0= 4 5= 6 0(4)EF與與D1B1 EF= 6 0(5)AD1與與B1C= 9 0P.F. Productions ABDCA1B1D1C1A1B和和B1C所成角為所成角為60在正方體在正方體AC1中，求異面直線中，求異面直線A1B和和B1C所成的角？所成的角？P.F. Productions ABDCA1B1D1C1MN在正方體在正方體AC1中，中，M,N分別是分別是A1A和和B1B的中點，的中點，求異面直線求異面直線CM和和D1N所成的角？所成的角？P.F. Productions 例例 3、在長方體、在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2a， AA1=a，E

25、、F分別是線段分別是線段A1B1、BB1的中點，的中點， 求求出下列各對線段所成角的大小。出下列各對線段所成角的大小。(1)EF與與AD1(2)EF與與B1C(3)EF與與A1C51arccos51arccos35arccosC1D1B1CDABA1EF(4)EF與與AC155arccosP.F. Productions ABDCA1B1D1C1E在正方體在正方體AC1中，求異面直線中，求異面直線D1B和和B1C所成的角？所成的角？P.F. Productions ABCDEF例例4、已知在空間四邊形、已知在空間四邊形ABCD中，中，AD=BC=2，E、F分分 別是別是AB、CD上的中點，且上

26、的中點，且EF= ，求直線，求直線AD、 BC所成角的大小所成角的大小。36 0MP.F. Productions 思考題：思考題：已知正四面體已知正四面體ABCD中，中，E、F分別是分別是BC、 AD的中點，求的中點，求 (1)直線直線EF、AC所成角的大??；所成角的大??； (2)直線直線AE、CF所成角的大小所成角的大小。CBDAEFM32arccos4 P.F. Productions PABCMN空間四邊形空間四邊形P-ABC中，中，M，N分別是分別是PB，AC的中點，的中點，PA=BC=4，MN=3，求，求PA與與BC所成的角？所成的角？EP.F. Productions 6114.

27、3(1) 空間直線與平面的位置關(guān)系P.F. Productions 62(1)直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；線面位置關(guān)系：平行：相交：l l (2)直線在平面外PlPl（僅有一個公共點）（無公共點）lll或/P.F. Productions 631、線面垂直定義： 一般地，如果一條直線 l 與平面上的任何直線都垂直，那么我們就說直線 l與平面垂直，記作： l . 直線 l 叫做平面的垂線， 平面叫做直線l的垂面， l 與的交點P叫做垂足.lP畫法：畫直線與平面垂直時， 通常把直線畫成與表示平面 的平行四邊形的一邊垂直。 P.F. Productions 64線面垂直直觀圖的畫法：anmaP.

28、F. Productions 652、線面垂直的性質(zhì)（公理）(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直；(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直。P.F. Productions 66例1、下列命題是否正確？為什么？(1)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線， 那么這條直線與這個平面垂直。(2)如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂 直于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線。 P.F. Productions 673、線面垂直的判斷定理-定理 2 如果直線 l 與平面 上的兩條相交直線 a、b 都垂直，那么直線 l 與平面垂直。 lblalObaba求求證證：，已已知知：, P.F. Produc

29、tions 68 lblalObaba求證：，已知：, lOabgP1PlABCP.F. Productions 69例2、求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。ab baba求證：求證：已知：已知：,/,namanma在 上作兩條相交直線 PnmmnPPnmnbmbba,/bP.F. Productions 70例例3、在正方體、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是AA1、 CC1的中點，判斷下列結(jié)論是否正確？的中點，判斷下列結(jié)論是否正確？ AC面面CDD1C1 AA 1面面A1B1C1D1AC面面BDD1B1 EF面面BDD1B1

30、 ACBD1BDA1FP.F. Productions 71例例4、已知點、已知點P是平行四邊形是平行四邊形ABCD所在平面外一點，所在平面外一點，O 是對角線是對角線AC與與BD的交點，且的交點，且PA=PC，PB=PD。 求證：求證：PO平面平面ABCDBDCPAOP.F. Productions 72求證：平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在求證：平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在平面上的射影垂直，平面上的射影垂直， 那么這條直線就和這條斜線垂直。那么這條直線就和這條斜線垂直。ABDEBCDEDECBABACAB 求證：求證：上的射影是上的射影是在平面在平面，平面平面的

31、一條斜線，的一條斜線，是平面是平面已知：已知：,逆命題是：平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜逆命題是：平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和這條斜線在平面上的射影垂直。線垂直，那么這條直線就和這條斜線在平面上的射影垂直。 lBACDEP.F. Productions 73小結(jié)小結(jié) 1、線面垂直的定義、線面垂直的定義 2、線面垂直的判斷定理、線面垂直的判斷定理P.F. Productions 7414.3(2) 空間直線與平面的位置關(guān)系空間直線與平面的位置關(guān)系P.F. Productions 75復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 線面垂直的定義線面垂直的定義 線面垂直的判斷定理線面垂直的

32、判斷定理P.F. Productions 76空間圖形中的有關(guān)距離：空間圖形中的有關(guān)距離： 1、點、點 M 和平面和平面 的距離的距離 設(shè)設(shè)M是平面是平面 外一點，過點外一點，過點M作平面作平面的垂線，的垂線，垂足為垂足為N，我們把點，我們把點M到垂足到垂足N之間的距離叫做之間的距離叫做點點M和平面和平面 的距離。的距離。 MNP.F. Productions 772、直線、直線l和平面和平面 的距離的距離 設(shè)直線設(shè)直線 l 平行于平面平行于平面 ，在直線，在直線 l 上任取一點上任取一點M，我們把點我們把點M到平面到平面 的距離叫做的距離叫做直線直線 l 和平面和平面 的距離。的距離。 Nl

33、MP.F. Productions 783、平面、平面 和平面和平面 的距離的距離 設(shè)平面設(shè)平面 平行平面平行平面 ，在平面，在平面 上任取一點上任取一點M，我，我們把點們把點M到平面到平面 的距離叫做的距離叫做平面平面 和平面和平面 的距離。的距離。 MNP.F. Productions 79在正方體中，觀察給出的三條棱所在直線的關(guān)系：在正方體中，觀察給出的三條棱所在直線的關(guān)系：P.F. Productions 804、異面直線、異面直線 a 和和 b 的距離的距離 設(shè)直線設(shè)直線 a 和直線和直線 b 是異面直線，當(dāng)點是異面直線，當(dāng)點M、N分別分別在在 a 和和 b上，且直線上，且直線MN既

34、垂直于直線既垂直于直線a，又垂直于直，又垂直于直線線b時，我們把直線時，我們把直線MN叫做異面直線叫做異面直線a和和b的的公垂線公垂線，垂足垂足M、N之間的距離叫做之間的距離叫做異面直線異面直線a和和b的距離的距離。abNMP.F. Productions 81說明：說明： (1)異面直線間距離具有存在性、唯一性、最小性；異面直線間距離具有存在性、唯一性、最小性； (1)找出公垂線段；找出公垂線段；(2)異面直線間距離的求法：先異面直線間距離的求法：先“證證”后后“算算”。5、異面直線距離的方法、異面直線距離的方法(2)轉(zhuǎn)化為線面距離。轉(zhuǎn)化為線面距離。 P.F. Productions 82例

35、例1、如圖、如圖, 在長方體在長方體ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1 = 4 cm、 AB = 5 cm、AD = 6 cm 。求。求(1)求點求點A和點和點C1的距離；的距離；(2)求點求點A到棱到棱B1C1的距離；的距離；(3)求棱求棱AB和平面和平面A1B1C1D1的距離；的距離；(4)求異面直線求異面直線AD和和A1B1的距離。的距離。774144P.F. Productions 83例例2、已知線段、已知線段AB的兩端點的兩端點A、B到平面到平面 的距離分別的距離分別 是是3 0cm和和50 cm。求分線段為。求分線段為AP:PB=3:7的點的點P到到 平面平面 的距離。的距

36、離。 3 6cm 或或 6cm BAPP1A1B1 BAB1A1PP1P.F. Productions 84例例3、AB是是 O的直徑，的直徑，C為圓上一點，為圓上一點，AB2， AC1，P為為 O所在平面外一點，且所在平面外一點，且PA O， (1)證明：證明：BC平面平面PAC ； (2)若若PBA=45，求點，求點A到平面到平面PBC的距離。的距離。D552P.F. Productions 85例例4、正方體、正方體ABCDA1B1C1D1中，中，P為為AB中點，中點，Q為為BC中點，中點，AA1=a, O為正方形為正方形ABCD的中心，的中心，求求PQ與與C1O間的距離。間的距離。OP

37、Qa42MP.F. Productions 86例例4、如圖，已知空間四邊形、如圖，已知空間四邊形OABC各邊及對角線各邊及對角線長都是長都是1，D、E分別是分別是OA、BC的中點，連結(jié)的中點，連結(jié)DE。(1)求證：求證：DE是是OA和和BC的公垂線；的公垂線；(2)求求OA和和BC間的距離。間的距離。OABCDE22P.F. Productions 87小結(jié)小結(jié) (1)點面距離；點面距離； (2)線面距離；線面距離； (3)面面距離；面面距離； (4)異面直線間的距離。異面直線間的距離。P.F. Productions 88練、如圖練、如圖, 在長方體在長方體ABCD-A1B1C1D1中，中

38、，AA1 = 5 AB = 12 ，AD = 13 。 (1)求點求點B和點和點D1的距離；的距離；(2)求點求點C到棱到棱A1B1的距離；的距離；(3)求棱求棱CD和平面和平面AA1B1B的距離；的距離；(4)求異面直線求異面直線DD1和和B1C1的距離。的距離。P.F. Productions 8914.3(3)(4) 空間直線與平面的位置關(guān)系直線與平面所成的角P.F. Productions 90線面關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系：1.直線在平面內(nèi)：2.直線與平面相交：3.直線與平面平行：有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點a a AaaAa/a線面相交的特殊情況線面垂直定義：定理2：如

39、果一條直線 l 與平面上的任何直線都垂直如果直線 l 與平面 上的兩條相交直線 a、b 都垂直，那么直線 l 與平面 垂直。今天研究線面相交的一般情況P.F. Productions 911、平面的斜線 當(dāng)直線 l 與平面 相交且不垂直時，叫做直線 l 與平面 斜交，直線 l 叫做平面的斜線。 斜線 l 與平面 的交點M叫做斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段。 lMAP.F. Productions 922、射影l(fā)MA 設(shè)直線 l 與平面 斜交于點 M，過 l 上任意點 A （異于點M），作平面 的垂線，垂足為O，我們把點O叫做點A在平面 上的射影，直線OM叫做直線 l 在

40、平面 上的射影。 O斜線上一點與垂足間的線段叫做這個點到平面的垂線段。垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影。思考：直線l在平面上的射影與點A在l上的取法是否有關(guān)？P.F. Productions 93思考：直線l在平面上的射影與點A在l上的取法是否有關(guān)？AlMAOO假設(shè)在直線l上另取點A（異于M），在面AMO內(nèi)過A作AO/AO交MO于點O。因為AO平面 ，所以AO平面 。所以直線l在平面 上的投影是直線MO（即MO）直線l在平面上的射影與點A在l上的取法無關(guān)！即對于任意一條斜線在平面內(nèi)的射影是唯一的！P.F. Productions 94例1、如圖：正方體ABCD-A1B

41、1C1D1中，（1）線段AB1在面BB1D1D中的射影（2）線段AB1在面A1B1CD中的射影A1D1C1B1ADCBO線段B1OP.F. Productions 95A1D1C1B1ADCBE線段B1E例1、如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）線段AB1在面BB1D1D中的射影（2）線段AB1在面A1B1CD中的射影P.F. Productions 96思考一：通過觀察比薩斜塔，如果把斜塔看成斜線，地面看成面，如何用數(shù)學(xué)知識來描述斜塔的傾斜程度呢？如何求得呢？線面所成的角思考二：異面直線所成的角是如何定義的？思考三：那么斜線與平面所成角是否也可類比定義，轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角？

42、轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成角來定義但經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，選取哪條直線與斜線所成的角來定義直線與平面所成的角呢？由于斜線在一個平面內(nèi)的射影是確定的，而面內(nèi)其它的直線卻具有不確定性！P.F. Productions 97AOBC探究：斜線與射影所成角和斜線與平面內(nèi)任意一條直線的所成角之間的大小關(guān)系？斜線與射影所成角是斜線與平面內(nèi)任意一條直線的所成角中的最小值！P.F. Productions 983、直線和平面所成的角lMAO 規(guī)定斜線 l 與其在平面 上的射影OM所成的銳角叫做直線 l 與平面 所成的角。規(guī)定： 當(dāng)直線 l 與平面 垂直時，它們所成的角等于90 若直線 l 與平面 平行或直線 l

43、在平面 上時，它們所成的角為0 。P.F. Productions 99說明：(1)直線和平面所成角的范圍是2, 0(2)斜線和平面所成角的范圍是2, 0P.F. Productions 100例例2、已知正方體、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中的棱長為中的棱長為1， (1)求直線求直線D1B1和平面和平面A1B1BA所成的角；所成的角；,1111111ABABADBDD上的射影是上的射影是在平面在平面上的點，且上的點，且是是解：解：上的射影。上的射影。在平面在平面是是即即BABABDBA111111所成的角。所成的角。和平面和平面是直線是直線BABABDABD1111111 45111

44、111ABDABDRt中，中，在在 451111所成的角是所成的角是和平面和平面直線直線BABABDBABADA1111平面平面 P.F. Productions 101(2)求直線求直線D1B和平面和平面ABCD所成的角。所成的角。 ,111DABCDDBDD上的射影是上的射影是在平面在平面上的點，且上的點，且是是上的射影。上的射影。在平面在平面是是即即ABCDBDDB1所成的角。所成的角。和平面和平面是直線是直線ABCDBDBDD11 ,2, 11111 DBDDABDRt中，中，在在22arctan1所成的角是所成的角是和平面和平面直線直線ABCDBD解：解：22tan1 BDD得得22

45、arctan1 BDD即即P.F. Productions 102練習(xí)：練習(xí)：如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0oP.F. Productions 103練習(xí)：練習(xí)：如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB

46、1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90oP.F. Productions 104練習(xí)：練習(xí)：如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角C45oA1D1C1B1ADBP.F. Productions 105練習(xí)：練習(xí)：如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角

47、（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30oP.F. Productions 106小結(jié)：求直線與平面所成的角方法小結(jié)：求直線與平面所成的角方法(1)先判斷直線與平面的位置關(guān)系；先判斷直線與平面的位置關(guān)系；(2)當(dāng)直線與平面斜交時，常采用以下步驟：當(dāng)直線與平面斜交時，常采用以下步驟：作出作出(找出找出)斜線上的點到平面的垂線；斜線上的點到平面的垂線；作出作出(找出找出)斜線在平面上的射影；斜線在平面上的射影；求出斜線段、射影、垂線段的長度；求出斜線段、射

48、影、垂線段的長度；解此直角三角形。解此直角三角形。其中關(guān)鍵是確定斜足和垂足其中關(guān)鍵是確定斜足和垂足P.F. Productions 107思考題：已知正六邊形思考題：已知正六邊形ABCDEF的棱長為的棱長為1，PA垂直于垂直于正六邊形正六邊形ABCDEF所在的平面所在的平面M，且，且PA=1。求點。求點P與正與正六邊形各頂點連線和平面六邊形各頂點連線和平面M所成的角；所成的角； BEACDFP；2 ；4 ；6 21arctanP.F. Productions 108(2)點點P到正六邊形各邊的距離。到正六邊形各邊的距離。BEACDFP；1；272P.F. Productions 109AOBC

49、ABAOACAO ACABCOBO COBOACAB ACABCOBO COBOACAB 觀察：從平面外一點引平面的垂線段和斜線段及觀察：從平面外一點引平面的垂線段和斜線段及其射影，你有何發(fā)現(xiàn)？其射影，你有何發(fā)現(xiàn)？P.F. Productions 110ACB O從平面外一點向這個從平面外一點向這個平面所引的垂線段和平面所引的垂線段和斜線段中，斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短）垂

50、線段比任何一條斜線段都短垂線段和斜線段長定理垂線段和斜線段長定理P.F. Productions 111 例例2、點、點P是是ABC所在平面外一點，所在平面外一點，且且P點到點到ABC三三個頂點距離相等，個頂點距離相等，則則P點在點在ABC所所在平面上的射影是在平面上的射影是ABC的的_心。心。PCBAO外外P.F. Productions 112回顧有關(guān)概念：回顧有關(guān)概念：MAM線段線段AM點點OAO直線直線OM線段線段OM lMAO點點A在平面在平面上的射影上的射影點點A到平面到平面的垂線段的垂線段平面平面的一條斜線的一條斜線斜足斜足斜線段斜線段斜線斜線AM在平面在平面上的射影上的射影斜線

51、段斜線段AM在平面在平面上的射影上的射影連連看連連看P.F. Productions 113 例例2、點、點P是是ABC所在所在平面外一點，且平面外一點，且P點到點到ABC三邊所在直線的距三邊所在直線的距離相等，則離相等，則P點在點在ABC所在平面上的射影所在平面上的射影O是是ABC的的_心。心。PCBAO內(nèi)內(nèi)P.F. Productions 114PABCHD例例3、正四面體、正四面體P-ABC中，求側(cè)棱中，求側(cè)棱 PA與底面與底面ABC 所所 成的角。成的角。33arccosP.F. Productions 115PABCHD例例3、正四面體、正四面體P-ABC中，求側(cè)棱中，求側(cè)棱 PA與

52、底面與底面ABC 所所 成的角。成的角。33arccosP.F. Productions 116SACBOFE例例4、如圖如圖 ACB=90 ，S為平面為平面ABC外一點，外一點， SCA= SCB= 60 ，求，求SC與平面與平面ACB所成的角。所成的角。4 P.F. Productions 117AOBC例例5、直線、直線OA與平面與平面 所成的角為所成的角為 ，平面內(nèi)一條直線，平面內(nèi)一條直線 OC與與OA的射影的射影OB所成的角為所成的角為 1 ，設(shè)，設(shè)AOC為為 2 求證：求證：cos 2= cos 1 cos 1 2P.F. Productions 118ABCDA1B1C1D1例例

53、6、已知正方體、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線中，求直線B1C和和 平面平面D1AC所成的角。所成的角。 HP.F. Productions 11914.3(5) 空間直線與平面的位置關(guān)系空間直線與平面的位置關(guān)系P.F. Productions 120(1)直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；線面位置關(guān)系：線面位置關(guān)系： 平平行行：相相交交： l l (2)直線在平面外Pl Pl （僅有一個公共點）（僅有一個公共點）（無公共點）（無公共點） l ll或或/P.F. Productions 121感受校園生活中線面平行的例子感受校園生活中線面平行的例子:天花板平面天花板平面P.F.

54、Productions 122 如果如果和這個平面內(nèi)的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。平行，那么這條直線和這個平面平行。a b已知：直線已知：直線a不在平面不在平面 上，上，b，a b求證：求證： a 1、直線和平面平行的判定定理、直線和平面平行的判定定理簡稱：線線平行簡稱：線線平行線面平行線面平行P.F. Productions 123./ 矛矛盾盾，與與則則baPba .,bbba ，又又即即 ./ 確確定定一一個個平平面面、，babaPa 證證明明：假假設(shè)設(shè)abP /a.,bPPP P.F. Productions 124用該定理判斷直線和平面是否平行時必

55、須具備三個條件：用該定理判斷直線和平面是否平行時必須具備三個條件：直線直線a在平面在平面外，外， 直線直線b在平面在平面內(nèi)，內(nèi)，兩條直線兩條直線a、b平行平行這三個條件缺一不可這三個條件缺一不可.P.F. Productions 125 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。簡稱：線面平行簡稱：線面平行線線平行線線平行已知：已知：a/ ，a ，=b求證：求證：a/b 2、直線和平面平行的性質(zhì)定理、直線和平面平行的性質(zhì)定理 abP.F. Productions 1

56、26 ab已知：已知：a/ ，a ，=b求證：求證：a/b .,/ aa證證明明：., bab./,baba P.F. Productions 127例例1、判斷題、判斷題(4)如果直線和平面平行，那么直線和平面內(nèi)的所有如果直線和平面平行，那么直線和平面內(nèi)的所有 直線平行。直線平行。(3)如果直線和平面平行，那么直線和平面內(nèi)的無數(shù)如果直線和平面平行，那么直線和平面內(nèi)的無數(shù) 條直線平行；條直線平行；(2)如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么直如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么直 線和平面平行；線和平面平行；(1)如果一條直線在平面外，那么直線和平面平行；如果一條直線在平面外，那么直線和

57、平面平行；P.F. Productions 128說明：使用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)說明：使用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì) 定理時，定理時，必須都具備三個條件。必須都具備三個條件。(1)線線平行線線平行線面平行；線面平行；(2)線面平行線面平行線線平行。線線平行。P.F. Productions 129例例2、正方體、正方體ABCD- A1B1C1D1 中，中，P 是平面是平面A1B1C1D1 上的點，過點上的點，過點 P 畫一條直線使之與截面畫一條直線使之與截面A1BCD1 平行。平行。A1AB1D1CBPC1DP.F. Productions 130例例3、已知空間四邊形、已知空間

58、四邊形ABCD中，中，M、N、P、Q分別是分別是 AB、BC、CD、DA的中點。的中點。 求證：求證：BD平面平面MNPQ.ABCDMPNQP.F. Productions 131例例4、在三棱柱、在三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是AC的中點。的中點。 求證：求證：AB1/平面平面DBC1PB1BC1CA1DAP.F. Productions 132例例5、在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，試作出過中，試作出過AC且且 與直線與直線D1B平行的截面，并說明理由。平行的截面，并說明理由。 OMP.F. Productions 133l 如果兩個相交平面分別經(jīng)過兩條平行直線中如果兩

59、個相交平面分別經(jīng)過兩條平行直線中的一條的一條, ,那么它們的交線和這兩條直線平行。那么它們的交線和這兩條直線平行。 ab例例6、求證：、求證：P.F. Productions 134小結(jié)：小結(jié)：2、 “線線平行線線平行”與與“線面平行線面平行”在一定條件下可在一定條件下可互相互相 轉(zhuǎn)化，它們互為條件，互為結(jié)論；轉(zhuǎn)化，它們互為條件，互為結(jié)論；3、在解題過程中，常需將判定定理與性質(zhì)定理相在解題過程中，常需將判定定理與性質(zhì)定理相 結(jié)合，得到需要的結(jié)論。結(jié)合，得到需要的結(jié)論。1、判定定理和性質(zhì)定理三要素；、判定定理和性質(zhì)定理三要素；P.F. Productions 13514.4(1) 空間平面與平面

60、的位置關(guān)系空間平面與平面的位置關(guān)系P.F. Productions 136一、一、二面角二面角1、半平面：半平面：平面的一條直線把平面分為平面的一條直線把平面分為兩兩部分，其部分，其 中的每一部分都叫做一個中的每一部分都叫做一個半平面半平面。l半平面半平面半平面半平面P.F. Productions 137 AB，由，由、的半平面及其交線的半平面及其交線AB所組成所組成的空間圖形叫做的空間圖形叫做二面角二面角。記作：。記作： AB2、二面角的定義：、二面角的定義： 交線交線AB叫做叫做二面角的棱二面角的棱棱棱面面面面AB PQQABP 也記作：也記作：兩個半平面兩個半平面、叫做叫做二面角的面。