三角函數(shù)和差化積與積化和差公式(附證明和記憶方法)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上和差化積和積化和差公式正弦、余弦的和差化積 【注意右式前的負(fù)號】 證明過程 sin +sin =2sin(+)/2·cos(-)/2的證明過程 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 將以上兩式的左右兩邊分別相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 設(shè) +=，-= 那么 ， 把，的值代入，即得 sin +sin =2sincos正切和差化積tan±tan= cot±cot= tan+cot= tan-cot=證明：左邊=tan±tan= = =右邊

2、 在應(yīng)用和差化積時，必須是一次同名三角函數(shù)方可實行。若是異名，必須用化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降為一次 記憶口訣（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 生動的口訣： 帥+帥=帥哥帥-帥=哥帥 咕+咕=咕咕哥-哥=負(fù)嫂嫂 積化和差公式 （注意：此時差的余弦在和的余弦前面） 或?qū)懽鳎?（注意：此時公式前有負(fù)號） 證明 積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。 即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明： 其他的3個式子也是相同的證明方法。 結(jié)果除以2這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值

3、域應(yīng)該是-2,2，而積的值域確是-1,1，因此除以2是必須的。 也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2，如： cos(-)-cos(+) =1/2(cos·cos+sin·sin)-(cos·cos-sin·sin) =2sin·sin 故最后需要除以2。 使用同名三角函數(shù)的和差無論乘積項中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。 使用哪種三角函數(shù)

4、的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以反過來，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。 是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯的一項。規(guī)律為：“小角”以cos的形式出現(xiàn)時，乘積化為和；反之，則乘積化為差。 由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果的形式是cos，那么若把替換為-，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含+和-的兩項調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似說明。 正弦-正弦積公式中的順序相反/負(fù)號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。 當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如0,內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以cos(+)不大于cos(-)。但是這時對應(yīng)的和在0