2018版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算理解析

1、1第五章平面向量 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算理基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)H知識(shí)梳理-1 .向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量；向量的 大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為 0 的向量；其方向是任意的記作 0單位向量長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為土呂|a1平行向量方向相同或相反的非零向量0 與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做 共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0 的相反向量為 02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

2、加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算a(1)交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：(a+b) +c=a+ (b+c)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算ab=a+ ( b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算(1)1 入a| = | 入 |a| ；(2) 當(dāng)入0 時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)入0 時(shí)，入a(1) 入(卩a)=(入3) a；(2) (入+3)a=入a+ 3a；2的方向與a的方向相（3）入（a+b）=入a+ 反;當(dāng)入=0 時(shí)，入a入b=03.共線向量定理向量a（a0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使a.【知識(shí)拓展】1 一般地， 首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

3、量， 即AX+AX+AX+, + nAT=AAn,特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和 為零向量.2 .若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，貝 yOP= *OAV OB.3.6A匕入 濡 卩OC入，卩為實(shí)數(shù)），若點(diǎn)A,B, C共線，貝 y 入+卩=1.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“V”或“ 3”）（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量.（3）（2）|a|與|b|是否相等與a,b的方向無(wú)關(guān).（V）若a/b,b/c,貝 Ua/c.（3）若向量ABW向量 敘共線向量，則A,B, C, D四點(diǎn)在一條直線上.（3）（5）當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線時(shí)，一定有b

4、=入a,反之成立.（V）考點(diǎn)自測(cè)1給出下列命題：零向量的長(zhǎng)度為零， 方向是任意的；若a,b都是單位向量，則a=b；向量AB與BA相等.則所有正確命題的序號(hào)是（）A.B.C.D.答案 A解析 根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；向量Ai與BA互為相反向量，故錯(cuò)誤.32.教材改編）D是厶ABC勺邊AB上的中點(diǎn)，則向量Ct等于（A. BCT1BAT1TC.BC BA答案 A解析如圖，SD-CBE3D-CBr1BA= C 2BA3.對(duì)于非零向量a,b,“a+b= 0”是“a/b”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不

5、充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件 答案 A解析當(dāng)a+b= 0 時(shí)，a=b,.a/b；當(dāng)a/b時(shí)，不一定有a/b”的充分不必要條件.AB=入a+b,AC= a+1b（入，i R），那么A,B, C三點(diǎn)B.入一i =1D.入i= 1所以 入a+b=t（a+ib） =ta+1ib, =t,即可得所以入i= 1，故選 D.1=ti ,5 .在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)Q為AD=入AO,貝U入=_答案 2解析 由向量加法的平行四邊形法則，a=b,.a+b= 0” 是4已知a,b是不共線的向量, 共線的充要條件是（）A.入+卩=2C.入= 1答案 D解析由AB=入a+b,

6、AC= a+ib（入，1 R）及A,B, C三點(diǎn)共線得XB=tAC,B.目 C勢(shì)4得陥AD=AC又0是AC的中點(diǎn)，AC=2AQ XC= 2AOAB+ AD=2A0又AB+AD=入AO -入=2.題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一 平面向量的概念例 1 給出下列四個(gè)命題：1若 |a| = |b|，則a=b；2若A B, C, D是不共線的四點(diǎn)，貝 yXB=DC1四邊形ABC為平行四邊形的充要條件；3若a=b,b=c,貝 Ua=c；4a=b的充要條件是|a| = |b|且a/b.其中正確命題的序號(hào)是()A.B.C.D.答案 A解析 不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.2正確.AB

7、=DC ! AB= |DC且AB/DC又A,B,C, D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD平行四邊形；反之，若四邊形ABCC為平行四邊形，則AB/BCa|AB|=|5C, AB=6C3正確. a=b,.a,b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b=c,b,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a=c.4不正確當(dāng)a/b且方向相反時(shí)，即使|a| = |b|，也不能得到a=b,故|a| = |b|且a/b不 是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是.故選 A.思維升華 向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1) 向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.(2) 非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)

8、有限制.5相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.6（5）零向量的關(guān)鍵是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是 0,規(guī)定零向量與任何向量共線.d 1設(shè)ao為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量， 則a= |a|a。；若a與a。平行, 則a= |a|ao;若a與ao平行且|a| = 1，則a=ao.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a與|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故是假命題型二 平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn) 1 向量的線性運(yùn)算21A3b+ 3c21C.3b-3c（2）（20152 課標(biāo)全國(guó)I）設(shè)

9、。為厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若BC= 3&b則（A.AD=-3AB+D.AD=臥B- JAC33答案(1)A(2)A解析(1)：或=2bc AD-XB=BD=25C=2(ACAD,.3Xb= 2ACAB,/BC=3CDAC XB= 3(AD-AC,即4AC- XB=3AbAb=- 3AB+3D. 3題；若a與ao平行，則a與ao的方向有兩種情況： 一是同向，二是反向,反向時(shí)a= |a|ao,故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.例 2(1)在厶ABC中,AB= c,AC=b，若點(diǎn)D滿足BD= 2DC,則AD等于（B.C.AD=1ACAD=17命題點(diǎn) 2 根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)12_歩

10、例 3(1)設(shè)b E分別是ABC的邊AB BC上的點(diǎn)，AD=AB BE=：BC若6E=23（入1、入2為實(shí)數(shù)），則入1+入2的值為入1AB入2AC8(2)在厶ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC=3 充點(diǎn)0在線段CD上(與點(diǎn)C, D不重合)，若AO- xAB+(1 x)AC貝U x的取值范圍是()A. 0, 2B.0，；C. -2,0D. -3,0答案2D 解析DE= DB BE=2AB+3BC23(2)設(shè)CO yBC, /Xc=AC+CO=AC yBC= AC y(ACAEB=yAB+(1+y)AC BC=3CD點(diǎn)0在線段CD上 (與點(diǎn)C, D不重合)，ye0,1，AO-XAB+(1

11、x)AC x= y, x 1,0 .思維升華 平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1) 向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.(2) 求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則； 求首尾相連向量的和用三角形法則.(3) 求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較求參數(shù)的值.心上 17 1 如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD勺兩邊AB AD分別交于E F兩點(diǎn)，且交2i對(duì)角線AC于點(diǎn)K,其中，AE=；ABXF=-ADAK=入瓜C貝 y 入的值為()521入1=6,2 1入2= 3,即入?yún)`入2= 2=?AB+3(

12、熱AC=-92由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，可得入=9， 故選 A.題型三共線定理的應(yīng)用例 4 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB= a+b,BC=2a+ 8b,CD=3(ab),求證：A,B,D三點(diǎn)共線；試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.(1)證明AB= a+b,BC=2a+ 8b,CD=3(ab),- BD= BC+CD=2a+ 8b+ 3(ab)=2a+ 8b+ 3a 3b= 5(a+b) = 5ABABBD共線.又它們有公共點(diǎn)B,.A,B, D三點(diǎn)共線.解假設(shè)ka+b與a+kb共線， 則存在實(shí)數(shù)入，使ka+b=入(a+kb),即（k入）a=（入k 1）b.又a,b是兩個(gè)不共線的非零

13、向量，k一入=入k 1 = 0.2A.92B.72C. -52D3XC=ABADAK 入AC=入(AB+ AD)答案AF=舟電解析由向量加法的平行四邊形法則可=2 入AE 2 入AF,10消去入，得k 1 =0 ,.k= 1.思維升華（1）證明三點(diǎn)共線問(wèn)題， 可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)入1,入2,使入怕+入2b= 0 成立，若 入怕+入2b=0，當(dāng)且僅當(dāng) 入1=入2= 0 時(shí)成立，則向量a、b不共線.mv（1）已知向量XB=a+ 3b,BC=5a+ 3b,3a+ 3b,則（）A.A,B

14、, C三點(diǎn)共線B.A,B, D三點(diǎn)共線C. A,C, D三點(diǎn)共線D. B,C, D三點(diǎn)共線如圖所示，設(shè)0是厶ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且OAF2 昴 則厶ABC與AOC的面積之比為答案(1)B(2)2解析(1)vb=BCF6D=2a+6b=2(a+3b)=2AB.BD AB共線，又有公共點(diǎn)B,A,B, D三點(diǎn)共線.故選 B.取AC的中點(diǎn)D,連接OD則OAF 0C=20D 3B=AD.O是AC邊上的中線BD的中點(diǎn), -SAABC=2SAOAC,ABC與AOC面積之比為 2.11現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列5容易忽視的零向量典例下列敘述錯(cuò)誤的是_ 1若a/b,bIIc,貝 UaIIc.2若非零向量a與b方向相同或相反，貝

15、Ua+b與a,b之一的方向相同.3丨a| +1b| = |a+b| ?a與b方向相同.4向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得b=入a.5ABr BA= 0.6若 入a=入b,貝V a=b.錯(cuò)解展示解析 中兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量，XB+BA= 0.答案現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解析 對(duì)于，當(dāng)b= 0 時(shí)，a不一定與c平行.對(duì)于，當(dāng)a+b= 0 時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都 不相同.對(duì)于，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立.對(duì)于，當(dāng)a= 0 且b= 0 時(shí)，入有無(wú)數(shù)個(gè)值；當(dāng)a= 0 但b* 0 或a* 0 但b= 0 時(shí)， 在.對(duì)于，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以XB+BA=0.對(duì)于，當(dāng)

16、 入=0 時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有入a=入b，此時(shí)不一定有故均錯(cuò).答案糾錯(cuò)心得在考慮向量共線問(wèn)題時(shí)，要注意考慮零向量.課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)1 .已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a+b| = |a| + |b|，則下列說(shuō)法正確的是（）A.a+b= 0B. a=bC. a與b共線反向D.存在正實(shí)數(shù)入，使a=入b入不存a=b.12答案 D解析 因?yàn)閍,b是兩個(gè)非零向量，且|a+b| = |a| + |b|，貝U a與b共線同向，故 D 正確.2 .已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a共線，則向量a+b+c等于（）A.aB. bC. cD. 0答案 D解析 依題意

17、，設(shè)a+b=mc,b+c=na,則有（a+b） （b+c） =mcna,即卩a-c=mcna.又a與c不共線，于是有 m= 1,n= 1,a+b= c,a+b+c= 0,選 D.3.已知KB=a+2b,BC= 5a+ 6b, &= 7a 2b,則下列一定共線的三點(diǎn)是（）A.A,B, CB.A,B, DC.B,C, DD.A,C, D答案 B解析 因?yàn)锳D=XB+C+CD=3a+ 6b= 3（a+ 2b） = 3AB又AB AD有公共點(diǎn)A,所以AB, D三點(diǎn)共線.4 .已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及厶ABC若PA+PB+PC= AB則點(diǎn)P與厶ABC的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段B

18、C上C.點(diǎn)P在線段AC上D.點(diǎn)P在厶ABC外部答案 C解析 由陥電PC=AB得PA+PC=XB-PB=AP即Po=XFPA=2AP,所以點(diǎn)P在線段AC上.5.如圖所示，在厶ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB, AC于不同的兩點(diǎn)M N,若AB= mAM AC=nXN,貝U m+n的值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案 B解析TO為BC的中點(diǎn)，13 KO=2(XB+X(C=2( mAM nKN=MF號(hào)尿一一八、m n M Q N 二點(diǎn)共線， 2+ 2=1，- mFn=2.6 .設(shè)P為銳角ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，AP= k(AB+ AC)(k R)，若 cos

19、 /BAG=2，則k等于()5答案 A解析 取BC的中點(diǎn)D,連接PD, AD則PDL BC鯨AC= 2AD/ AP= k(AB+XC)(kR),辰 2kADA,P, D三點(diǎn)共線,AB= AC,DP DP2 cosZBAC=cosZDPC=u=：,PC PA 5AF=5AD /.2 k= 7,解得k=詈,故選 A.7.(20152 課標(biāo)全國(guó)n)設(shè)向量a,b不平行，向量 入a+b與a+ 2b平行，則實(shí)數(shù) 入= 答案 2 解析T向量a,b不平行，a+ 2bz0,又向量 入a+b與a+ 2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)入=卩， 卩，使 入a+b=y(a+2b)成立，即入a+b=a+2 卩b,則得二n1=2,

20、8.(20162 濱州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a,b,c滿足c=xa+yb(x,y R),貝U x+y=_.答案135解析如圖，取單位向量i,j,2B.石 c.D.解得入=14則a=i+ 2j,b=2i-j,c= 3i+ 4j. c=xa+yb=x(i+ 2j) +y(2i-j) = (x+ 2y)i+ (2xy)j,_11X+ 2y= 3,X 5，2xy= 4,2ly=5，13x+y=T9設(shè)a,b不共線，XB= 2a+pb,BCa+b,CD= a2b,若A,B,D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值是_ 答案 1解析/Bo= a+b,2b= a 2b,- Bb=

21、BC+ Cb=2ab.又A,B,D三點(diǎn)共線，AB Bt共線.設(shè)XB=入EBD2 a+pb=入(2ab), a,b不共線， 2= 2 入，p=入，入=1 ,p= 1.*10.設(shè)G ABC的重心，且 sinA&A sinB2 &聊 sinC2 (?C= 0,則角B的大小為答案 60解析 /6是厶ABC的重心，GAF帚GC=0,GA= (GB，將其代入 sinA2GAFsinB2GBF sinC2GC=0，得(sinB sinA)GB (sinC sinA)GC=0.又6B&不共線， sinB sinA=0, sinC sinA= 0,則 sinB= sinA= sinC根據(jù)正弦定理知b=a=c, ABC是等邊三角形，則角B= 60.41511.如圖，在厶ABC中,DE分別為BG AC邊上的