平面向量復(fù)習(xí)(公開課精華)

1、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)單位向量及零向量平行向量和共線向量平行與垂直的條件向量向量有關(guān)概念向量的運(yùn)算基本應(yīng)用向量的定義相等向量及相反向量向量的加法向量的減法實(shí)數(shù)和向量的積向量的數(shù)量積求長(zhǎng)度求角度一、向量的概念一、向量的概念1、向量：既有向量：既有 ，又有，又有 的量的量 叫做向量。叫做向量。 大小大小方向方向二、向量的表示二、向量的表示 1、代數(shù)字母表示：aAB 或 2、幾何有向表示：（有向線段、作圖） 3、坐標(biāo)表示：（綜合運(yùn)算）axiy j），（yx），（yxOA xyaiO(x,y)jAaxy（可運(yùn)算）向量的兩要素：向量的兩要素：大小大小方向方向和（與位置無關(guān)，沒有大?。ㄅc位置無關(guān)，沒有大?。﹟

2、aAB 或三、幾個(gè)特點(diǎn)向量三、幾個(gè)特點(diǎn)向量3、相等、相等向量：向量： 的向量叫相等向量。的向量叫相等向量。 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為10任意的任意的平行平行2、單位、單位向量：向量： 的向量叫單位向量。記作的向量叫單位向量。記作 。 1、零向量：零向量： 的向量叫零向量。記作的向量叫零向量。記作 ， 零向量的方向是零向量的方向是 ，零向量與任意向量，零向量與任意向量 。 4、相反、相反向量：向量： 的向量叫相反向量。的向量叫相反向量。 5、平行、平行向量：向量： 的向量叫平行向量。的向量叫平行向量。 注意：共線向量也稱平行向量注意：共線向量也稱平行向量長(zhǎng)度為零長(zhǎng)度為零長(zhǎng)度相等，方向相反長(zhǎng)度相等，方向相反長(zhǎng)

3、度相等，方向相同長(zhǎng)度相等，方向相同表示向量的一些有向線段，平行或在一直線上表示向量的一些有向線段，平行或在一直線上|aa6、請(qǐng)說出以上向量的相互關(guān)系？、請(qǐng)說出以上向量的相互關(guān)系？三、向量的運(yùn)算三、向量的運(yùn)算（一）向量的加法（一）向量的加法ABC三角形法則：ABCD平行四邊形法則：ab2、坐標(biāo)運(yùn)算：、坐標(biāo)運(yùn)算：），（，），（設(shè)2211yxbyxa b ba a則），（2121yyxx1、作圖、作圖（二）向量的減法（二）向量的減法ABADDB 2、坐標(biāo)運(yùn)算：），（，），（設(shè)2211yxbyxa b ba a則），（2121yyxx1、作圖、作圖 平行四邊形法則：abab+ab+ABBCAC ()a

4、Ra（1）長(zhǎng)度：）長(zhǎng)度：（2）方向：）方向： 時(shí)，當(dāng)0aa與 異向，時(shí)當(dāng)0aa與 同向時(shí)，當(dāng)00aa（三）數(shù)乘向量（三）數(shù)乘向量a bab（）aaa （）aa 、數(shù)乘向量的運(yùn)算律：3：、數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算2的大小和方向：、 a1axyxy（ ， ）（，）4、平面向量基本定理、平面向量基本定理12121 122eeaaee 如果， 是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， 使1、平面向量數(shù)量積的定義：bacos|ba 2、數(shù)量積的幾何意義：|cos.aabab等于 的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積OABB1(四四) 數(shù)量積數(shù)量積abba）（1）（）（）（b

5、ababa2cbcacba ）（34、運(yùn)算律:2121yyxxba3、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向同向ab=|a|b|反向時(shí)反向時(shí)ab=-|a|b| a2=aa=|a|2(aa= )cos=|ab|a|b| |baba2a平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積ab的性質(zhì)的性質(zhì):四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定共線向量的判定)）（）（0/1aabba122111222/0bax yx yaxybxy（ ），其中（ ， ）， （ ， ） |32211AByxByxA），

6、則，（），（）若（|a 22xy221221）（）（yyxx2axy（ ）設(shè)（ ， ），則六、向量的長(zhǎng)度六、向量的長(zhǎng)度21|a aa （），2|aa七、向量的夾角七、向量的夾角cos|a ba b 向量表示向量表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示向量表示向量表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示222221212121yxyxyyxx特別注意：特別注意：00cos0為銳角或ba為鈍角或0cos0ba 由此，當(dāng)需要判斷或證明兩向量夾角為銳角或鈍角時(shí)，應(yīng)排除夾角為0或 的情況，也就是要進(jìn)一步說明兩向量不共線。例例1 e1、e2不共線，不共線，a=e1+e2 b=3e13e2 a與與b是否共線。是否共線。典型例題分析典型例題分析:

7、:解：假設(shè)解：假設(shè),a與與b共線則共線則 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 這樣這樣不存在。不存在。 a與與b不共線。不共線。例例2 設(shè)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量。是兩個(gè)不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共線則共線則k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1例例3、 已知已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3

8、m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b例例4、 |a|=10 b=(3,-4)且且ab求求a解：設(shè)解：設(shè)a =(x,y) 則則 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)例例5、 設(shè)設(shè)|a|=|b|=1 |3a-2b|=3則則|3a+b|=_解：解：法法1 a=(x1y1) b=(x2,y2) x12+y12=1 x22+y22=1 3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9 x1x2+y1y

9、2= 3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2) |3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2 =9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12(3a+b)=2331法法2 9=9a2+4b2-12ab ab= 又又,(3a+b)2=9a2+b2+6ab=12 |3a+b|=2313212121,602,32.oe eaeebeeab 例6、設(shè)為兩個(gè)單位向量且夾角為。若。求 與 的夾角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可

10、得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =1207123 21323abkkababkabab 例 、已知（， ）， （， ），當(dāng)為何值時(shí)，（）與垂直。（ ）與平行。平行時(shí)它們是同向還是反向？（1）k=19（2） , 反向31k8. 0,(cos ,sin ),aabcabc例若向量則 與 一定滿足( )以上都不對(duì)以上都不對(duì) D. )()( C.0 B. A.cbcbcbab 8. 0,(cos ,sin ),aabcabc例若向量則 與 一定滿足( ).()(0)(1sincos, 12222cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案

11、C 9. , _.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中則 是的心 解解 ()0, 0,.OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCAOCAB OABCOABC 由得：即同理故 是的垂心考點(diǎn)歸納考點(diǎn)歸納 1、向量的概念、向量的概念 2、實(shí)數(shù)與向量的積、實(shí)數(shù)與向量的積 3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 4、線段的定比分點(diǎn)、線段的定比分點(diǎn) 5、平面向量的數(shù)量積、平面向量的數(shù)量積練習(xí)練習(xí)一、選擇題：一、選擇題：1、如圖所示，如圖所示，G為為ABC的重心，則的重心，則GA+GB-GC等于（等于（ ） A. 0 B. GE C. 4GDD. 4GF2、若若a=(,2)，

12、b=(-3,5)，且，且a與與b的的夾角為鈍角，則夾角為鈍角，則的取值范圍是的取值范圍是( ) A. B. C. D.3、已知已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，則，則a和和b的夾角的夾角是（是（ ） A.120。 B.150。 C.60。 D.30。310310310310ABDCGFEDAA4、已知已知|a|=|b|=1,a與與b的夾角為的夾角為90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（ ） A. -6B. 6C. 3D. -35、已知已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，則則a與與b的夾角為（的夾角為（ ） A. 30。 B. 60。 C. 120。

13、D. 150。6.若若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5,則則ab=( ) A.10 B.-10 C.10 D.1033232041BCA二、解答題：二、解答題：7、已知已知e1與與e2是夾角為是夾角為60。的單位向的單位向量，且量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求求ab及及a與與b的夾角的夾角。解解：e1,e2是單位向量，且夾角為是單位向量，且夾角為60。 e1.e2=|e1|e2|cos60。= ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2) =-6|e12|+e1e2+2e22=-3而而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3

14、e1+2e2)2=9e12-2e1e2+4e22=7|a|= |b|= cos= =120。21217721|baba 8、（、（1）已知已知a,b都是非零向量，且都是非零向量，且a+3b與與7a-5b垂直垂直,a-4b與與7a-2b垂直，垂直，求求a與與b的夾角；的夾角；(2)已知已知|a|= ,|b|= ，且且a與與b的夾角為的夾角為 ，試求，試求a+2b與與a-b的夾角的夾角的大小。的大小。解解：（：（1）(a+3b)(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=0 7a+16ab-15b=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos= =60。32621|bab

15、a（2）a2=3 b2=4 |a|b|=2 ab=|a|b|cos= cos30。=333)arccos(cos12)(|3144)2(|2|3131231312|2|)(2(222222QQbabababababababababababa 9、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為邊上的高為AD。（1）求證：）求證：ABAC；（2）求點(diǎn)）求點(diǎn)D和向量和向量AD的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（3）求證：）求證：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 AB