專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問題

1、專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問題典藏回顧我們收集、解讀近 5 年全國各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題，以全?。ㄊ校┙y(tǒng)一考試的北京、上 海、重慶、山西、陜西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市為單位統(tǒng)一考試的江蘇、浙 江、廣東、山東、湖北、湖南、福建、四川、遼寧等地的試題為樣本，分析各地考試壓軸題 的常見類型。等腰三角形的存在性問題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，近五年上海、重慶和江蘇、浙江、廣東、湖北等省份的部分市考到過這個(gè)問題，也是上海各區(qū)模擬考試的熱點(diǎn).專題攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在AB= ACBA= BC,CA= CB三種情況. 已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分

2、線.解等腰三角形的存在性問題， 有幾何法和代數(shù)法， 把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn).針對訓(xùn)練1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D在坐標(biāo)為（3 , 4），點(diǎn)P是x軸正半軸上的一2.如圖，在矩形ABCDh AB=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P以 2 個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以 1 個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩 點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停止運(yùn)動(dòng).在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過程中，當(dāng)PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值.（08 南匯 25）個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果D

3、OP1等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（3.如圖，直線y= 2x+ 2 與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q,如果APC是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).三年真題5. （11 湖州 24）如圖 1，已知正方形OABC勺邊長為 2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸 上，M是BC的中點(diǎn).RO,m）是線段OCh動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)厶APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；（3） 設(shè)過P、M B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作直線ME勺垂線，垂足為H（如圖 2）.當(dāng)點(diǎn)P從

4、O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長（不 必寫解答過程）.4. （12 臨沂 26）如圖，點(diǎn)A在x軸上,OA=4，將線段0A繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120。至0B的位置.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過AO B的拋物線的解析式；（3 ）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.P、O B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三CBC7U6.0A”O(jiān)A卜八圖 1圖 26. (10 南通 27)如圖，在矩形ABCD中,AB= m(m是大于 0 的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)連結(jié)DE作EF丄DE EF與射線BA交于點(diǎn)F,設(shè)CE

5、=x,BF=y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若 m= 8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？(3)若 y 空，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少?m兩年模擬7. ( 2012 年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21 題)如圖，在ABC中，AB= AC=10,BC=16,DE=4.動(dòng)線段DE(端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始)沿BC以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.過點(diǎn)E作EF/AC交AB于點(diǎn)F(當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合)，聯(lián)結(jié)DF,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t 0).(1) 直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE EF的長；(2)在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，DEF能否為等腰

6、三角形？若能，請求出(3)設(shè)M N分別是DF EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,& (寧波七中 2012 屆保送生推薦考試第 26 題)y=3x 2 3經(jīng)過點(diǎn) C,交 y 軸于點(diǎn) G.(1 )點(diǎn) C D 的坐標(biāo)分別是 C (), D ()；(2) 求頂點(diǎn)在直線 y =3x 2 3上且經(jīng)過點(diǎn) C、D 的拋物線的解析 式；(3) 將(2)中的拋物線沿直線 y = 3x 2 3 平移，平移后的拋物 線交 y 軸于如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，矩形 ABCD 勺邊 AB 在 x 軸上，且AB= 3, BC=2 3，直線點(diǎn) F,頂點(diǎn)為點(diǎn) E (頂點(diǎn)在 y 軸右側(cè)).平移后是否存在 這樣的拋物線，

7、使 EFG 為等腰三角形？若存在，請求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.自編原創(chuàng)9.如圖，已知ABC中,AB= AC=6,BC=8,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上, /ADE=ZB.設(shè)BD的長為x,CE的長為y.(1 )當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長；(2) 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3) 如果ADE為等腰三角形，求x的值.參考答案：1 因?yàn)镈(3, 4)，所以O(shè)D=5,COS DOP3 .由y= 2x+ 2 得，A 1, 0) ,B(0 , 2).所以O(shè)A=1,OB=2. 如圖，由AOBAQOP得OP：OQ= OB OA=2 ： 1 .設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

8、0 ,m)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m0).因此AP= (2m1)2,AQ= mi+ 1,PQ=mi+ (2m)2= 5ni.如圖 1，當(dāng)PD= PO時(shí)，作在 RtOPE中,COS DOPPELOD于E.OE 3，OE5，所以0025此時(shí)點(diǎn)25P的坐標(biāo)為（,0）.62，當(dāng)OP= OD=5 時(shí),3，當(dāng)DO= DP時(shí)，點(diǎn)0)H P第 1 題圖 22 .在 Rt ABC中,ACAB2BC2628210.因此COSACB4如圖 1，當(dāng)CPCQ時(shí)，t 10 2t，解得t如圖 2，當(dāng)QPQC時(shí)，過點(diǎn)Q作QMLAC于M則CMk丄PC25 t.4在 Rt QM(中,cos QCM -5CMCQ亍，解得如圖3，當(dāng)P

9、作PNLBC于N則CN=-QC21t一2，解得tCP 10 2t804在 RtPNC中,cos PCN -5綜上所述，當(dāng)t為10秒、25秒、80秒時(shí)，PQC為等腰三角形.3980(秒)21212如圖P的坐標(biāo)為（6 , 0）.D第 1 題圖 3點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5 ,D在OP的垂直平分線上， 此時(shí)點(diǎn)在厶PQC中,CQ= t,CP=10 2t.第 2 題圖 1第 2 題圖 2第 2 題圖 341當(dāng)AlAQ時(shí)，AP2=AQ,解方程(2m 1)2=ra+ 1,得m 0或m點(diǎn)P不存在.當(dāng)QA= QP寸，QA=QP,解方程m+ 1= 5m,得m4. ( 12 臨沂 26)(1) 如圖，過點(diǎn)B作BC丄y軸，垂足

10、為C.在 RtOBC中/BO= 30 ,OB=4，所以BC= 2,OC 2一3.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2, 2.3).(2)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x 4), 代入點(diǎn)B( 2, 2 . 3) , 2 3 2a ( 6) 解得a3.6所以拋物線的解析式為y3x(x 4)3x23x.663(3) 拋物線的對稱軸是直線x= 2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y).1當(dāng)OP= OB=4 時(shí)，OP= 16.所以 4+y2= 16.解得 y 2 3 .當(dāng)P在(2, 2 . 3)時(shí)，B、O P三點(diǎn)共線.2當(dāng) BABO=4 時(shí)，BP= 16.所以 42(y 2廚代.解得y1y22

11、 忑.3當(dāng)PB= PO時(shí)，PB=PO.所以 42(y2盡22y2.解得 y2 爲(wèi).綜合、，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(2, 2 3).iOrP 當(dāng)PA= PQ時(shí),PA=PQ,解方程(2m 1)2= 5 吊，得m25.所以P(42.5,0)第 3 題圖-.所以符合條件的312.所以P(1,0).第 4 題圖5.( 11 湖州 24) (1)因?yàn)镻C/DB所以pM.因此PM= DM,Cl BD=2 m所BD DM MB以AD=4 m于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 4 m.(2)在厶APD中, AD2(4 m)2,AP2m24, PD2(2PM)24 4(2 m)2.1當(dāng)AP= AD時(shí)，(4 m)2m24.解得m

12、3(如圖 1)22當(dāng)PA= PD時(shí)，m244 4(2 m)2.解得m4(如圖 2)或m 4(不合題意，舍去).33當(dāng)DA= DP時(shí)，(4 m)24 4(2 m)2.解得m2(如圖 3)或m 2(不合題意，舍去).3綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時(shí)，m的值為3,4或2.233另解第(2)題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計(jì)算更簡單:1如圖 1，當(dāng)AP= AD時(shí)，AM垂直平分PD,那么PCMhMBA所以匹1.因此PC1,m3.CM BA 2222如圖 2，當(dāng)PA= PD時(shí)，P在AD的垂直平分線上.所以DA=2PO因此4 m 2m.解得m4.3(3 )點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為 -5.思路是這

13、樣的：4如圖 4，在 RtOHM中，斜邊0M為定值，因此以0M為直徑的OG經(jīng)過點(diǎn)H,也就是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過的圓心角怎么確定呢？如圖5,P與O重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，/COH=45,/CG= 90.第 5 題圖 36. （ 10 南通 27）因?yàn)?EDC與/FEB都是/DEC勺余角，所以/EDC=ZFEB又因?yàn)?C=ZB= 90,所以DC0AEBFCE18整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y丄X2-x.mm1212如圖1,當(dāng)作8時(shí)，y x2x -（X 4）22.8 8因此當(dāng)x= 4 時(shí)，y取得最大值為 2.12 1 8若 y ，那么x2x.整理，得x28xmm m m解得x= 2 或x=

14、6.要使DEF為等腰三角形，只存在ED= EF的情況.因?yàn)镋BF所以CE= BF,即卩x=y.12將x=y= 2 代入 y ，得 m= 6 （如圖 2）;mm= 2（如圖 3）.將x=y= 6 代入 y12，得第 6 題圖 1第 6 題圖 2因此DCEB12 0.7 ( 1) BE t 4 ,EF5(t 4)8(2)ADEF中，/DEF=ZC是確定的.如圖 1，當(dāng)蘭DE= DF時(shí)，DEEF- ?即45(t84)解得t156ABBC101625如圖 2，當(dāng)蘭ED= EF時(shí)，4 5(t 4).解得t1285如圖 3，當(dāng)蘭FD= FE時(shí)，F(xiàn)EAC5(t即84)10解得 t0，即D與B重合DE BC4

15、16第 7 題圖 1第 7 題圖 2第 7 題圖 3Ml/TDE MN=2,MN掃過的形狀是平行四邊形.如圖 4,運(yùn)動(dòng)結(jié)束，N在AC的中點(diǎn)，N到BC的距離為 3;如圖 5,運(yùn)動(dòng)開始，D與 B 重合，M到BC的距離為 2 .4所以平行四邊形的高為339，面積為9294442& ( 1)C(4,2 3),D(1,2 3)(2)頂點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，橫坐標(biāo)為-，代入直線y= 3x 2 3，得y-J .2 2設(shè)拋物線的解析式為y a(x5)2仝，代入點(diǎn)C(4,2 . 3)，可得a亙.223(3)皿卜是厶FDE的中位A第 7 題圖 5所以物線的解析式為y L2(x39. (1)當(dāng)D為BC的

16、中點(diǎn)時(shí)，ADL BC,DEL AC,CE83 (2)如圖 1,由于/ADC=ZADEFZ1，/AD(=ZB+Z2,ZADE=ZB,所以/ 1 =Z2. 又因?yàn)锳B= AC所以ZC=ZB.所以ABD因此DC些 即上AB BD6 x 14整理，得yx2x.x的取值范圍是 0wx &63(3)如圖 1,當(dāng)DA= DE時(shí)，DCEAABD因此DC= AB8 x= 6.解得x= 2.2如圖 2,當(dāng)AD- AE時(shí)，D與B重合，E與C重合，此時(shí)x= 0.3如圖 3，當(dāng)EA=ED時(shí)，ZDAE=ZADE=ZB=ZC,所以DACAABC因此6.解得x -.8 2(3)由頂點(diǎn)E在直線y= 3x2,3 上， 可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,23)，直線與y軸正半軸的夾角為 30,即/EGF=30設(shè)點(diǎn)E