專題19平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示-2018年高考數(shù)學(xué)(文)熱點(diǎn)題型和提分秘籍

1、專題19平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示【高頻考點(diǎn) 解讀】1. 了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件執(zhí)占八、八、熱點(diǎn)題型一平面向量基本定理及其應(yīng)用1T例 1、如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC,且 AD = 3BC, E, F 分別為線段 AD 與 BC 的中點(diǎn)。設(shè) BA=a, BC = b,試用 a, b 為基底表示向量 EF, DF , CD。解析:E DGD 二 CF 十膽=為一仙軌【提分秘籍】用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路（1）合理地選取基底是解題必須具備的意識(shí)和能力

2、。用基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決。（2）要注意運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)、定理來(lái)解題。熱點(diǎn)題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例 2、【2017 課標(biāo) 3,文 12】在矩形 ABCD 中，AB=1 , AD=2，動(dòng)點(diǎn) P 在以點(diǎn) C 為圓心且與 BD 相切的圓上.若APC.5【答案】A設(shè)A（01）廚（QO）Q（Z 1）.尸兀y）2d根協(xié)等面積公式可得13的半徑罡丐J即圓的方程是（入-盯+ h 二彳=-1),55 =2:0)、若滿足1? =AA+JUA5/ . , = -.2=l-j=-y+1 , BP-y+l-z=O二 T222I224點(diǎn)P（x,y ）在圓（x-2）打蔦上，所以圓心

3、到直線的距離所以z的最大值是 3,即九+4 的最大值是 3,故選 A?！咀兪教骄俊恳阎?A( 2, 4), B(3, - 1), C(-3, -4)，設(shè) AB = a, BC = b, CA= c,且 CM = 3c, CN=2b。= AB AD，則 + J 的最大值為A. 3l2-z【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系11(1)求 3a + b 3c;求滿足 a = mb+ nc 的實(shí)數(shù) m, n;求 M , N 的坐標(biāo)及向量 MN 的坐標(biāo)。解析：由已知得 a= (5, 5), b= ( 6, 3), c= (1, 8)。(1)3a + b 3c = 3(5, 5)+ ( 6, 3) 3(1

4、 , 8) = (15 6 3, 15 3 24) = (6, 42)。(2) / mb+ nc= ( 6m+ n， 3m + 8n)= (5, 5),6m + n= 5,3m + 8n = 5,解析；由已知得尸蟲(chóng) 2(73).(ljaff+ft-3d=3C5一3+( -3)-3Q,一 一324)=(也-42)o(2)：加&+驚=(一劃w十一3用+紡)二. 一了),【提分秘籍】向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的。 若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用。【舉一反三】13已知平面向量 a

5、= (1 , 1), b = (1, 1)，則向量-a 2b=()A ( 2, 1)B ( 2, 1)C ( 1, 0) D ( 1, 2)【答案】D【解析】尙=2 2，2b= 2，一3，+，13故?a= ( 1 , 2)。熱點(diǎn)題型三平面向量共線的坐標(biāo)表示例 3.【2017 課標(biāo) II，文 12】已知ABC是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，P 為平面 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，貝 Um=1解得n= 1解得仁PA (PB PC)的最小是()34A. -2B.C. 一D. -123【答案】B【解析】如團(tuán)，以為坤t月C的垂直平分線血為F 軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)饉立平面直角坐標(biāo)蒼則/他招L鞏W qw）,設(shè)戸（兀刃成A西=（

6、兀命y）, PB=（-l-x-y）,死二（1兀卩），所以莎+死二（2覽2y）,丙（西+花）二2%1-卻（石0二2工+% (1)若(a + kc) / (2b a),求實(shí)數(shù) k；設(shè) d = (x, y)滿足(d c) / (a+ b)且 |d c|= 1,求 d。解析：2)+4, 1=G +2+Jt),2a=2,2a=2,4)-(3, 2)=(-5, 2),.3 + 4A 2+A* =丁(2M匸=(心 y)-(4；l)=(x-4, J- 1), 口+占=Q 4),2_、即yy12-(x-4)。又|rf-c|=l:jc-+J+y-ly-l5= U 二 4(4+誓，瞬+1)或吐(4 一誓丿一萼+1)

7、?！咎岱置丶? 根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值利用向量共線轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程，解方程可求參數(shù)。2利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解?！九e一反三】已知梯形 ABCD，其中 AB / CD，且 DC = 2AB，三個(gè)頂點(diǎn) A(1 , 2), B(2, 1), C(4, 2)，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為_(kāi) 。【答案】(2, 4)/.6+8A=- 10-54.160把代入，得 5 口一 4 尸二1,片4+誓,【解析】在梯形曲 CD 中*DCIAB,DCIAB, .DC=2AB.DC=2AB.設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為 8必則范=仏 2)-(r,腫=(4-乳

8、2妙A(yù)B=(2AB=(2f f1)-(1；25=(1,一 1), H4右 2-)=2(1；-1)；即(4陰 2-j)=(2, -2),設(shè)A 0,1 ,B 0,0 ,D 2,1 ,P x,y2根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是5解得;I故點(diǎn)D的坐標(biāo)為卩 AP = (x, y 1 ) AB = (0, 1 ), AD = (2,0 )，若滿足【解析】如圖以0U為兀軸，的垂直平分線軸D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,時(shí)的等邊三最形，p弓故選 C 內(nèi)二AB刊邊長(zhǎng)2-已-2則半丿)，5(-130),弘 0),誥兀小 所以.冠=(兀語(yǔ)小 丙=(1益刃， 西的坐運(yùn)；平所向量基十定理(2 兀2刃，冠(麗十葩)=2汙2

9、”擊=2/十20 232=i4349(A)(B)(C)(D)44BM37+肋2b2b=的最大值是（）【考點(diǎn)】 平面向量的運(yùn)算【答案】B【解析】6線 DA 再兀軸建立平面直角坐標(biāo)系，如團(tuán)所示則 A2_ 0）列1，嗎，U（】”設(shè)屮（兀由已卻網(wǎng)得（3又1網(wǎng)二（田）*丫十3,它表示圓（2+戸二1上的點(diǎn)（廠 刃與點(diǎn)（一1-3,C(03f) A? = d- 0)+4(0, 1) = (1, 4)即/U 4)t所臥丙=C-1. -4)；PC=(-L t-4),因此丙一死= 1 1牡+15 = 17丄十呦因?yàn)閠t? + 4t2Z=4,所PB PC 的最丈值等于13,3- = 4/,即“1時(shí)取等號(hào)./ 2【20

10、15 高考湖北，文 11】已知向量刃丄而，|鬲|=3，則OAOli =【答案】9【解析】因?yàn)? 麗，|刃|= 3 ,所以刃面二鬲(鬲卜喬)=|忑尸4CM*E/icS|2= 33=91. (2014 重慶卷)已知向量a= (k, 3), b = (1, 4), c= (2, 1)，且(2a 3b)丄 c,則實(shí)數(shù) k=()9A. 2 B . 0ill. 11_【2015 咼考福建，文 9】已知ASXAC,A6 = -,舁c|t的最大值等于()，若 F 點(diǎn)是A.4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且C. 19【答案】AD . 21(%【答案】C【解析】 2a 3b = 2(k, 3)- 3(1, 4) = (2k

11、 3, 6)，又(2a 3b)丄 c,. (2k 3) 2+ (-6) = 0,解得 k= 3.2.(2014 福建卷)在下列向量組中，可以把向量a = (3 , 2)表示出來(lái)的是()A.ei= (0, 0), e2= (1, 2)B.ei= ( 1, 2), e2= (5, 2)C.e1= (3, 5) , e2= (6 , 10)D.e1= (2 , 3) , e2= ( 2 , 3)【答案】B【解析】由向量共線定理，選項(xiàng) A, C , D 中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項(xiàng) B 中的向量組不共線，可以作為基底，故選 B.和點(diǎn)2n，-(1)求 m , n 的值;將 y = f(x)

12、的圖像向左平移林 0v K n個(gè)單位后得到函數(shù)y= g(x)的圖像,若 y= g(x)圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0 , 3)的距離的最小值為 1,求 y= g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.3.(2014 山東卷)已知向量a= (m,cos 2x),b= (sin 2x,n),函數(shù) f(x)= a b，且 y= f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)【解析】由題意知x）=msm2r + oE 因如*的團(tuán)像過(guò)點(diǎn)閭和點(diǎn)停，-2）,田=屈 1 卑十 ncas. 4nt4兀2 二 /nstn-+ /icos-?迅1 亍 M-尹解得n=l-cos2JL2si2r+I 由題意知丿於）=兀疋+何=2sin2x+帥+旨.i-S.的團(tuán)像上符合題青

13、的最高點(diǎn)為（W, 2）.由題青知 bJ8+1=1.所以.助=6即到點(diǎn)(0, 3)的距離為 1 的最高點(diǎn)為(0, 2).將其代入 y= g(x)得，sin2(j)+才=1.因?yàn)?00n,所以片三6因此，g(x)= 2sin (2x + 寸卜 2cos 2x.n由 2kn nW2 2 nkZ 得 kn?wx 威nkZ,所以函數(shù) y= g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為knnkn，,k乙4._ (2014 陜西卷)設(shè) 09設(shè) OP = mAB + nAC（m, n R），用 x, y 表示 m n,并求 m n 的最大值1已知向量 a=(2, 4), b=(-1 , 1)，則 2a-b=()A.(5, 7)B

14、.(5, 9)C.(3, 7)D.(3 , 9)【解析】選 A.2a-b=2(2 , 4)-(-1 , 1)=(5 , 7).2 在厶 ABC 中，已知 A(2 , 1), B(0 , 2), ； =(1 , -2)，則向量丨=()A.(0 , 0)B.(2 , 2)C.(-1 , -1)D.(-3 , -3)【解析】選 C.因?yàn)?A(2 , 1), B(0 , 2),+ I所以=(-2, 1).T I又因?yàn)?=(1 , -2),所以 =+=(-2 , 1)+(1 , -2)=(-1 , -1).3 若向量 a=(2 , 1) , b=(-2 , 3),則以下向量中與向量2a+b 共線的是()

15、A.(-5, 2)B.(4，10)C.(10，4)D.(1，2)【解析】選 B.因?yàn)橄蛄?a=(2，1)，b=(-2，3)，所以 2a+b=(2，5).又(4，10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以 B 項(xiàng)與 2a+b 共線.4.已知 a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，則 c 可用 a 與 b 表示為()A.a+bB.2a+3bC.3a-2bD.2a-3b【解析、迭C-因?yàn)?=1J% -lh所決心時(shí) j2an-3b=2(l?lhX-b2H1J32b-3(l,2a-lb=2(l； 1) 3(-1, 2)-(5,故選G| TTff*5 在厶 ABC 中，點(diǎn) P 在 BC 上，

16、且W點(diǎn) Q 是 AC 的中點(diǎn)，若旳=(4，3)，叫=(1，5)，則處=( )A.(-2 , 7)B.(-6, 21)C.(2, -7)D.(6, -21)【解析】選B.由條件知，Pf：=2PQ 旳=2(1 , 5)-(4 , 3)=(-2 , 7),rrTrr因?yàn)?”=2“=(-4，14)，所以骯=貯 + =(-6，21).6 在厶 ABC 中，已知 a, b, c 分別為/ A , / B , / C 所對(duì)的邊，S ABC 的面積，若向量 p=(4 ,2 2 2a +b -c ), q=(1 , S)滿足 p/ q，則/ C=( )JTJTJT3?rA.B.C.D.【解析】選 A.因?yàn)橄蛄?

17、p=(4, a2+b2-c2), q=(1 , S)滿足 p / q, 所以 a2+b2-c2-4S=0,即 4S=a2+b2-c2,1則 4XabsinC=a2+b2-c2,2a b若；=x +（1-x）；，則 x 的取值范圍是（）則WAO-A&-BO-AB BC=止盼k (AC-ABX1 - k)ABH-X AC又AOABHIJAC,且血，N 不共綁 于是有日 扎（. 0）,即耳的取值范圍是（.0）一8.設(shè) e1， e2是平面內(nèi)一組基向量，且 a=e1+2e2， b=-e1+e2，若 e1+e2=xa+yb，貝 U x+2y= ()1D.0【解析】選 D.因?yàn)?e1+e2=xa+y

18、b.a=e1+2e2, b=-e1+e2,所以 ei+e2=x(e1+2e2)+y(-ei+e2)即 sinC=cosC,則 tanC=1 , 解得/nC=.7 在厶 ABC中 占I）D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線上，且 R：=3 匚。 ，點(diǎn) 0 在線段 CD 上（與點(diǎn) C, D 不重合）,A.(l0C【解析】 選D如團(tuán)一B.4 D.依題創(chuàng) 設(shè)BO-BC,其中1扎1B.jC.1=(x-y)e 計(jì)(2x+y)e2.2x = -f3故x+2y= +2 x3 丿=o.1 9已知 A(7, 1)、B(1 , 4)，直線 y=ax 與線段 AB 交于 C,且恥=2CB，則實(shí)數(shù) a 等于【答案】2【解析】設(shè)

19、c(巧 y),則AC=(X.-7?y-l)?CRi-x, w所噸二曙辭弋二又 G 點(diǎn)在直線尸軌上10如圖所示，A , B , C 是。O 上的三點(diǎn)，線段 CO 的延長(zhǎng)線與線段 BA 的延長(zhǎng)線交于?！敬鸢浮?-1 , 0)由平面向量基本定理，得= 1,十 y = l,O 外的一點(diǎn)D，若TOCR R【解析】因?yàn)榫€段co的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為D,-4I貝ijOItDC;因?yàn)镈在圓外：所以21又D, A, E共繩故存在 X 使得OXOA-FUCIB,g X +11 =1, x 0C=m0A4nD K,T =+jI2L所以tmOA+tnPEH X 0A+ pi OB.所以nrti=所以m+n

20、E(-l, 0).m11.已知向量 a=(2, 3), b=(-1 , 2),若 ma+nb 與 a-2b 共線，則=1【答案】衛(wèi)【解析】ma+nb=(2m , 3m)+(-n , 2n)=(2m-n , 3m+2n) , a-2b=(2 , 3)-(-2 , 4)=(4, -1).2m - n| 3 m +所以 n-2m=12m+8n，所以的值為【答案】11 或-212設(shè) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知=(k，12)，Of?=(10, k),oc=(4 , 5)，若 A , B, C 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) k-1由于ma+nb4【解析】由題意得= =(k-4 , 7),CB_OB OC=(6，k-5),所

21、以(k-4)(k-5)=6X7,k-4=7 或 k-4=-6，即 k=11 或 k=-2.13在平面直角坐標(biāo)系中,1O 為坐標(biāo)原點(diǎn),2 r1 rAC-OA-onT=3，則的【答案】且滿足I的T _故 C 為 BA 的靠 A 點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因而 1-114.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1 , 0）, （0, 1）, （2, 1），則其第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】（3，0）或（1，2）或（-1，0）1解析】設(shè)也仍，B0, 1）, C（2, I）,第四個(gè)頂點(diǎn) g,y）,由題意，該平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序不艇丿討論如下：若羽亍四邊形為ABCD?則心基因1?DK2-X, 1-y),若平行四邊形沏

22、ABDCWB=CD.因旳址氣，1）；匚（兀-2，y-L）i所以3Oq=2OA+OB所以r2 -x = -l4-y=i,【解析】 由已知得,即.#：$ =2（：“-）,即弐-2.如圖所示:解得x 1,z乙即若平行四邊形為 ACBD, iJAC=DE.因?yàn)樾?1, 1), DB=(-x, 1-yJ,m( (7x = x 解得 F rb即Dox 丄y 二 1* Ly 二 0，15.已知 a=(1, 0), b=(2 , 1),(1)當(dāng) k 為何值時(shí)，ka-b 與 a+2b 共線.F If若 =2a+3b, ； =a+mb，且 A , B , C 三點(diǎn)共線，求 m 的值.【解析】(1)ka-b=k(1

23、 , 0)-(2, 1)=(k-2 , -1),a+2b=(1 , 0)+2(2 , 1)=(5 , 2).因?yàn)?ka-b 與 a+2b 共線，所以 2(k-2)-(-1)X5=0 ,1即 2k-4+5=0，得 k=2因?yàn)?A, B, C 三點(diǎn)共線，所以 川/骯.所以存在實(shí)數(shù) 入，使得 2a+3b=入(a+mb)=入 a+入 mb, 又 a 與b 不共線，扎2所以 P = 解得 m=16在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a=(2 , 1), A(1 , 0),B(cos0 ,t),1一 (1)若 t=-4, 0(0, n),a/,求0的值.f I若 a / ,求 y=cos20-cos0+t2的最小值.s-【解析】 因?yàn)?=(cos0-1, t),又 a / ，所以 2t-cos0+仁 0. 所以 cos0-1=