第三章_MATLAB矩陣分析與處理

1、第3章 MATLAB矩陣分析與處理 特殊矩陣 矩陣結(jié)構(gòu)變換 矩陣求逆與線性方程組求解 矩陣求值3.1 特殊矩陣3.1.1 通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布隨機 矩陣。 這幾個函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩陣的zeros函數(shù)為例進行說明。其調(diào)用格式為：zeros(m): 產(chǎn)生mm零矩陣zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。例3.1 分別建立33、

2、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣(1) 建立一個33零矩陣。zeros(3)ans= 0 0 0 0 0 0 0 0 0(2) 建立一個32零矩陣。 zeros(3,2) ans= 0 0 0 0 0 0 (3) 設A為23矩陣，則可以用zeros(size(A)建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個23階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣 ans= 0 0 0 0 0 0例3.2 建立隨機矩陣：(1) 在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。(2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。rand：產(chǎn)生01間均勻分

3、布的隨機矩陣。要得到a,b區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)，需用yi=a+(b-a)xirandn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)x = 48.5039 42.8629 38.4630 32.1712 21.7367 26.9342 33.6940 43.7581 48.0641 30.5860 38.2053 20.5551 47.6544 47.5071 44.3950 34.5795 44.6422 42.1462 32.3081 20.2958 46.7390 33.3411 25.2880 46.8095 24.1667y=0.

4、6+sqrt(0.1)*randn(5)y = 0.8713 0.4735 0.8114 0.0927 0.7672 0.9966 0.8182 0.9766 0.6814 0.6694 0.0960 0.8579 0.2197 0.2659 0.3085 0.1443 0.8251 0.5937 1.0475 -0.0864 0.7806 1.0080 0.5504 0.3454 0.58133.1.2 用于專門學科的特殊矩陣(1) 魔方矩陣 魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方

5、矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。 magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2例3.3 將101-125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。 一個5姐魔方矩陣的每行、每列及對角線的和均為65，對其每個元素都加100后，這些和變成565.magic(5)magic(5)ans =ans = 17 24 1 8 15 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 10 12 19 21 3 11 18 25

6、2 9 11 18 25 2 9M=100+magic(5)M=100+magic(5)M =M = 117 124 101 108 115 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109 111 118 125 102 109 (2) 范得蒙德矩陣 范得蒙德(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的

7、向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩陣。A =A = 1 1 1 1 1 1 1 1 8 4 2 1 8 4 2 1 27 9 3 1 27 9 3 1 125 25 5 1 125 25 5 1在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n).使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣

8、的逆矩陣。(3) (3) 希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣1().1ijHilberthij希爾伯特矩陣的每個元素例3.4 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：hilb(4)hilb(4)ans =ans = 1 1/2 1/3 1/4 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 invhilb(4)invhilb(4)ans =ans = 16 -120 240 -140 16 -120 240 -140 -120 120

9、0 -2700 1680 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 -140 1680 -4200 2800 (4) 托普利茲矩陣 托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x, y均為向量，兩者不必等長,toeplitz(x)用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。如:T=toeplitz(1:6) T=toeplitz(1:

10、4) T = 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 (5) 伴隨矩陣111012301( )( )1000001000000100000010( )( )( )nnnnnnnnnnnnp xp xa xaxa xaaaaaaaaaaaAp xp xAp x設多項式為：稱矩陣：為多項式的伴隨矩陣。成為 的特征多項式，方程的根成為A的特征值。 MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令： p=1,0,-7,6; p=1,0,-7,6; compa

11、n(p) compan(p)ans =ans = 0 7 -6 0 7 -6 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 (6) 帕斯卡矩陣 我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。例3.5 求(x+y)5的展開式。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)pascal(6)ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6

12、21 56 126 2矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。3.2 矩陣結(jié)構(gòu)變換3.2.1 對角陣與三角陣1對角陣 只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。 矩陣對角線有很多性質(zhì)，如轉(zhuǎn)置矩陣時對角線元素不變，相似變換時對角線的和（稱為矩陣的跡）不變等。(1) 提取矩陣的對角線元素 設A為mn矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。 A=1 2 3;4 5 6; D=diag(A)D = 1 5 diag(A)函數(shù)還有一種形式d

13、iag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。與主對角線平行，往上為第1條，第2條，第n條對角線，往下為第-1條，第-2條，第-n條對角線。主對角線為第0條對角線。例如對上面建立的A矩陣，提取主對角線兩側(cè)對角線的元素，命令如下：D1=diag(A,1)D1=diag(A,1)D1 =D1 = 2 2 6 6D2=diag(A,-1)D2=diag(A,-1)D2 =D2 = 4 4(2) (2) 構(gòu)造對角矩陣構(gòu)造對角矩陣 設設V V為具有為具有m m個元素的向量，個元素的向量，diag(V)diag(V)將產(chǎn)生一將產(chǎn)生一個個m mm m對角矩陣，其主對角線元素即為向量對角矩陣，其主對角線元

14、素即為向量V V的元素的元素diag(1,2,-1,4)diag(1,2,-1,4)ans =ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 4 0 0 0 4 diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個nn(n=m+|k|)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。diag(1:3,-1)ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0例3.6 先建立55矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,1

15、4,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;. 1,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù)ans = 17 0 1 0 15 46 10 14 28 32 12 0 39 0 66 40 48 76 84 12 55 90 125 10 95對對A A的每列元素乘的每列元素乘以同一個數(shù)，可以同一個數(shù)，可以用一個對角陣以用一個對角陣右乘右乘A.A.2三角陣 三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。 (1) 上三角矩陣 與矩

16、陣A對應的上三角陣B是與A同型的一個矩陣，并且B的對角線以上（含對角線）和A對應相等，而對角線以下的元素等于0。求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。例如，提取矩陣A的上三角元素，形成新的矩陣B。A=7,13,-28;2,-9,8;0,34,5;B=triu(A)B = 7 13 -28 0 -9 8 0 0 5 triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。A=1,32,1,0,5;3,5,17,4,16;4,0,13,0,42;70,11,9,21,3;11,63,5,

17、2,99;B=triu(A,2)B = 0 0 1 0 5 0 0 0 4 16 0 0 0 0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 下三角矩陣 在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。3.2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1矩陣的轉(zhuǎn)置 所謂轉(zhuǎn)置，即把源矩陣的第一行變成目標矩陣的第一列，第二行變成第二列，依此類推。顯然，一個m行n列的矩陣經(jīng)過轉(zhuǎn)置運算后，變成一個n行m列的矩陣。轉(zhuǎn)置運算符是單撇號()。A=71,3,-8;2,-9,8;0,4,5;B=AB = 71 2 0

18、 3 -9 4 -8 8 52矩陣的旋轉(zhuǎn)在MATLAB中，可以很方便地以90。為單位對矩陣按逆時針方向旋轉(zhuǎn)：。利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90的k倍，當k為1時可省略。例如，將A按逆時針旋轉(zhuǎn)90。，命令如下A=57,19,38;-2,31,8;0,84,5;A=57,19,38;-2,31,8;0,84,5;B=rot90(A)B=rot90(A)B =B = 38 8 5 38 8 5 19 31 84 19 31 84 57 -2 0 57 -2 0rot90(A,4)rot90(A,4)ans =ans = 57 19 38 57 19 38 -2 31 8 -2 31 8

19、0 84 5 0 84 53矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A) A=14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0 A = 14 -9 8 -2 81 8 -2 4 0 B=fliplr(A) B = 8 -9 14 8 81 -2 0 4 -24矩陣的上下翻轉(zhuǎn) 與矩陣的左右翻轉(zhuǎn)類似，矩陣的上下翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一行與最后一行調(diào)換，第二行與倒數(shù)第二行調(diào)換，依次類推。MATLAB對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。3.3 矩陣求逆與線性方程組求解3.3.1 矩陣

20、的逆與偽逆 對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當然，A也是B的逆矩陣。 求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。例3.7 求方陣A的逆矩陣，且驗證A與A-1是否是互逆的。A=1,-1,1;5,-4,3;2,1,1;B=inv(A);A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000B*Aans = 1.0000 0.0000 -0.0000

21、 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000上述計算中可上述計算中可見：見：AB=BAAB=BA即：即：AAAA-1-1=A=A-1-1A,A,故故A A與與A-1A-1是互是互逆的。逆的。 如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣B，使得： ABA=A BAB=B 此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是： pinv(A)A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1;B=pinv(A)B = 0.3929 -0.1071 -0.

22、1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.0357 0.0357 0.0357 若A是一個奇異矩陣，無一般意義上的逆矩陣，但可以求A的偽逆矩陣。例如： A=0,0,0;0,1,0;0,0,1; pinv(A) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 本例中，A的偽逆矩陣和A相等，這是一個巧合。一般說來，矩陣的偽逆矩陣和自身是不同的。 將包含n個未知數(shù)，由n個方程構(gòu)成的線性方程組表示成：3.2.2 用矩陣求逆方法求解線性方程組111122112112222111221nnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb

23、a xa xa xb1112111212222212,nnnnnnnnaaaxbaaaxbAxbaAxbaaxb其矩陣表示為： 其： 中 在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1,有： A-1 Ax= A-1 b由于A-1 A=I，故得： x= A-1 b 所以，利用系數(shù)矩陣A的逆矩陣，可以求解線性方程組。3.82354928276xyzxyzxyz 例用求逆矩陣的方法解線性方程組。 命令如下：命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,6b=5,-2,6; ;x=inv(A)x=inv(A)* *b bx =x = 23.0000

24、23.0000 -14.5000 -14.5000 3.6667 3.6667 也可以運用左除運算也可以運用左除運算符符“ ”求解線性代數(shù)方程求解線性代數(shù)方程組。組。A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,6b=5,-2,6; ;x=Abx=Ab3.4 矩陣求值3.4.1方陣的行列式 把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對應的行列式的值的函數(shù)是det(A)。A=rand(5)A = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2

25、311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.8913 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389B=det(A)B = -0.00711矩陣的秩 矩陣線性無關的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。3.4.2 矩陣的秩與跡112221,(1,2,0)pppik xkx xxkpxk xip 對于一組向量若存在一組不全為零，使： 成立，則稱 個向量線性相關，否則稱線性相關。 A=2,2,

26、-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,5;3,3,-2,2; r=rank(A) r = 4這說明A是一個滿秩矩陣。2矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。 A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9; trace(A) ans = 16 矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。3.4.3 向量和矩陣的范數(shù) 12221111,3(1)2(2)1(3)m1x3anniiniiii nVv vvVvVvVv 設向量下面討論向量的 種范數(shù)： 范數(shù) 范數(shù)

27、、向量的 種常見范數(shù)及其 范數(shù) 計 算函數(shù)在MATLAB中，求這3種向量范數(shù)的函數(shù)分別為：(1) norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2-范數(shù)(2) norm(V,1)：計算向量V的1-范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計算向量V的-范數(shù)。 例如：V=-1,1/2,1; V1=norm(V,1) %求V的1-范數(shù) V1 = 2.5000 V2=norm(V) %求V的2-范數(shù) V2 = 1.5000 Vinf=norm(V,inf) %求V的-范數(shù) Vinf = 12矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù) 設A是一個mn的矩陣，V是一個含有n個元素的列向量，定義：因為A是一個mn的矩陣，而V是

28、一個含有n個元素的列向量。在前面已經(jīng)定義了3種不同的向量范數(shù)，按照上式也可以定義3種矩陣范數(shù)，這樣定義的矩陣范數(shù)A稱為A從屬于向量的范數(shù)。max|,|,| | 1|A|=A Vv MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。11111121211113()maxmax()maxmaxmax()ijmijVj niVnijVi njaAA VaA VA AA VAAaA 從屬于 種向量范數(shù)的矩陣范數(shù)計算公式是是矩陣 的元素 ： 按列加 ，其中 為最大特征值 按行加 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,1

29、9,21,3;11,18,25,2,19;a1=norm(A,1) %求A的1-范數(shù)a1 = 75a2=norm(A,2) %求A的2-范數(shù)a2 = 59.3617ainf=norm(A,inf) %求A的-范數(shù)ainf = 753.4.4 矩陣的條件數(shù) 在求解線性方程組Ax=b時，一般認為：系數(shù)矩陣A中個別元素的微小擾動不會引起解向量的很大變化。這樣的假設在工程應用中非常重要，因為一般系數(shù)矩陣是由實驗數(shù)據(jù)獲得的，并非精確解，但與精確解誤差不大?；谏鲜黾僭O可以得到如下結(jié)論：當參與運算的系數(shù)與實際精確解誤差很小時，所獲得的解與問題的精確解誤差也很小。 對于有的系數(shù)矩陣，個別元素的微小擾動會引起

30、解的很大變化，在計算數(shù)學中，稱這種矩陣是病態(tài)矩陣。 而稱解不因系數(shù)矩陣的微小擾動而發(fā)生的大的變化的矩陣為良性矩陣。 當然良性與病態(tài)也是相對的，需要一個參數(shù)來描述，條件數(shù)就是用來描述矩陣的這種性能的一個參數(shù)。 矩陣A的條件數(shù)等于A的范數(shù)與A的逆矩陣的范數(shù)的乘積，即cond(A)=AA-1。這樣定義的條件數(shù)總是大于1的。條件數(shù)越接近于1，矩陣的性能越好，反之，矩陣的性能越差。在MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計算A的1-范數(shù)下的條件數(shù)。即：cond(A,1)=A1A-11(2) cond(A)或cond(A,2) 計算A的2-范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。即： co

31、nd(A)=A2A-12(3) cond(A,inf) 計算A的-范數(shù)下的條件數(shù)。即：cond(A,inf)=cond(A)=AA-1例如 : A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9; C1=cond(A) C1 = 87.9754 B=2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4; C2=cond(B) C2 = 3.7515 矩陣B的條件數(shù)比矩陣A的條件數(shù)更接近于1，因此，矩陣B的性能要好于矩陣A。3.5 矩陣的特征值與特征向量nAAAA 對于 階方陣 ，求數(shù) 和向量 ，使得等式成立。滿足等式的數(shù) 稱為矩陣 的，而特向量 稱為 的征值特征向量。000AAAIIAI 方程和是兩個等價方程，要使

32、方程有非零解 ，必須使其系數(shù)行列式為零，即。0AInAInnAn 行列式是一個關于 的 階多項式，因而方程是一個次方程，有 個根（含重根），就是矩陣 的 個特征值，每一個特征值對應無窮多個特征向量。矩陣的特征值問題有確定解，但特征向量沒有確定解。 在在MATLABMATLAB中，計算矩陣中，計算矩陣A A的特征值和特征向量的的特征值和特征向量的函數(shù)是函數(shù)是eig(A)eig(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3 3種：種：(1)E=eig(A)(1)E=eig(A)：求矩陣求矩陣A A的全部特征值，構(gòu)成向量的全部特征值，構(gòu)成向量E E。(2) V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，

33、構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。(3) V,D=eig(A,nobalance):與第二種格式類似，但第二種格式中先對A做相似變換后，求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。 一個矩陣的特征向量有無窮多個，eig函數(shù)只找出其中的n個，A的其他特征向量均可由n個特征向量的線性組合表示。A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2;V,D=eig(A)V = 0.7212 0.4443 0.5315 -0.6863 0.5621 0.4615 -0.0937 -0.6976 0.7103D = -0.0166 0 0 0 1.4801 0 0

34、 0 2.5365 求得的3個特征值是-0.0166，1.4801，2.5365各特征值對應的特征向量為V的各列的向量。驗證結(jié)果，AV和VD的值均為： -0.0120 0.6576 1.3481 0.0114 0.8320 1.1705 0.0016 -1.0325 1.8018例3.9 用求特征值的方法解方程。 3x5-7x4+5x2+2x-18=0先構(gòu)造與方程對應的多項式的伴隨矩陣A，再求A的特征值。A的特征值即為方程的根。命令如下： p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A的伴隨矩陣 x1=eig(A) %求A的特征值 x1 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i x2=roots(p) %直接求多項式p的零點 x2 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i 可以看出，兩種方法求得的方程的根是完全一致的，實