【最新原創(chuàng)】2014年高考數(shù)學(xué)（文）真題分類匯編：B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)B B 單元單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)B1函數(shù)及其表示14 、2014安徽卷 若函數(shù) f(x)(xR)是周期為 4 的奇函數(shù)，且在0，2上的解析式為f(x)x（1x） ，0 x1，sin x，1x2，則 f294 f416 _14.516、2 、2014北京卷 下列函數(shù)中，定義域是 R 且為增函數(shù)的是()AyexByx3Cyln xDy|x|2B、21 、 、2014江西卷 將連續(xù)正整數(shù) 1，2，n(nN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù) 123n，F(xiàn)(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如 n12 時(shí)，此數(shù)為 123456789101112，共有 15 個(gè)數(shù)字，F(xiàn)(12)15)，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，p

2、(n)為恰好取到 0 的概率(1)求 p(100)；(2)當(dāng) n2014 時(shí)，求 F(n)的表達(dá)式；(3)令 g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)，f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字 9 的個(gè)數(shù)，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求當(dāng) nS 時(shí) p(n)的最大值21解：(1)當(dāng) n100 時(shí)，這個(gè)數(shù)中總共有 192 個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)為 11，所以恰好取到 0 的概率為 p(100)11192.(2)F(n)n，1n9，2n9，10n99，3n108，100n999，4n1107，1000n2014.(3)當(dāng) nb(1b9，bN*)，g(n)0；當(dāng) n10kb(1k9，

3、0b9，kN*，bN)時(shí)，g(n)k；當(dāng) n100 時(shí)，g(n)11，即 g(n)0，1n9，k，n10kb，11，n100.1k9，0b9，kN*，bN，同理有 f(n)0，1n8，k，n10kb1，1k8，0b9，kN*，bN，n80，89n98，20，n99，100.由 h(n)f(n)g(n)1，可知 n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以當(dāng) n100 時(shí)，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90當(dāng) n9 時(shí)，p(9)0.當(dāng) n90 時(shí)，p(90)g（90）F（90）9171119.當(dāng) n10k9(1k8，kN*)時(shí)，p(n)g（n）F（n）

4、k2n9k20k9，由 yk20k9關(guān)于 k單調(diào)遞增，故當(dāng) n10k9(1k8，kN*)時(shí)，p(n)的最大值為 p(89)8169.又8169119，所以當(dāng) nS 時(shí)，p(n)的最大值為119.32014山東卷 函數(shù) f(x)1log2x1的定義域?yàn)?)A(0，2)B(0，2C(2，)D2，)3CB2反函數(shù)52014全國卷 函數(shù) yln(3x1)(x1)的反函數(shù)是()Ay(1ex)3(x1)By(ex1)3(x1)Cy(1ex)3(xR)Dy(ex1)3(xR)5DB3函數(shù)的單調(diào)性與最值2 、2014北京卷 下列函數(shù)中，定義域是 R 且為增函數(shù)的是()AyexByx3Cyln xDy|x|2B

5、4 、2014湖南卷 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增的是()Af(x)1x2Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x4A19 、 、 、2014江蘇卷 已知函數(shù) f(x)exex，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)證明：f(x)是 R 上的偶函數(shù)(2)若關(guān)于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍(3)已知正數(shù) a 滿足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，則 t1，所以 mt1t2t11t11t1 1對(duì)任意 t1 成立因?yàn)?t11t1 12（t1）1t 113, 所以 1t11t1 113，當(dāng)且僅當(dāng) t2, 即 x ln 2 時(shí)等

6、號(hào)成立因此實(shí)數(shù) m 的取值范圍是，13 .(3)令函數(shù) g(x)ex1ex a(x33x)，則 g (x) ex1ex3a(x21)當(dāng) x1 時(shí)，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的單調(diào)遞增函數(shù)， 因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a.由于存在x01， )， 使ex0ex0a(x30 3x0)0 成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)0，故 ee12aee12.令函數(shù) h(x) x (e1)ln x1，則 h(x)1e1x. 令 h(x)0, 得 xe1.當(dāng) x(0，e1)時(shí)，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的單調(diào)遞增函數(shù)所以 h(x)在

7、(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以當(dāng) x(1，e1)(0，e1)時(shí)，h(e1)h(x)h(1)0；當(dāng) x(e1，e)(e1，)時(shí)，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 對(duì)任意的 x(1，e)成立故當(dāng) aee12，e(1，e)時(shí)， h(a)0，即 a1(e1)ln a，從而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.綜上所述，當(dāng) aee12，e時(shí)，ea1ae1.15 、 、2014四川卷 以 A 表示值域?yàn)?R 的函數(shù)組成的集合，B 表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x)組成的集合： 對(duì)于函數(shù)(x)， 存在一個(gè)正數(shù) M， 使得函數(shù)(x)的值域包含于區(qū)間M，

8、M例如，當(dāng)1(x)x3，2(x)sin x 時(shí)，1(x)A，2(x)B.現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?D， 則“f(x)A”的充要條件是“bR， aD， f(a)b”；若函數(shù) f(x)B，則 f(x)有最大值和最小值；若函數(shù) f(x)，g(x)的定義域相同，且 f(x)A，g(x)B，則 f(x)g(x)/B；若函數(shù) f(x)aln(x2)xx21(x2，aR)有最大值，則 f(x)B.其中的真命題有_(寫出所有真命題的序號(hào))1521 、2014四川卷 已知函數(shù) f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)設(shè) g(x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)，

9、求函數(shù) g(x)在區(qū)間0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，證明：e2a1.21解：(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.當(dāng) x0，1時(shí)，g(x)12a，e2a當(dāng) a12時(shí)，g(x)0，所以 g(x)在0，1上單調(diào)遞增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；當(dāng) ae2時(shí)，g(x)0，所以 g(x)在0，1上單調(diào)遞減，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；當(dāng)12ae2時(shí)，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函數(shù) g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)

10、間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.綜上所述，當(dāng) a12時(shí)，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；當(dāng)12ae2時(shí)，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；當(dāng) ae2時(shí)，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)證明：設(shè) x0為 f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減則 g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)故 g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點(diǎn) x1.同理 g(x)在區(qū)間(x0，1)

11、內(nèi)存在零點(diǎn) x2.故 g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)由(1)知，當(dāng) a12時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞增，故 g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) ae2時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞減，故 g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，都不合題意所以12ae2.此時(shí) g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(shù)(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe10，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，e2a1.B4函數(shù)的奇偶性與周期性4201

12、4重慶卷 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x4D14 、2014安徽卷 若函數(shù) f(x)(xR)是周期為 4 的奇函數(shù)，且在0，2上的解析式為f(x)x（1x） ，0 x1，sin x，1x2，則 f294 f416 _14.51652014廣東卷 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A2x12xBx3sin xC2cos x1Dx22x5A9 、2014湖北卷 已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3 的零點(diǎn)的集合為()A1，3B3，1，1，3C2 7，1，3D2 7，1，39D4 、201

13、4湖南卷 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增的是()Af(x)1x2Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x4A152014湖南卷 若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函數(shù)，則 a_153219 、 、 、2014江蘇卷 已知函數(shù) f(x)exex，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)證明：f(x)是 R 上的偶函數(shù)(2)若關(guān)于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍(3)已知正數(shù) a 滿足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，則 t1，所以 mt1t2t11t11t1 1對(duì)任意 t1 成立因?yàn)?t11t1 12（t1）1t 113,

14、所以 1t11t1 113，當(dāng)且僅當(dāng) t2, 即 x ln 2 時(shí)等號(hào)成立因此實(shí)數(shù) m 的取值范圍是，13 .(3)令函數(shù) g(x)ex1ex a(x33x)，則 g (x) ex1ex3a(x21)當(dāng) x1 時(shí)，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的單調(diào)遞增函數(shù)， 因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a.由于存在x01， )， 使ex0ex0a(x30 3x0)0 成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)0，故 ee12aee12.令函數(shù) h(x) x (e1)ln x1，則 h(x)1e1x. 令 h(x)0, 得 xe1.當(dāng) x(0，e1)時(shí)，

15、h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的單調(diào)遞增函數(shù)所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以當(dāng) x(1，e1)(0，e1)時(shí)，h(e1)h(x)h(1)0；當(dāng) x(e1，e)(e1，)時(shí)，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 對(duì)任意的 x(1，e)成立故當(dāng) aee12，e(1，e)時(shí)， h(a)0，即 a1(e1)ln a，從而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.綜上所述，當(dāng) aee12，e時(shí)，ea1ae1.122014全國卷 奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R.若 f(x2)為偶函數(shù)，且 f(1)1，則 f(8)f(9)()A2

16、B1C0D112D152014新課標(biāo)全國卷 偶函數(shù) yf(x)的圖像關(guān)于直線 x2 對(duì)稱，f(3)3，則 f(1)_15352014全國新課標(biāo)卷 設(shè)函數(shù) f(x)，g(x)的定義域都為 R，且 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)5C132014四川卷 設(shè) f(x)是定義在 R 上的周期為 2 的函數(shù)，當(dāng) x1，1)時(shí)，f(x)4x22，1x0，x， 0 x1，則 f32 _131B5二次函數(shù)102014江蘇卷 已知函數(shù) f(x)x2mx1，若對(duì)于任意 x

17、m，m1，都有 f(x)0成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_10.22，014 、2014全國卷 函數(shù) ycos 2x2sin x 的最大值為_14.32B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)52014安徽卷 設(shè) alog37，b21.1，c0.83.1，則()AbacBcabCcbaDac0，且 a1)的圖像如圖 12 所示，則下列函數(shù)圖像正確的是()圖 12ABCD 圖 138B3 、2014遼寧卷 已知 a213，blog213，clog1213，則()AabcBacbCcbaDcab3D15 、 2014全國新課標(biāo)卷 設(shè)函數(shù) f(x)ex1，x1，x13，x1，則使得 f(x)2 成立的 x 的取值范圍是_

18、15(，85 ，2014山東卷 已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 axay(0ay3Bsin xsin yCln(x21)ln(y21)D.1x211y215A72014陜西卷 下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()Af(x)x3Bf(x)3xCf(x)x12Df(x)12x7B122014陜西卷 已知 4a2，lg xa，則 x_12. 107 、2014四川卷 已知 b0，log5ba，lg bc，5d10，則下列等式一定成立的是()AdacBacdCcadDdac7B9 、2014四川卷 設(shè) mR，過定點(diǎn) A 的動(dòng)直線 xmy0 和過定點(diǎn) B 的動(dòng)直線 mxym30 交

19、于點(diǎn) P(x，y)，則|PA|PB|的取值范圍是()A 5，25 B 10，25 C 10，45 D2 5，45 9B42014天津卷 設(shè) alog2，blog12，c2，則()AabcBbacCacbDcba4CB7對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)122014天津卷 函數(shù) f(x)lg x2的單調(diào)遞減區(qū)間是_12(，0)112014安徽卷168134log354log345_.11.2788 、2014浙江卷 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) f(x)xa(x0)，g(x)logax 的圖像可能是()ABCD圖 128D8 ， ，2014福建卷 若函數(shù) ylogax(a0，且 a1)的圖像如圖 12 所示，則下列函數(shù)

20、圖像正確的是()圖 12ABCD 圖 138B13 、 2014廣東卷 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)， 且 a1a54， 則 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_1353 、2014遼寧卷 已知 a213，blog213，clog1213，則()AabcBacbCcbaDcab3D6 ，2014山東卷 已知函數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，a1)的圖像如圖11 所示，則下列結(jié)論成立的是()圖 11Aa1，x1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c0，且 a1)的圖像如圖 12 所示，則下列函數(shù)圖像正確的是()圖 12ABCD 圖 138B152014湖

21、北卷 如圖 14 所示，函數(shù) yf(x)的圖像由兩條射線和三條線段組成若xR，f(x)f(x1)，則正實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_圖 1415.0，1613 、2014江蘇卷 已知 f(x)是定義在 R 上且周期為 3 的函數(shù)，當(dāng) x0，3)時(shí)，f(x)|x22x12|.若函數(shù) yf(x)a 在區(qū)間3，4上有 10 個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_13.0，1215 、 2014全國新課標(biāo)卷 設(shè)函數(shù) f(x)ex1，x1，x13，x1，則使得 f(x)2 成立的 x 的取值范圍是_15(，86 ，2014山東卷 已知函數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，a1)的圖像如

22、圖11 所示，則下列結(jié)論成立的是()圖 11Aa1，x1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c16DB9函數(shù)與方程62014北京卷 已知函數(shù) f(x)6xlog2x，在下列區(qū)間中，包含 f(x)的零點(diǎn)的區(qū)間是()A(0，1)B(1，2)C(2，4)D(4，)6C72014浙江卷 已知函數(shù) f(x)x3ax2bxc，且 0f(1)f(2)f(3)3，則()Ac3B3c6C6c9Dc97C102014重慶卷 已知函數(shù) f(x)1x13，x（1，0，x，x（0，1，且 g(x)f(x)mxm 在(1，1內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()A.94，20，12B.114，20，12C.

23、94，20，23D.114，20，2310A152014福建卷 函數(shù) f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_1529 、2014湖北卷 已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3 的零點(diǎn)的集合為()A1，3B3，1，1，3C2 7，1，3D2 7，1，39D13 、2014江蘇卷 已知 f(x)是定義在 R 上且周期為 3 的函數(shù)，當(dāng) x0，3)時(shí)，f(x)|x22x12|.若函數(shù) yf(x)a 在區(qū)間3，4上有 10 個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_13.0，1242014江西卷 已知函數(shù) f(x)a2x

24、，x0，2x，x0(aR)若 ff(1)1，則 a()A.14B.12C1D24A152014浙江卷 設(shè)函數(shù) f(x)x22x2，x0，x2， x0.若 f(f(a)2，則 a_.15. 2212014全國卷 函數(shù) f(x)ax33x23x(a0)(1)討論 f(x)的單調(diào)性；(2)若 f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，求 a 的取值范圍21解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0 的判別式36(1a)(i)若 a1，則 f(x)0，且 f(x)0 當(dāng)且僅當(dāng) a1，x1 時(shí)成立故此時(shí) f(x)在 R 上是增函數(shù)(ii)由于 a0，故當(dāng) a1 時(shí)，f(x)0 有兩個(gè)根；x11 1aa，x21

25、 1aa.若 0a1，則當(dāng) x(，x2)或 x(x1，)時(shí)，f(x)0，故 f(x)分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；當(dāng) x(x2，x1)時(shí)，f(x)0，故 f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)若 a0，則當(dāng) x(，x1)或(x2，)時(shí)，f(x)0，故 f(x)分別在(，x1)，(x2，)是減函數(shù)；當(dāng) x(x1，x2)時(shí) f(x)0，故 f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)(2)當(dāng) a0，x0 時(shí)，f(x)3ax26x30，故當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) f(1)0 且 f(2)0，解得54a0.綜上，a 的取值范圍是54，0

26、(0，)142014天津卷 已知函數(shù) f(x)|x25x4|，x0，2|x2|，x0.若函數(shù) yf(x)a|x|恰有 4 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_14(1，2)B10 函數(shù)模型及其應(yīng)用8 2014北京卷 加工爆米花時(shí)， 爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率” 在特定條件下， 可食用率 p 與加工時(shí)間 t(單位： 分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系 pat2btc(a，b，c 是常數(shù))，圖 12 記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()圖 12A3.50 分鐘B3.75 分鐘C4.00 分鐘D4.25 分鐘8B102014陜西卷 如圖 12 所示，修建一

27、條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為()圖 12Ay12x312x2xBy12x312x23xCy14x3xDy14x312x22x10AB11 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算21 、 、2014陜西卷 設(shè)函數(shù) f(x)ln xmx，mR.(1)當(dāng) me(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求 f(x)的極小值；(2)討論函數(shù) g(x)f(x)x3零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若對(duì)任意 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范圍21解：(1)由題設(shè)，當(dāng) me 時(shí)，f(x)ln xex，則 f(x)xex2，當(dāng) x(0，e)時(shí)，f(x)0，f(

28、x)在(e，)上單調(diào)遞增xe 時(shí)，f(x)取得極小值 f(e)ln eee2，f(x)的極小值為 2.(2)由題設(shè) g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)，設(shè)(x)13x3x(x0)，則(x)x21(x1)(x1)，當(dāng) x(0，1)時(shí)，(x)0，(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng) x(1，)時(shí)，(x)23時(shí)，函數(shù) g(x)無零點(diǎn)；當(dāng) m23時(shí)，函數(shù) g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 0m23時(shí)，函數(shù) g(x)無零點(diǎn)；當(dāng) m23或 m0 時(shí)，函數(shù) g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 0ma0，f（b）f（a）ba1 恒成立，等價(jià)于 f(b)b0)，(*)等價(jià)于

29、h(x)在(0，)上單調(diào)遞減由 h(x)1xmx210 在(0，)上恒成立，得 mx2xx12214(x0)恒成立，m14對(duì) m14，h（x）0 僅在 x12時(shí)成立，m 的取值范圍是14，.20 、2014安徽卷 設(shè)函數(shù) f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng) x0，1時(shí)，求 f(x)取得最大值和最小值時(shí)的 x 的值20解： (1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，且 x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng) xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng) x1x0.故 f(x)在，

30、1 43a3和1 43a3，內(nèi)單調(diào)遞減，在1 43a3，1 43a3內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)?a0，所以 x10，當(dāng) a4 時(shí)，x21，由(1)知，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，所以 f(x)在 x0 和 x1 處分別取得最小值和最大值當(dāng) 0a4 時(shí)，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，1上單調(diào)遞減，因此 f(x)在 xx21 43a3處取得最大值又 f(0)1，f(1)a，所以當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)在 x1 處取得最小值；當(dāng) a1 時(shí)，f(x)在 x0 和 x1 處同時(shí)取得最小值；當(dāng) 1a0，g（1）t10，解得3t1.故當(dāng)過點(diǎn) P(1，t)存在 3 條直線與曲線 yf(x

31、)相切時(shí)，t 的取值范圍是(3，1)(3)過點(diǎn) A(1，2)存在 3 條直線與曲線 yf(x)相切；過點(diǎn) B(2，10)存在 2 條直線與曲線 yf(x)相切；過點(diǎn) C(0，2)存在 1 條直線與曲線 yf(x)相切22 、 2014福建卷 已知函數(shù) f(x)exax(a 為常數(shù))的圖像與 y 軸交于點(diǎn) A， 曲線 yf(x)在點(diǎn) A 處的切線斜率為1.(1)求 a 的值及函數(shù) f(x)的極值；(2)證明：當(dāng) x0 時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù) c，總存在 x0，使得當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.22解：方法一：(1)由 f(x)exax，得 f(x)exa.又 f(0)1

32、a1，得 a2.所以 f(x)ex2x，f(x)ex2.令 f(x)0，得 xln 2.當(dāng) xln 2 時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xln 2 時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng) xln 2 時(shí)，f(x)有極小值，且極小值為 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無極大值(2)證明：令 g(x)exx2，則 g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g(x)0.所以 g(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 g(0)10，所以當(dāng) x0 時(shí)，g(x)g(0)0，即 x2ex.(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù) c，取 x01c，由(2)知，當(dāng) x

33、0 時(shí)，x2ex.所以當(dāng) xx0時(shí)，exx21cx，即 xln(kx)，即 xln xln k 成立若 0k1，則 ln k0，易知當(dāng) x0 時(shí)，xln xln xln k 成立即對(duì)任意 c1，)，取 x00，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.若 k1，令 h(x)xln xln k，則 h(x)11xx1x，所以當(dāng) x1 時(shí)，h(x)0，h(x)在(1，)上單調(diào)遞增取 x04k，h(x0)4kln(4k)ln k2(kln k)2(kln 2)，易知 kln k，kln 2，所以 h(x0)0.因此對(duì)任意 c(0，1)，取 x04c，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.綜上，對(duì)任意給定的正

34、數(shù) c，總存在 x0，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)證明：若 c1，取 x00，由(2)的證明過程知，ex2x，所以當(dāng) x(x0，)時(shí)，有 cexex2xx，即 xcex.若 0c1，令 h(x)cexx，則 h(x)cex1.令 h(x)0 得 xln1c.當(dāng) xln1c時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增取 x02ln2c，則 h(x0)ce2ln2c2ln2c22cln2c ，易知2cln2c0，又 h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 h(x)h(x0)0，即 xcex.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù) c，總存在 x0，當(dāng) x

35、(x0，)時(shí)，恒有 xcex.11 、2014廣東卷 曲線 y5ex3 在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為_115xy20112014江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若曲線 yax2bx(a，b 為常數(shù))過點(diǎn) P(2，5)，且該曲線在點(diǎn) P 處的切線與直線 7x2y30 平行，則 ab 的值是_11323 、2014江蘇卷 已知函數(shù) f0(x)sin xx(x0)，設(shè) fn(x)為 fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，nN*.(1)求 2f12 2f22 的值；(2)證明：對(duì)任意的 nN*，等式|nfn14 4fn4|22都成立23解： (1)由已知，得 f1(x)f0(x)sin xxcos xxsin x

36、x2，于是 f2(x)f1(x)cos xxsin xx2sin xx2cos xx22sin xx3，所以 f12 42，f22 2163.故 2f12 2f22 1.(2)證明：由已知得，xf0(x)sin x，等式兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)，得 f0(x)xf0(x)cos x，即 f0(x)xf1(x)cos xsinx2 .類似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsinx32，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對(duì)所有的 nN*都成立(i)當(dāng) n1 時(shí)，由上可知等式

37、成立(ii)假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)等式成立，即 kfk1(x)xfk(x)sinxk2.因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，sinxk2cosxk2xk2sinx（k1）2，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sinx（k1）2，因此當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立綜合(i)(ii)可知，等式 nfn1(x)xfn(x)sinxn2對(duì)所有的 nN*都成立令 x4，可得 nfn14 4fn4 sin4n2(nN*)，所以|nfn14 4fn4|(nN*)21 、 2014全國新課標(biāo)卷 設(shè)函數(shù) f(x)aln x1a2x2bx(a1)， 曲線 y

38、f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范圍21解：(1)f(x)ax(1a)xb.由題設(shè)知 f(1)0，解得 b1，(2)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由(1)知，f(x)aln x1a2x2x，f(x)ax(1a)x11axxa1a (x1)(i)若 a12，則a1a1，故當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增所以， 存在 x01， 使得 f(x0)a1a的充要條件為 f(1)aa1， 即1a21aa1， 解得 21a 21.(ii)若12a1，故當(dāng) x1，a1a 時(shí)，f(x)0.f(x)在1

39、，a1a 上單調(diào)遞減，在a1a，上單調(diào)遞增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要條件為 fa1a aa1，所以不合題意(iii)若 a1, 則 f(1)1a21a12aa1，符合題意綜上，a 的取值范圍是( 21， 21)(1，)20 ，2014山東卷 設(shè)函數(shù) f(x)aln xx1x1，其中 a 為常數(shù)(1)若 a0，求曲線 yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性20解：(1)由題意知，當(dāng) a0 時(shí)，f(x)x1x1，x(0，)此時(shí) f(x)2（x1）2，所以 f(1)12.又 f(1)0，所以曲線 yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為 x2

40、y10.(2)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ax2（x1）2ax2（2a2）xax（x1）2.當(dāng) a0 時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng) a0 時(shí)，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，當(dāng) a12時(shí)，0，f(x)12（x1）2x（x1）20，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng) a12時(shí)，0，g(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)12a0 時(shí)，0.設(shè) x1，x2(x1x2)是函數(shù) g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則 x1（a1） 2a1a，x2（a1） 2a1a.因?yàn)?x1a1 2a1aa22a1 2a1a0，所以，x(0

41、，x1)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減，x(x1，x2)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，x(x2，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減綜上可得，當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng) a12時(shí)，函數(shù) f(x)在(0， ) 上 單 調(diào) 遞 減 ； 當(dāng) 12 a0)令 f(x)0，解得 x0 或 x1a.當(dāng) x 變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)00，1a1a1a，f(x)00f(x)013a2所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是0，1a ；單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)，1a，.當(dāng) x0 時(shí)，f(x)有極小值，且極小值

42、f(0)0；當(dāng) x1a時(shí)，f(x)有極大值，且極大值 f1a 13a2.(2)由 f(0)f32a 0 及(1)知，當(dāng) x0，32a 時(shí)，f(x)0；當(dāng) x32a，時(shí)，f(x)2，即 0a34時(shí)，由 f32a 0 可知，0A，而 0B，所以 A 不是 B 的子集(ii)當(dāng) 132a2，即34a32時(shí)，有 f(2)0，且此時(shí) f(x)在(2，)上單調(diào)遞減，故 A(，f(2)，因而 A(，0)由 f(1)0，有 f(x)在(1，)上的取值范圍包含(，0)，則(，0)B，所以 AB.(iii)當(dāng)32a32時(shí)， 有 f(1)0， 且此時(shí) f(x)在(1， )上單調(diào)遞減， 故 B1f（1），0，A(，f

43、(2)，所以 A 不是 B 的子集綜上，a 的取值范圍是34，32 .B12 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用21 、2014四川卷 已知函數(shù) f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)設(shè) g(x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù) g(x)在區(qū)間0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，證明：e2a1.21解：(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.當(dāng) x0，1時(shí)，g(x)12a，e2a當(dāng) a12時(shí)，g(x)0，所以 g(x)在0，1上單調(diào)遞增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(

44、0)1b；當(dāng) ae2時(shí)，g(x)0，所以 g(x)在0，1上單調(diào)遞減，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；當(dāng)12ae2時(shí)，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函數(shù) g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.綜上所述，當(dāng) a12時(shí)，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；當(dāng)12ae2時(shí)，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；當(dāng) ae2時(shí)，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)證明：設(shè) x0為 f(x)在

45、區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減則 g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)故 g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點(diǎn) x1.同理 g(x)在區(qū)間(x0，1)內(nèi)存在零點(diǎn) x2.故 g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)由(1)知，當(dāng) a12時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞增，故 g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) ae2時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞減，故 g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，都不合題意所以12ae2.此時(shí) g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增因此 x

46、1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(shù)(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe10，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，e2a1.152014安徽卷 若直線 l 與曲線 C 滿足下列兩個(gè)條件：(i)直線 l 在點(diǎn) P(x0，y0)處與曲線 C 相切；(ii)曲線 C 在點(diǎn) P 附近位于直線 l 的兩側(cè)則稱直線 l 在點(diǎn) P 處“切過”曲線 C.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))直線 l：y0 在點(diǎn) P(0，0)處“切過”曲線 C：yx3；直線 l：x1 在點(diǎn) P(1，0)處“切過”曲線 C：y(x1)2；

47、直線 l：yx 在點(diǎn) P(0，0)處“切過”曲線 C：ysin x；直線 l：yx 在點(diǎn) P(0，0)處“切過”曲線 C：ytan x；直線 l：yx1 在點(diǎn) P(1，0)處“切過”曲線 C：yln x.1520 、2014安徽卷 設(shè)函數(shù) f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng) x0，1時(shí)，求 f(x)取得最大值和最小值時(shí)的 x 的值20解： (1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，且 x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng) xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng) x1x0

48、.故 f(x)在，1 43a3和1 43a3，內(nèi)單調(diào)遞減，在1 43a3，1 43a3內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)?a0，所以 x10，當(dāng) a4 時(shí)，x21，由(1)知，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，所以 f(x)在 x0 和 x1 處分別取得最小值和最大值當(dāng) 0a4 時(shí)，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，1上單調(diào)遞減，因此 f(x)在 xx21 43a3處取得最大值又 f(0)1，f(1)a，所以當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)在 x1 處取得最小值；當(dāng) a1 時(shí)，f(x)在 x0 和 x1 處同時(shí)取得最小值；當(dāng) 1a0，g（1）t10，解得3t1.故當(dāng)過點(diǎn) P(1，t)存在 3 條直

49、線與曲線 yf(x)相切時(shí)，t 的取值范圍是(3，1)(3)過點(diǎn) A(1，2)存在 3 條直線與曲線 yf(x)相切；過點(diǎn) B(2，10)存在 2 條直線與曲線 yf(x)相切；過點(diǎn) C(0，2)存在 1 條直線與曲線 yf(x)相切22 、 2014福建卷 已知函數(shù) f(x)exax(a 為常數(shù))的圖像與 y 軸交于點(diǎn) A， 曲線 yf(x)在點(diǎn) A 處的切線斜率為1.(1)求 a 的值及函數(shù) f(x)的極值；(2)證明：當(dāng) x0 時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù) c，總存在 x0，使得當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.22解：方法一：(1)由 f(x)exax，得 f(x)ex

50、a.又 f(0)1a1，得 a2.所以 f(x)ex2x，f(x)ex2.令 f(x)0，得 xln 2.當(dāng) xln 2 時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xln 2 時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng) xln 2 時(shí)，f(x)有極小值，且極小值為 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無極大值(2)證明：令 g(x)exx2，則 g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g(x)0.所以 g(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 g(0)10，所以當(dāng) x0 時(shí)，g(x)g(0)0，即 x2ex.(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù) c，取 x01c，

51、由(2)知，當(dāng) x0 時(shí)，x2ex.所以當(dāng) xx0時(shí)，exx21cx，即 xln(kx)，即 xln xln k 成立若 0k1，則 ln k0，易知當(dāng) x0 時(shí)，xln xln xln k 成立即對(duì)任意 c1，)，取 x00，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.若 k1，令 h(x)xln xln k，則 h(x)11xx1x，所以當(dāng) x1 時(shí)，h(x)0，h(x)在(1，)上單調(diào)遞增取 x04k，h(x0)4kln(4k)ln k2(kln k)2(kln 2)，易知 kln k，kln 2，所以 h(x0)0.因此對(duì)任意 c(0，1)，取 x04c，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.綜

52、上，對(duì)任意給定的正數(shù) c，總存在 x0，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)證明：若 c1，取 x00，由(2)的證明過程知，ex2x，所以當(dāng) x(x0，)時(shí)，有 cexex2xx，即 xcex.若 0c1，令 h(x)cexx，則 h(x)cex1.令 h(x)0 得 xln1c.當(dāng) xln1c時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增取 x02ln2c，則 h(x0)ce2ln2c2ln2c22cln2c ，易知2cln2c0，又 h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 h(x)h(x0)0，即 xcex.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù) c，總

53、存在 x0，當(dāng) x(x0，)時(shí)，恒有 xcex.212014廣東卷 已知函數(shù) f(x)13x3x2ax1(aR)(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng) a0，即 0 xe 時(shí)，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) f(x)e 時(shí)，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，)(2)因?yàn)?e3，所以 eln 3eln ，ln eln 3，即 ln 3eln e，ln eln 3.于是根據(jù)函數(shù) yln x，yex，yx在定義域上單調(diào)遞增可得，3ee3，e3e3.故這 6 個(gè)數(shù)中的最大數(shù)在3與 3之中，最小數(shù)在 3e與 e3之中由 e3及(1)的結(jié)論，得 f()f

54、(3)f(e)，即ln ln 33ln ee.由ln ln 33， 得 ln 33.由ln 33ln ee，得 ln 3eln e3，所以 3e0，此時(shí) f(x)0;當(dāng) x(2k1)，(2k2)(kN)時(shí)，sin x0.故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k，(2k1)(kN)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減又 f2 0，故 x12.當(dāng) nN*時(shí)，因?yàn)閒(n)f（n1）(1)nn1(1)n1(n1)10，且函數(shù) f(x)的圖像是連續(xù)不斷的， 所以 f(x)在區(qū)間(n， (n1)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn) 又f(x)在區(qū)間(n，(n1)上是單調(diào)

55、的，故nxn1(n1).因此，當(dāng) n1 時(shí)，1x214223；當(dāng) n2 時(shí)，1x211x2212(41)23；當(dāng) n3 時(shí)，1x211x221x2n12411221（n1）21251121（n2） （n1） 125112 1213 1n21n11261n1 6223.綜上所述，對(duì)一切 nN*，1x211x221x2n23.112014江西卷 若曲線 yxln x 上點(diǎn) P 處的切線平行于直線 2xy10，則點(diǎn) P的坐標(biāo)是_11(e，e)解析 由題意知，yln x1，直線斜率為 2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，令 ln x12，得 xe，所以 yeln ee，所以 P(e，e)21 、 、2014江西卷

56、 將連續(xù)正整數(shù) 1，2，n(nN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù) 123n，F(xiàn)(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如 n12 時(shí)，此數(shù)為 123456789101112，共有 15 個(gè)數(shù)字，F(xiàn)(12)15)，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，p(n)為恰好取到 0 的概率(1)求 p(100)；(2)當(dāng) n2014 時(shí)，求 F(n)的表達(dá)式；(3)令 g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)，f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字 9 的個(gè)數(shù)，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求當(dāng) nS 時(shí) p(n)的最大值21解：(1)當(dāng) n100 時(shí)，這個(gè)數(shù)中總共有 192 個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字 0 的個(gè)數(shù)為 11，所以恰好取到

57、 0 的概率為 p(100)11192.(2)F(n)n，1n9，2n9，10n99，3n108，100n999，4n1107，1000n2014.(3)當(dāng) nb(1b9，bN*)，g(n)0；當(dāng) n10kb(1k9，0b9，kN*，bN)時(shí)，g(n)k；當(dāng) n100 時(shí)，g(n)11，即 g(n)0，1n9，k，n10kb，11，n100.1k9，0b9，kN*，bN，同理有 f(n)0，1n8，k，n10kb1，1k8，0b9，kN*，bN，n80，89n98，20，n99，100.由 h(n)f(n)g(n)1，可知 n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以當(dāng) n

58、100 時(shí)，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90當(dāng) n9 時(shí)，p(9)0.當(dāng) n90 時(shí)，p(90)g（90）F（90）9171119.當(dāng) n10k9(1k8，kN*)時(shí)，p(n)g（n）F（n）k2n9k20k9，由 yk20k9關(guān)于 k單調(diào)遞增，故當(dāng) n10k9(1k8，kN*)時(shí)，p(n)的最大值為 p(89)8169.又81690.當(dāng) x0 時(shí)，g(x)3x26x1k0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)k10 時(shí)，令 h(x)x33x24，則 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，所以 g

59、(x)h(x)h(2)0，所以 g(x)0 在(0，)上沒有實(shí)根綜上，g(x)0 在 R 有唯一實(shí)根，即曲線 yf(x)與直線 ykx2 只有一個(gè)交點(diǎn)122014全國新課標(biāo)卷 已知函數(shù) f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零點(diǎn) x0，且x00，則 a 的取值范圍是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)12C21 、 2014全國新課標(biāo)卷 設(shè)函數(shù) f(x)aln x1a2x2bx(a1)， 曲線 yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范圍21解：(1)f(x)ax(1a)xb.由題設(shè)知 f(1)0

60、，解得 b1，(2)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由(1)知，f(x)aln x1a2x2x，f(x)ax(1a)x11axxa1a (x1)(i)若 a12，則a1a1，故當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增所以， 存在 x01， 使得 f(x0)a1a的充要條件為 f(1)aa1， 即1a21aa1， 解得 21a 21.(ii)若12a1，故當(dāng) x1，a1a 時(shí)，f(x)0.f(x)在1，a1a 上單調(diào)遞減，在a1a，上單調(diào)遞增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要條件為 fa1a aa1，所以不合題意(iii)若 a1, 則 f(1)1a21a12aa1，