八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義huohdiki成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義2全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一一全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽簡(jiǎn)介全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽簡(jiǎn)介中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)所舉辦的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，以及小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，都 是群眾性的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，是大眾化、普及型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，目前，每年有 12 萬名學(xué)生參加競(jìng)賽簡(jiǎn)介獎(jiǎng)項(xiàng)名稱：全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽創(chuàng)辦時(shí)間 1984 年主辦單位羅由各省、市.自治區(qū)聯(lián)合舉辦.輪流做莊競(jìng)賽介紹書同時(shí)，各地都提出了舉行“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽護(hù)的要求 1984 年*中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作 委員會(huì)商定，委托天津市數(shù)學(xué)會(huì)舉辦一次初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，有 14 個(gè)省、市、自治區(qū)參加，當(dāng) 時(shí)條件

2、校簡(jiǎn)陋”準(zhǔn)備時(shí)間也較倉(cāng)促，天津數(shù)學(xué)會(huì)在南開大學(xué)數(shù)學(xué)系和天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的大 力支持下，極其認(rèn)真負(fù)責(zé)地把這次活動(dòng)搞得很成功，為后來舉辦“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽想摸索了 很多經(jīng)驗(yàn)口當(dāng)年 11 月，在寧波召開的中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)第三次普及工作會(huì)議時(shí)，一致通過了舉辦“全 國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”的決定，并詳細(xì)商定了一些具體辦法，規(guī)定每年四月的第一個(gè)星期天舉行“全 國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽會(huì)上湖北省數(shù)學(xué)會(huì)、山西省數(shù)學(xué)會(huì)=黑龍江省數(shù)學(xué)會(huì)分別主動(dòng)承擔(dān)了 1985 年、1986 年、19 町年的全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”承辦單位，從此，“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽材也形 成了制度。肆全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽原來不分一試、二試。為了更好地貫徹蹄在普及的基礎(chǔ)上不斷提高

3、” 的方針，1989 年 7 月，在濟(jì)南召開的數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題研討會(huì)上，各地的代表商定，初中聯(lián) 賽也分兩試進(jìn)行，并對(duì)一、二試各種題型的數(shù)目，以及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)作出明確的規(guī)定，使初中聯(lián)賽 的試卷走向規(guī)范化。中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)所舉辦的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，以及小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，都 是群眾性的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)是大眾化、普及型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，目前，每年有 12 萬名學(xué)生參加。 為了讓更多學(xué)生都能發(fā)揮他們的聰明才智，培養(yǎng)興趣.充分發(fā)掘他們學(xué)習(xí)上的潛力，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)的積極性，我們力求讓試題能夠適合全國(guó)多數(shù)參賽學(xué)生。從 1991 年起.我們力求降低試 題的難度。題目不難.又要有點(diǎn)意思，還要有競(jìng)賽氣氛*要做到是不容易的

4、&所謂聯(lián)賽，就是各省、市、自治區(qū)聯(lián)合舉辦，輪流做莊，由各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng) 賽組織機(jī)構(gòu)具體承辦，大家提供試題。為了更好地規(guī)范初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的內(nèi)容、難度，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)制定了腐初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱, 以樣大綱肝為準(zhǔn)，命題堅(jiān)持杯大眾化.普及型、不超綱、不超前”的原則。二二競(jìng)賽的意義競(jìng)賽的意義全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽.是初中生初中階段最為重要的競(jìng)賽之一，方式較為規(guī)范也是許多高 中入學(xué)考察的對(duì)象之一，因此，許多初中生為此而加緊培優(yōu)，從某種意義上講，這種為大眾認(rèn) 可的競(jìng)賽提升了中國(guó)初中生的整體數(shù)學(xué)成績(jī)。在北京，全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的獲獎(jiǎng)成績(jī)常常被作為人 大附中*四中等重點(diǎn)高中提前錄取的一個(gè)重要參考。三三競(jìng)賽大綱競(jìng)賽大綱

5、數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)于開發(fā)學(xué)生智力*開拓視野，促進(jìn)教學(xué)改革，提高教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué) 人才都有著積極的作用。目前我國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽日趨規(guī)范化和正規(guī)化，為了使全國(guó)數(shù)學(xué)竟塞 活動(dòng)健康、持久地開展， 應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求， 特制定 初中數(shù) 學(xué)競(jìng)賽大綱 （修訂稿） 以適應(yīng)當(dāng)前形勢(shì)的需要成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義3本大綱是在國(guó)家教委制定的九年義務(wù)教育制篥初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱精神的基礎(chǔ)上制定的.教學(xué)大綱在教學(xué)目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代 化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性?！本唧w作法是：“對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動(dòng)或開設(shè)選修課等 多種方式，充分發(fā)展他

6、們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視能力的培養(yǎng)著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分折*綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類 比等重要的思想方法同時(shí)，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力” 四參賽對(duì)象四參賽對(duì)象全國(guó)在校初中生.采取自愿與學(xué)校推薦相結(jié)合的辦法報(bào)名參加。五聯(lián)賽題目結(jié)構(gòu)五聯(lián)賽題目結(jié)構(gòu)試 70 分選擇 6 題，填空 4 題（每題 7 分代數(shù) 幾何 數(shù)論 組合（一般選填壓軸） 歸納知識(shí)點(diǎn)：實(shí)數(shù)化簡(jiǎn)；三角形的五心等方面是考察重點(diǎn)。但是其涵蓋知識(shí)體系相對(duì)單一， 有時(shí)候，選擇題*填空題還是要用技巧性搞的,舉特殊值* （08 年的二次根式一題）二試 70 分第一大題一元二次方程和

7、二次函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化.根的分布、整數(shù)根問題（沖刺獎(jiǎng)項(xiàng)的必對(duì) 大題）第二大題幾何綜合題（沖刺一等獎(jiǎng)的必對(duì)大題）考察點(diǎn) 05、06 三線共點(diǎn)、梅涅勞斯、賽瓦、09 幾何計(jì)算（四點(diǎn)共圓）、07, 10 相似三 角形幾何方面應(yīng)該多下功夫，爭(zhēng)取能夠拿下第三大題二試最后一題 25 分以數(shù)論為基礎(chǔ)和其他結(jié)合，思路清楚的話簡(jiǎn)單 5 分能拿下來六競(jìng)賽題型六競(jìng)賽題型全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽每年 4 月舉行，分為一試和二試.成績(jī)公布的時(shí)間各省市不盡相同，北 京市公布時(shí)間大約在五月底至六月.第一試著重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，題型為選擇題 6 題、填空題 4 題，共 70 分。第二試著重 分析問題和解決問題的能力，題型為三道解答題，

8、內(nèi)容分為代數(shù)題、幾何題、幾何代數(shù)綜合題 或雜題，共70 分*兩試合計(jì)共 140 分*教學(xué)大綱中所列岀的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競(jìng)賽的要求&除教學(xué)大綱所列內(nèi)容外, 本大綱補(bǔ)充列出以下內(nèi)容。這些課外講授的內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段.分層 次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精的原則，處理好普及與提高的關(guān)系，這樣才能 加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高-4成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義352 2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一特點(diǎn)， 歸納起來有四類：(1)(1) 開方開不盡的數(shù)，如32等；第一講 實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)一.知識(shí)鏈接:1 1、實(shí)數(shù)的分類循環(huán)小數(shù)( (有理數(shù)器

9、, ,這里P、正有理數(shù)零有限小數(shù)和無限q是互質(zhì)的整數(shù)，且p) )實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義6(2)(2) 有特定意義的數(shù)，如圓周率n或化簡(jiǎn)后含有n的數(shù)，女口 ： +8+8 等;成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義7(3)(3) 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如 0.0.10100100011010010001等;(4)(4) 某些三角函數(shù)，如 sin6Csin6C0等3.有理數(shù)和無理數(shù)對(duì)加、減、乘、除的封閉的特性:有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有 理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對(duì)加、減、乘、除不具有封閉性，即兩個(gè)無 理

10、數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).【例1】解答以下各選擇題：(1). (99年武漢市選拔賽試題)設(shè)a是一個(gè)無理數(shù)，且a、b滿足abab+仁0,則b是一個(gè)()A.小于0的有理數(shù)B.大于0的有理數(shù)C.小于0的無理數(shù)D.大于0的無理數(shù)(2).(93年河北初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)若a,b, .b都是有理數(shù)，則a, b的值是(). .A.A.二者均為有理數(shù)B.B.二經(jīng)典例題成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義8者均為無理數(shù)C.C. 一個(gè)為有理數(shù)，另一個(gè)為無理數(shù)D.D.以上三種情況均有可能(3).(95年湖北初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)今有四個(gè)命題：成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義9huheiMi _A.若兩實(shí)數(shù)

11、的和與積都是奇數(shù)，則這兩數(shù)都是奇數(shù)；.若兩實(shí)數(shù)的和與積都是偶數(shù)，則這兩數(shù)都是偶數(shù)；.若兩實(shí)數(shù)的和與積都是有理數(shù)， 這兩數(shù)都是有理數(shù)； .若兩實(shí)數(shù)的和與積都是無理數(shù)，這兩數(shù)都是無理數(shù), 其中正確命題的個(gè)數(shù)為().A. 0 B. 1 C. 2D.3(9 9年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)有下列三個(gè)命題：1若：是不相等的無理數(shù)，則 汕是無理數(shù)；2若：是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；a + P3若:是不相等的無理數(shù)，則3是無理數(shù)。其中正確命題的個(gè)數(shù)是().(A)0；(B)1；(C)2；(D)3?！纠?】(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)若a、b滿足3a 5b=7, 則S=2,a-3b的取值范圍是_成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)

12、學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義10【例3】已知a、b是有理數(shù)，且（”那+乎心呀。, 求a、b的值.【例4】解答以下兩題：（1）（南昌市競(jìng)賽題）已知a、b為有理數(shù)，x,y分別表示 的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2=1,求a+b的值.成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義11(2)(江蘇省競(jìng)賽題)設(shè)x為一實(shí)數(shù)，x表示不大于x的 最大整數(shù)，求滿足77.66x=77.66x+1的整數(shù)x的值.注：設(shè)x為一實(shí)數(shù)，則x表示不大于x的最大整數(shù)，X又叫做實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，有以下基本性質(zhì)：(1) x1xx；(2)若y x，則yx;(3)若x為實(shí)數(shù)，a為整數(shù)，則x+a= x+ a.【例5】(第十三屆“希望杯”試題)已

13、知在等式=s中,a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：(1)當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；(2)當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是無理數(shù).12三.經(jīng)典練習(xí)1已知X、y是頭數(shù)，3x 4 y2_6y 9=0，若axy3x = y，則a=_.2. （2002年全國(guó)初中聯(lián)賽題）一個(gè)數(shù)的平方根是a2b2和4a6b 13，那么這個(gè)數(shù)是 _3._方程x y_5 .,18=0的解是.4.（濟(jì)南市中考題）請(qǐng)你觀察思考下列計(jì)算過程：T112=121,12仁11；同樣/1112=12321, I12321 =111；由此猜1234567898 7654321二_ .5. （江西省中考題）如圖，

14、數(shù)軸上表示1、2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C X/盃則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A2 _1B.1-、,2C.2-、,2D.226.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）已知x是實(shí)數(shù)，則huilwiMi成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義13-X沁-X口的值是（）A.1-丄B.1丄C. D.無法確nnn14定的7.(希望杯邀請(qǐng)賽試題)代數(shù)式、X、x_l、x_2的最小值 是()A.0 B.12C.1D.不存在的8. (山西省中考題)若實(shí)數(shù)a、b滿足(a ,2)2、b_2a 3=0，求2b+a1的值.9. (煙臺(tái)市中考題)細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后 解答問題.(.1)2“=2,Si =#；

15、(V=3,S2冷；(.3)2=4,S3=今；八(1)請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律；送推算出A10的長(zhǎng)；亦(3)求出S2+S2+S2+彳0的值.“”成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義1510已知實(shí)數(shù)a、b、C滿足g|ab+2b+c +c2c+寸=0,則a(b+c)=_11（“希望杯邀請(qǐng)賽試題）設(shè)x、y都是有理數(shù)，且 滿足方程（13）x（3 -）y-0，那么,xy的值是_ .12. （黃岡市競(jìng)賽題）已知正數(shù)a、b有下列命題：若a=1, b=1,則1；若a=*b冷,則-.al；若a=2,b=3,則ab空5; 若a=1,b=5,則. 根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，若a

16、=6,b=7,貝y、.ab E_.13. （重慶市競(jìng)賽題）已知：l-a.1，那么代數(shù)式丄a的值為aa（）A.于B.-I5C.-5D.514. （“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題）設(shè)x表示最接近x的整數(shù)（x半n+0.5,n為整數(shù)），貝I成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義161 2 + .2 3+ .3 4+ + ,100 101的值為（）A . 5151 B . 5150C. 5050成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義17D. 504915. （全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)ab0,a1,N0),則b叫做以a為 底的N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN.例如：因?yàn)?3=8,所以log28=3；因?yàn)?-3=丄

17、,所以Iog2=8 83.(1)根據(jù)定義計(jì)算：log381=_;log33=_;log3l=_;如果logx16=4，那么x=_.(2)設(shè)ax=M ay=N,貝V logaM=x logaN= y(a0,a1,NQ M N均為正數(shù))用logAM logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)ogaM, 并說明理由.huihriMiA成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義19第二講二次根式的運(yùn)算一. 知識(shí)鏈接1.二次根式的定義和運(yùn)算法則式子a(a0)叫二次根式，二次根式的運(yùn)算是以下列 運(yùn)算法則為基礎(chǔ).a c二b c =(a二b)、.c(cA0)；(a _0,b _0)；a _ a /bb(a _

18、0,b 0)；成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義20( a) Fa=a,(a0)huihriMiA成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義212.二次根式有如下重要性質(zhì):(1)a_0，aa|，a . m n b m =(a n b). m, (m _0).a_2、b = .x_.y，貝V x y二a,xy=b,(x . y . 0)同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念， 它們貫穿于二次根式運(yùn)算的始終，因?yàn)槎胃降募訙p實(shí)質(zhì)就 是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運(yùn)算常用到有 理化概念.二次根式的運(yùn)算是在有理式（整式、分式）運(yùn)算的基礎(chǔ)上 發(fā)展起來的，常常用到有理式運(yùn)算的方法與技巧

19、，如換元、 字母化、拆項(xiàng)相消、分解相約等二. 經(jīng)典例題【例i】（重慶競(jìng)賽題）已知汁總-庶+2,則5x -4, 4 - 5x(a)2=a(a_0)，(5)22【例2】(武漢選拔賽試題)化簡(jiǎn) 葉占，所得的結(jié)果為()A. il丄n n +1無 、14 -厲-可；10,1415.21，315 - 10 -2 63 3 - i2185 2 3 1i_l丄n n 1C1_丄Dn n +1【例3】計(jì)算：(1)164 332( 6 3)(- 3 2)(2)(3)335 3 3i57,5 5 749、47 47,49huiwizi成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義23【例4】解答以下各題:（北京競(jìng)賽題）

20、化簡(jiǎn) r2.3 _2 3；（“希望杯”試題）計(jì)算.10 8 3 2 2（3）（湖北“英才杯”競(jìng)賽題）計(jì)算a2a-12a-1成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義24【例5】(山東競(jìng)賽題)已知a b 2 J a 1 4 J b 2 = 3寸c 3 5，a + b + c的值.三. 經(jīng)典練習(xí)1（四川競(jìng)賽題）如果y = 2x_3 .3_2x2，那么x 2y=_.2.（成都中考題）已知xy=3，那么x；y.的值為_3.（天津選拔賽試題）計(jì)算（,3 1）2001_2（、3 1）2000_2（.3 1）19992001=_.4.（淄博中考題）若ab半0，則等式一,-13r 成立的條H b b件是.5.

21、（徐州中考題）如果式子,（x-1）2x-2化簡(jiǎn)的結(jié)果為2X-3,則x的取值范圍是（)A.x2C.1x06.如果式子(1a)J丄 1 -a根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（） 1 - aB.a1Cf / a -1D.1 -a7.已知-2.xy y0(x 0,y 0)，則廠的值為()75x+3(xy4y/成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義25D. 39計(jì)算以下各題:(2) (北京數(shù)學(xué)競(jìng)賽題).3 -2.2.5 -2,6、7-2.12 . 9-2、20 .11 -2.30、13-2.42、15-2、56 . 17-2、72B1C223D.348.已知-21.3，那么嚴(yán)1的值等于（）a +

22、1a -aA-(1 2 3)B(1)J999 2000 2001 2002 1；成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義26.115、7 4、6；7、77 .66. 42 (3)成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義27(4)(“希望杯”試題).199719992001G199-2001)(程0Ol_ J1997 (V200lr 1999)10(1)已知9 13與9- .13的小數(shù)部分分別是a和b,求ab3a+4b+8的值;lujdheiMi成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義282x2197xy 2y2=1993成立，求 門門11. （T1杯全國(guó)初中聯(lián)賽題）已知x=二；,3鳥，那

23、么12.（北京競(jìng)賽題）若有理數(shù)x、y、z滿足Jx + Jy = +Jz2 = （x +y +z），貝廿（x_yz）2=_.13.設(shè).27-10.2=a b，其中a為正整數(shù)，b在0,1之間，則a ba -b.14.（北京競(jìng)賽題）正數(shù)m n滿足m 4.、mn 2 . m 4、n 4n = 3,則 m 2 i n -8、m 2，n 2002n為自然數(shù)，如果成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義2915.（全國(guó)初中聯(lián)賽題）化簡(jiǎn)2 3_2 27_12 2等于（）A.542B.42一1C5D. 116.（武漢市選拔賽試題）若，則g2等于（）Ax -1B.1 -xD一1C.117.計(jì)算以下各題：（I）（

24、“希望杯”競(jìng)賽題）20誌；(2) (山東競(jìng)賽題）8 2 15-10-6；（3）（四川賽題）lujdheiMi成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義30七 L L,_3 2 3100. 99 99100成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義312(6 -2 3 _2、5 .15)；（5）（新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）5-2_,3一22.JJ5十118. “祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）(1)求證 /(ahab+1?成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義32(2)計(jì)算119992199920001200019.(上海競(jìng)賽題)(1)定義13X2+2x +1 +Mx21 +3；x22x+1求f(1)

25、f(3)f(2k-1) f (999)的值;成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義33（2）設(shè)x、y都是正整數(shù)， 且使 尺帀+聲而廠， 求y的最大 值.第三講勾股定理及其應(yīng)用一.知識(shí)鏈接1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜 邊c的平方，即a2 b2=c22、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān) 系a2b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3 3、勾股數(shù)：滿足不定方程a2b2=c2的三個(gè)正整數(shù) a a，b b，c c， 稱為勾股數(shù)。如果勾股數(shù) a a、b b、c c 滿足（a,a, b,b, c c）=1,=1,則 a a、b b、c c 叫做基 本勾股數(shù)組。

26、性質(zhì) 1.1.如果 a a、b b、c c 是一組勾股數(shù)，則 kaka、kbkb、kckc（k k 是正 整數(shù)）也是一組勾股數(shù)。性質(zhì) 2.2.若 a a、b b、c c 是一個(gè)基本勾股數(shù)組，則 a a、b b、c c 不能34同是奇數(shù)，也不能同是偶數(shù)，c c 不能為偶數(shù)性質(zhì) 3.3.不定方程a2+b2=c2的基本勾股數(shù)組解 a a、b b、c c 且 a a 是偶 其中m .n 0,(m,n) =1,m m 和 n n 中一奇一偶。(羅士琳法則)2 2性質(zhì) 4.4.如果 k k 是大于 1 1 的奇數(shù)，那么 k k, 寧，寧是一組 勾股數(shù).2 2性質(zhì) 5.5.如果 k k 是大于 2 2 的偶

27、數(shù)，那么 k k,4一1,件+1是12丿12丿一組勾股數(shù).常見的勾股數(shù)有：(6,8,106,8,10) (3,4,53,4,5) (5,5, , 1212, ,13,13) (9,12,159,12,15)(7,24,257,24,25) (9,40,419,40,41)規(guī)律：(1) 短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng) a a 為奇數(shù) 且a1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分 別是：2n,n2-1,n2+1。如：(6,8,10) (8,15,17)等。4 4、常見題型應(yīng)用：(1) 已知任意兩條邊的長(zhǎng)度，求第三邊/ /斜邊上的高線/ /周 長(zhǎng)/ /面積數(shù)的公

28、式為a = 2mn,b = m2- n2, c = m2n2.35(2) 已知任意一條的邊長(zhǎng)以及另外兩條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，36CA1325ACBPACBDE求各邊的長(zhǎng)度斜邊上的高線/ /周長(zhǎng)/ /面積（3 3）判定三角形形狀：a2+b2c2銳角 ,a2+b2=c2直角 ,a2+b2vc2鈍角 直角三角形判定方法：找最長(zhǎng)邊；.比較長(zhǎng)邊的平方與另兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；確定形狀（4 4）構(gòu)建直角三角形解題二.經(jīng)典例題【例1】（山東省中考題）2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù) 學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方 圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成 的一個(gè)大正方形（如

29、圖所示）.如果大正方形的面積是13, 小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊為a,較長(zhǎng) 直角邊為b,那么（a+b）2的值為（）D. 169例 1 1 圖例 2 2 圖B.19成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義37例 3 3 圖【例2】（重慶市中考題）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊厶ABD連結(jié)DC以DC為邊作等邊厶DCE B、E在CD的同打若AB=2，貝y BE=_.【例3】（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）如圖，PABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC= 2PB已知/ABC= 45,/APC= 60,則/ACB的度數(shù)=_ .【例4】 如

30、圖，在RtABC中, /ACB=90,CDLAB于D設(shè)AC= b,BC= a,AB=c CD=h求證:1i i-r - =-2.2.2a bh(2)a b：c h；（3）以a b、h、c h為邊的三角形，是直角三角形.(1)成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義38【例5】.（1）（90年全國(guó)初中聯(lián)賽試題）ABC中,成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義39第(1)(1)題圖第題圖D.15(3)(第七屆希望杯初二試題).如圖,P是等邊三角形ABC中的一個(gè)點(diǎn),PA=2,PB=2 3,PC=4,則三角形ABC的邊長(zhǎng)為1. （山西省中考題）.如圖，ADABC的中線，/ADC=45。，把ACD

31、沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，則BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 _.AB二AC= 2,BC邊有100個(gè)不同的點(diǎn)R2,P100，記mij=AR2十十j=1,2,，100)葉m2m)100=第(2)(2)題圖A. 12 B.13C.14.經(jīng)典練習(xí)ABA1 P1B1BCB成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義40第1題圖第2題圖第3題圖2.如上圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞 點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3,貝9PP的長(zhǎng)等于_.3. （武漢市選拔賽試題）如上圖，已知AB=13BC=14AC=15ACLBC于D,貝M AD=_.4.如下圖在四邊形ABCD中,ZA=60，Z

32、B=ZD=90，BC=2 CD=3貝U AB=()A.4B.5C.2383C成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義41第4題圖第5題圖5. （北京市競(jìng)賽題如上圖）在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中 標(biāo)出了AB, CD EF,GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三 角形三邊的線段是（）A.CD EF, GH. B.AB CD,EF C.AB, CD,GH D.AB EF?GH6. （湖北省預(yù)賽試題）如下圖,在厶ABC中 ,AB=5 AC=13邊BC上的中線AD=6貝V BC的長(zhǎng)為_ .A成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義42第6題圖第7題圖B成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義43第8題

33、圖7. （天津市競(jìng)賽題）如上圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為I的正方形組成 一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為()A.2B. C.-24D5折 16&如上圖，RtABC中， /ACB= 90,CDLAB于D, AF平分/CAB交CD于E,交CB于F,且EG/ AB交CB于G則CF與GB的大小關(guān)系是()A.CFGBB.CF=GB CGFGBD.無法確定9. （“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）在銳角ABC中，已知某兩 邊a=1,b=3,那么第三邊的變化范圍是（）A. 2c4B.2 c3 C.2 cV10D.8 cV1010.（武漢市選拔賽試題）ABC三邊BC CA AB的長(zhǎng)分別 為a、b、c,這三邊的

34、高依次為ha、館、hc，若 玄沁,21%，則這個(gè)三角形為（）A.等邊三角形B.等腰非直角三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形11.如圖，在RtABC中，/A=90,D為斜邊BC中點(diǎn),成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義4412如圖，已知ABC是等腰直角三角形，AB= AC D是斜 邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB AC邊上的點(diǎn)， 且DEIDF,若BE=12CF=5求厶DEF的面積.13.如圖， 在厶ABC中,AB=AC (1)若P是BC邊上的中點(diǎn)， 連結(jié)AP,求證：BPXCP=AB一AP;(2)若P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？若成 立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；若P

35、是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB AP BP、CP之間 有什DEIDF求證:2 2 2EF2二BE2CF2.CC成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義45么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義4614.（河南省競(jìng)賽題）如圖，/ACB=90,AD是/CAB勺平 分線，BC=4 CD弓，求AC的長(zhǎng).C15.（煙臺(tái)市中考題）（1）四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開.大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖甲.它是由 四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正 方形.若大正方形的面積為13,每個(gè)直角三角形兩直角邊 的和是5,求中間小正方形的面積.現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5c

36、m.寬為2 cm的紙片，如圖乙，請(qǐng)你 將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形.（要求：先在圖乙 中畫出分成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義47割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)）成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義4816.（北京市競(jìng)賽題）如圖，在四邊形ABCD中，/ABC=30,ZADC=60，AD=CD求證：BD=AB+BCB成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義49第四講位置與坐標(biāo)一 知識(shí)鏈接1.平面直角坐標(biāo)系及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直2.2.點(diǎn)p(x,y)關(guān)于 x x 軸、y y 軸或原點(diǎn)等對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特征：. .關(guān)于

37、x x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,-y)；. .關(guān)于 y y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P (-x, y)；. .關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P(-x,y)；.關(guān)于廠X的對(duì)稱點(diǎn)為P(y，x);成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義50. .關(guān)于yx的對(duì)稱點(diǎn)為P (-y,-x)；. .關(guān)于點(diǎn)M(a,b)51成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義的對(duì)稱點(diǎn)為P(2a_x,2b_y)。3.3.點(diǎn)P%，y。)到坐標(biāo)軸、原點(diǎn)和直線的距離：(1 1)到 X X 軸的距離等于|yo|；的距離等于|Xo|；(3 3)到原點(diǎn)的距離等于.好y。2； 的距離是dAx。By。C|(2(2)到 y y 軸(4)(4)到直線AX By C=0:-

38、2 2.A B4.兩點(diǎn)間的距離公式:已知兩點(diǎn)Axi,yi,B X2,y2，則AB =揪 _X2$ + (% _ y? $.特別地，. .若 ABABIIX X 軸，則AB=|XA-XBI; ;軸，則軸，則AB=皿皿*I.5.分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知Axi,yi,Bx2,y2，若點(diǎn)P(x, y)分線段AB為.(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公y)上、一1pp =,則點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為. .若 ABABIIII Y Y式)特別地，當(dāng)點(diǎn)P(x, y)為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為 爼嚴(yán)，中(中點(diǎn)坐標(biāo)公式).I 22丿6.6.三角形重心坐標(biāo)公式： ABCABC 三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(xi, yi), B(X2, y2),C(X

39、3,倚，則 ABCABC 的重心坐標(biāo)為：O(x +X2 +X3 yyr3)33.7.7. 坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律：坐標(biāo)(X,y)的變圖形的變化52huAhcii成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義53化xxa或y匯a被橫向或縱向拉長(zhǎng)（壓縮）為 原來的a倍x漢a,y i b ii ii IIj. J i * * I I P I i 4 I移 3 3 個(gè)單位后，右眼 B B 的坐標(biāo)是。圖第 2 2 題圖-k”：” ”: niJailrIBBI54如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)0 0 出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動(dòng)，每移動(dòng)一 個(gè)單位，得到點(diǎn) A Al（0 0，1 1）

40、，A A2（ 1 1，1 1），A A3（ 1 1，0 0），A A4（2 2, 0 0），那么點(diǎn)AT（n n 為自然數(shù)）的坐標(biāo)為 _（用 n n 表示）. .如圖，動(dòng)點(diǎn) P P 從（0 0，3 3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每 當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P P 第 20132013 次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn) P P 的坐標(biāo)為（）第（4）題圖 .在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫 做整點(diǎn).且規(guī)定，正方形的內(nèi)部不包含邊界上的點(diǎn)觀察 如圖所示的中心在原點(diǎn)、一邊平行于X軸的正方形：邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)， 邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的正方形內(nèi)部有9個(gè)

41、整點(diǎn)，則邊長(zhǎng) 為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）JL成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義(6(6, 4 4)D D.(8(8,A A.C C C C (6 6, 4 4)-k”：” ”: niJailrIBBI55A A. 6464.B B. 4949.C C. 3636D D. 2525.huiiwiMi成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義56例 2.2.解答下列競(jìng)賽試題:. .（第二十三屆“希望杯”）如下圖，在平面直角坐標(biāo)系 內(nèi)，AB、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,0）,（4,0），（3,-2），以AB、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個(gè)頂 點(diǎn)不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限第題圖.（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二組）如圖，已知正方 形 ABCABCD D的邊長(zhǎng)為 4 4, M M 點(diǎn)為 CDCD 邊上的中點(diǎn)，若 M M 點(diǎn) 是 A A 點(diǎn)關(guān)于線段 EFEF 的對(duì)稱點(diǎn)，則f等于（）A A, ,B B、iC C、2 2D D、寸.（第二十四屆希望杯）點(diǎn)-7,-7, m m 和點(diǎn)-8,-8, n n 都在直線y = -2x-6上，則m和n的大小關(guān)系是（）B FC成都市學(xué)為先學(xué)校初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義57(A)m . n. 不